河北省衡水中学2023届高三数学上学期三调试题（Word版附解析）

河北省衡水中学2023届上学期高三年级三调考试

数  学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共4页，总分150分，考试时间120分钟.   

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，集合（为自然对数的底数），则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】求出集合由交集的运算可得答案.

【详解】集合，

，

.

故选：C．

2. 已知的终边与单位圆交于点，则（    ）

A.  B.  C.  D. －1

【答案】A

【解析】

【分析】根据余弦值的定义可得，再根据二倍角的余弦公式求解即可

【详解】由题得，所以.

故选：A

3. 若函数在点（1，f（1））处的切线的斜率为1，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由导数几何意义得，然后由基本不等式得最小值．

【详解】由已知，所以，

，当且仅当时等号成立．

故选：A．

4. 将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则的值可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用三角函数图象变换可得出变换后的函数解析式，由已知可得出关于的等式，即可得出结果.

【详解】因为，

将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，

由题意可得，可得，当时，，

故选：D.

5. 已知函数部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称

C. 在区间上的最小值为 D. 的图象关于直线对称

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，结合“五点法“作图，求出函数的解析式，再逐项判断作答.

详解】观察图象知，，而，解得或，

函数周期，由图象知，即，因此，

解得，由五点作图法知，，当时，；当时，，不符合题意，

所以，，，

的最小正周期为，A不正确；

因为，即的图象关于点不对称，B不正确；

当时，，则，在区间上的最小值为，C不正确；

因为，因此的图象关于直线对称，D正确.

故选：D

6. 若函数的最小正周期为，则下列区间中单调递增的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】作出函数的图象，可得出函数的最小正周期与单调递增区间，可求得的值，结合正切型函数的图象与单调性可求得函数的增区间，即可得解.

【详解】作出函数的图象如下图所示：

由图可知，函数的最小正周期为，且其增区间为，

对于函数，其最小正周期为，可得，则，

由，解得，其中，

所以，的单调递增区间为，

所以，函数在上递减，在上不单调，在上递增，在上递减.

故选：C

7. 圭表（如图甲）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图乙是一个根据某地的地理位置设计的主表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角（即∠ABC）大约为15°，夏至正午时太阳高度角（即∠ADC）大约为60°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（注：）（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由锐角三角函数的定义与同角三角函数的关系求解，

【详解】设表高为，则，，

而，得，，

故，

得，

故选：D

8. 已知不等式的解集为，若中只有唯一整数，则称A为“和谐解集”，若关于的不等式在区间上存在“和谐解集”，则实数的可能取值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知可得.令，.根据函数的单调性，可得.结合“和谐解集”的定义可知，唯一整数解只能是.进而得到实数的取值范围，即可得出答案.

【详解】当时，原不等式可化为，整理可得；

当时，原不等式可化为，整理可得.

所以不等式可化为.

令，，

则.

所以在上单调递增，在上单调递，所以.

因为，所以.

又.

所以要使只有一个整数解，则唯一整数解只能是.

又因为点，是图象上的点，

所以.

因为， ，，，所以实数的可能取值为.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：去绝对值后，根据的单调性，即可得到，进而得到，即可得到唯一整数解为.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（    ）

A. “为锐角三角形”是“”的充分不必要条件

B. 若，则为等腰三角形

C. 命题“若，则”是真命题

D. 若，，，则符合条件的有两个

【答案】AC

【解析】

【分析】由为锐角三角形，可得，根据正弦函数的单调性以及诱导公式可得.取为钝角，可知满足题意，即可判断A项；由已知可得或，即可判断B项；根据正弦定理，即可判断C项；根据余弦定理可求出，即可判断D项.

【详解】对于A项，若为锐角三角形，则，，且，即，又，，则；反之，若为钝角，满足，不能推出为锐角三角形，故A正确；

对于B项，由，得或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；

对于C项，若，则，由正弦定理，可得即成立，故C正确：

对于D项，根据余弦定理可得，解得（舍去负值），则符合条件的只有一个，故D错误．

故选：AC.

10. 已知函数，则下列说法中正确的是（    ）

A. ，若恒成立，则

B 若，则，

C. 若，则

D. 若，且，则

【答案】ACD

【解析】

【分析】由已知可得，取特殊值可知有解，即可判断A项；根据余弦函数的性质解，即可判断B项；先求出的图像关于点对称，然后根据已知条件结合函数的对称性，即可判断C项；先求出的图像关于直线对称，然后根据已知条件结合函数的对称性，可求出，代入求解即可判断D项.

【详解】对于A，因为，所以，；

取，，则，，有，所以，故A正确；

对于B，若，即，所以，或，，即，或，，故B错误；

对于C，解，，得，，所以的图像关于点对称.又，即，所以，所以，故C正确；

对于D，解，，得，，又，所以.即函数关于直线对称.又由已知可得， ，所以，故D正确．

故选：ACD.

11. 在数学史上，为了三角计算的简便及更加追求计算的精确性，曾经出现过两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作，则下列结论中正确的是（    ）

A.

B.

C. 若，则

D. 函数的最大值为

【答案】BC

【解析】

【分析】根据定义计算，故A错误；计算得到BC正确；化简得到

，取得最大值4，故D错误，得到答案.

【详解】对选项A：，故A错误；

对选项B：

，故B正确；

对选项C：，，分子分母同除以，得，故C正确，

对选项D：

，

当时，取得最大值4，故D错误．

故选：BC

12. 已知函数，，则在区间上的极值点的个数可能为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】AC

【解析】

【分析】由已知可得或.将代入函数，根据导函数得出极值点个数；将代入函数，可得.令，求得导函数，经分析可得在区间上单调递增.又，，根据零点存在定理以及的单调性，可知的单调性，同理可得出在上的单调性.进而可知为偶函数，根据偶函数的性质即可得出在上的单调性，进而得到极值点的个数.

【详解】解：由，得，

即，解得或.

又，所以或.

①当时，，，且.

令，则，

所以单调递增，即单调递增.

则当时，，在区间上单调递减；

当时，，区间上单调递增.

所以在区间上只有1个极值点；

②当时，，，且.

令，则.

令，则区间上恒成立，

所以在区间上单调递增，所以在区间上单调递增.

又，，

根据零点的存在定理，可知使得，

当时，，所以在区间上单调递减，所以在区间上单调递减；

当时，，所以在区间上单调递增，即在区间上单调递增.

所以在处有最小值.

又，，显然.

根据的单调性以及零点的存在定理，可得，使得，

当时，，所以在区间上单调递减；

当时，，所以在区间上单调递增.

又，所以为上的偶函数.

所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增.

所以，在处取得极小值，在处取得极大值，在处取得极小值.

故在区间上共有3个极值点.

综上，在区间上有1个或3个极值点．

故选：AC.

【点睛】关键点点睛：已知函数为偶函数，研究函数的单调性或极值时.可先根据导函数，研究时，函数的性质，进而根据偶函数的性质，得到整个定义区间上的性质.

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知，则___________.

【答案】##

【解析】

【分析】由差的正弦公式化简即可得出.

【详解】因为，所以，

整理可得，即.

故答案为：.

14. 已知定义在上的函数满足，若的图像关于直线对称，则_________.

【答案】1

【解析】

【分析】利用赋值法结合所给已知条件即可解决问题.

【详解】因为， 令

所以，

所以，

又的图像关于直线对称，

所以，

令，

则，

即，

所以.

故答案为：1.

15. 已知函数，若关于的方程在上有三个不同的实根，则实数的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】结合函数的奇偶性，化简后画出函数在上的图象，数形结合求出实数的取值范围.

【详解】当时，，故为偶函数，当时，，画出在上的图象如图所示，

要想保证方程在上有三个不同的实根，则，

故答案为：

16. 据气象部门报道某台风影响我国东南沿海一带，测定台风中心位于某市南偏东60°，距离该市400千米的位置，台风中心以40千米/时的速度向正北方向移动，距离台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则该市从受到台风影响到影响结束，持续的时间为_________小时．

【答案】##

【解析】

【分析】作图，在中，由余弦定理求出.由题意知，当时，该市受影响.整理得到，解出不等式的解集，即可得到答案.

【详解】如图，A点为某市的位置，B点是台风中心在向正北方向移动前的位置．

设台风移动小时后的位置为，则.

又，，

在中，由余弦定理，得，

由可得，，

整理可得，，

解得，

又，

所以该市从受到台风影响到影响结束，持续的时间为小时．

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知是定义在R上的奇函数，当时，．

（1）求的解析式；

（2）若，求实数t的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据函数的奇偶性求得的解析式.

（2）根据函数的奇偶性和单调性化简不等式，由此求得的取值范围.

【小问1详解】

因为为R上的奇函数，所以．

当时，，则．

因为是奇函数，所以，所以.

【小问2详解】

当时，，则在上单调递增．

因为是R上的奇函数，所以在R上单调递增．

由，可得，

所以，解得，故实数t的取值范围是．

18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，在

①，②

两个条件中任选一个完成以下问题：

（1）求B；

（2）若D在上，且，求的最大值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）选①，利用正弦定理得到，再利用余弦定理求出；选②：利用诱导公式和二倍角公式得到，从而求出；

（2）法一：利用余弦定理得到，利用基本不等式求出，求出面积的最大值，从而求出的最大值；法二：利用正弦定理外接圆的直径，进而利用正弦定理表示面积，利用三角函数的有界性求出面积最大值，进而求出的最大值.

【小问1详解】

若选①，由正弦定理得，

即，即

∴，

∵，∴，

若选②,

∵，

∴，即，

即（舍）或，

∵，∴，

【小问2详解】

∵，为边上的高，当面积最大时，高取得最大值

法一：由余弦定理得，，

由重要不等式得，

当且仅当时取等，

所以

所以边上的高的最大值为

法二：由正弦定理得外接圆的直径为，

利用正弦定理表示面积得：

所以边上的高的最大值为．

19. 已知函数，其图像上相邻的最高点和最低点间的距离为．

（1）求函数的解析式；

（2）记的内角的对边分别为，，，．若角的平分线交于，求的长．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）应用降幂公式及辅助角公式可得，根据相邻的最高、最低点距离、勾股定理求得，即可得解析式.

（2）由已知有，根据及三角形面积公式可得，再应用余弦定理求，进而可得的长．

【小问1详解】

因为，

设函数的周期为，由题意，即，解得，

所以.

【小问2详解】

由得：，即，解得，

因为，所以，

因为的平分线交于，

所以，即，可得，

由余弦定理得：，，而，

得，因此.

20. 在中，内角的对边分别为，．

（1）求角；

（2）是边上的点，若，，求的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理边化角、切化弦，结合三角恒等变换公式可化简已知等式求得，由此可得；

（2）设；在和分别利用正弦定理和余弦定理可构造关于的方程，解方程可求得结果.

【小问1详解】

由得：，

由正弦定理得：，

，又，，

；

有意义，，，即，

又，.

【小问2详解】

，，

设，则，

在中，由正弦定理得：，即；

在中，由余弦定理得：；

，解得：，

即，又，.

21. 已知的外心为，为线段上的两点，且恰为中点.

（1）证明：

（2）若，，求的最大值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）设，利用余弦定理求得，，再根据，化简，可求得，同理可求得，即可得证；

（2）利用余弦定理求得，，再根据结合（1）求得，设，可求得，再根据三角形的面积公式结合基本不等式即可得出答案.

【小问1详解】

证明：设，

由余弦定理知：，，

由是外心知，

而，

所以，

即，

而，因此，

同理可知，

因此，

所以；

【小问2详解】

解：由（1）知，

由余弦定理知：，，

代入得，

设，则，

因此，

当且仅当时取到等号，

因此的最大值为.

22. 已知函数，.

（1）若，求的最小值；

（2）若有且只有两个零点，求实数的取值范围.

【答案】（1）最小值为；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）代入，求出，根据的范围可得在上恒成立，即可求出最小值；

（2）显然，则原题可转化为在区间上有且只有1个零点．求出导函数，进而二次求导可得在区间上单调递增.推理得到当时，在上零点，根据导函数得到函数的单调性，结合零点的存在定理可得出实数的取值范围.

【小问1详解】

解：当时，，

则. 

当时，，

所以，

所以.

又，所以，

所以恒成立，

所以在区间上单调递增，

所以的最小值为.

小问2详解】

解：由已知可得，则在区间上有且只有1个零点．

，

令，.

则，

因为在区间上恒成立，

所以在区间上单调递增.

所以，当时，有最小值；当时，有最大值.

当时，有，则恒成立，则在区间上单调递增，所以.

又，所以在区间上无零点，不符合题意，舍去；

当时，有恒成立，则在区间上单调递减，所以.

又，所以在区间上无零点，不符合题意，舍去；

当时，有，.

又在区间上单调递增，

根据零点的存在定理可得，，使得.

当时，，单调递减：当时，，单调递增.

又，，要使在区间上有且只有一个零点，

则，解得.

又，所以.

综上，实数的取值范围是．

【点睛】方法点睛：根据函数零点的个数求解参数的取值范围：先观察看函数是否已存在零点，然后根据导函数研究函数的单调性，结合零点的存在定理，即可得到参数的取值范围.