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【上海专用】2023年中考数学易错题汇编——05 数与式（原卷版+解析版）
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易错点05 数与式
1、 有理数、无理数以及实数的有关概念理解错误，相反数、倒数、绝对值的意义概念混淆。弄不清绝对值与数的分类；
2、 关于实数的运算，要掌握好与实数的有关概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键是把好符号关；在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误；
3、 平方根、算术平方根、立方根的概念区别不清；
4、 分式值为零时易忽略分母不能为零；
5、 分式运算要注意运算法则和符号的变化。当分式的分子分母是多项式时要先因式分解，因式分解要分解到不能再分解为止，注意计算方法，不能去分母，把分式化为最简分式；
6、 非负数的性质：几个非负数的和为0，每个式子都为0；整体代入法；完全平方式；
7、 五个基本数的计算：0指数，三角函数，绝对值，负指数，二次根式的化简；
8、 科学记数法（正指数与负指数），保留有效数字，精确度等概念理解不清楚；
9、 代入求值要使式子有意义。各种数式的计算方法要掌握，一定要注意计算顺序。
一、单选题
例题1．（2021·上海·九年级专题练习）下列是有理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】需要对每一个实数的值进行计算，再根据有理数的定义进行判断．
【解析】解：A、，是有理数，符合题意；
B、，不是有理数，不符合题意；
C、，不是有理数，不符合题意；
D、，不是有理数，不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了有理数的概念以及求特殊角的三角函数值，掌握有理数的概念和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
例题2．（2021·上海·九年级专题练习）下列实数中，为有理数的是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】根据有理数是有限小数或无限循环小数可判断C，无理数是无限不循环小数，可判断A、B、D即可．
【解析】解：，，π是无理数，1是有理数．
故选C．
【点睛】本题考查了实数，正确区分有理数与无理数是解题的关键．
例题3．（2022春·上海杨浦·九年级校考阶段练习）下列各数：，0，，，，，，中，无理数个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解析】解：在，0，，，，，，中，
，，是无理数，共3个，其他数都是有理数，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，求一个数的算术平方根，特殊角的三角函数值，掌握无理数的定义是解题的关键．
例题4．（2021·上海·九年级专题练习）下列关于“0”的说法中，正确的是（ ）
A．0是最小的正整数 B．0没有相反数 C．0没有倒数 D．0没有平方根
【答案】C
【分析】根据有理数的分类，相反数、倒数、平方根的定义对各选项依次判断即可解答．
【解析】解：A、最小的正整数是1，故本选项错误；
B、0的相反数是0，故本选项错误；
C、0没有倒数，正确；
D、0的平方根是0，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查有理数的分类，相反数、倒数、平方根的定义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
例题5．（2021春·上海徐汇·九年级位育中学校考阶段练习）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．2与 B．（﹣1）2与1 C．﹣1与（﹣1）2 D．2与|﹣2|
【答案】C
【分析】两数互为相反数，它们的和为0，可对四个选项进行一一分析，看选项中的两个数和是否为0，如果和为0，则那组数互为相反数．
【解析】解：A、2+＝；
B、（﹣1）2+1＝2；
C、﹣1+（﹣1）2＝0；
D、2+|﹣2|＝4．
故选：C．
【点睛】此题考查相反数的定义及性质：互为相反数的两个数的和为0,以及有理数的加法计算法则．
例题6．（2022·上海宝山·统考二模）若数轴上表示－1和－3的两点分别是点A和点B，则点A和点B之间的距离是（ ）
A． B．－2 C．2 D．4
【答案】C
【分析】根据数轴上两点间的距离等于这两个数的差的绝对值列式计算即可得解．
【解析】解：AB=|-1-（-3）|=2．
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离及有理数的减法运算，正确表示数轴上两点间距离并准确计算是解题关键．
例题7．（2021·上海·九年级专题练习）已知实数x，y满足|x−4|+（y−8）2＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对
【答案】B
【分析】先根据绝对值和平方的非负性，可得到，然后分两种情况讨论，即可求解．
【解析】解：根据题意得：
，
解得：．
若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，因为 ，不能组成三角形；
若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8， ，能组成三角形，
所以周长为4+8+8=20．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，绝对值和平方的非负性，三角形的三边关系，熟练掌握有两边相等的三角形是等腰三角形是解题的关键．
例题8．（2022·上海奉贤·统考二模）据2022年北京冬奥会新闻发言人透露，中国大陆地区约316000000人次收看了冬奥会的开幕式．数据316000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解析】解：数字316000000科学记数法可表示为3.16×108．
故选C．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
例题9．（2022·上海青浦·统考二模）下列说法中，错误的有（ ）
①2能被6整除；②把16开平方得16的平方根，表示为；
③把237145精确到万位是240000；④对于实数，规定
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据平方根、近似数及分数指数幂可进行排除选项．
【解析】解：①2能被6整除，原说法错误；
②把16开平方得16的平方根，表示为，原说法错误；
③把237145精确到万位是，原说法错误；
④对于实数，规定，当m、n不为正整数时，不成立，原说法错误；所以错误的有4个；
故选：D．
【点睛】本题主要考查平方根、近似数及分数指数幂，熟练掌握平方根、近似数及分数指数幂是解题的关键．
例题10．（2021·上海·九年级专题练习）下列数中能同时被2、3整除的是（ ）
A．1.2 B． C． D．
【答案】D
【分析】用各项中的数字分别除以2和3即可得到正确的选项．
【解析】∵18 能被 2、3 整除，
∴ 能同时被 2、3 整除的数可以是 18，
故选：D．
【点睛】此题考查了有理数的除法，熟练掌握除法法则是解题的关键．
例题11．（2021·上海·九年级专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．的平方根是± B．﹣9是81的一个平方根
C．的算术平方根是4 D．＝﹣3
【答案】C
【分析】根据平方根的定义、算术平方根的定义、以及立方根的定义逐项分析即可．
【解析】解：A、因为（±）2＝，所以的平方根是±，故该选项说法正确；
B、因为（﹣9）2＝81，所以﹣9是81的一个平方根，关系选项说法正确；
C、因为＝4，所以的算术平方根2，不是4，故该选项说法错误；
D、因为（﹣3）3＝﹣27，所以＝﹣3，故该选项说法正确；
故选择：C．
【点睛】本题考查有关平方根，算术平方根，立方根问题，关键是掌握平方根的性质，算术平方根性质，以及立方根性质，会用性质进行审误．
例题12．（2021·上海·九年级专题练习）“a是实数，”这一事件是
A．必然事件 B．不确定事件 C．不可能事件 D．随机事件
【答案】A
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，结合乘方的意义可判断它们分别属于哪一种类别.
【解析】∵a为实数，
∴，
∴该事件一定成立，是必然事件．
故选A．
【点睛】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念用到的知识点为：确定事件包括必然事件和不可能事件必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
例题13．（2022春·上海普陀·九年级统考阶段练习）的平方根是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平方根的定义求解即可．
【解析】解：，
的平方根是，
故选：．
【点睛】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根，即x2=a，那么x叫做a的平方根，记作．
例题14．（2022春·上海·九年级上海市西南模范中学校考阶段练习）下列计算中，正确的是（ ）
A．； B．； C．； D．．
【答案】D
【分析】根据算术平方根和二次根式的运算法则去判断即可．
【解析】解：A．，故选项错误，不符合题意；
B．与不是同类二次根式，不能合并，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
例题15．（2022·上海闵行·统考二模）下列实数中，一定是无限不循环小数的是（ ）
A． B． C． D．0.2022022022…
【答案】C
【分析】根据有理数，无理数的定义进行判断即可．
【解析】是整数，不是无限不循环小数，A选项不符合题意；
是分数，不是无限不循环小数，B选项不符合题意；
是无限不循环小数，C选项符合题意；
0.2022022022…是无限循环小数，D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的定义，即无限不循环小数，涉及求一个数的立方根，熟练掌握知识点是解题的关键．
例题16．（2022·上海徐汇·统考二模）下列运算中结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘法、除法运算，幂的乘方，积的乘方等的运算规则求解即可．
【解析】解：A中，错误，故不符合题意；
B中，错误，故不符合题意；
C中，正确，故符合题意；
D中，错误，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、除法运算，幂的乘方，积的乘方．解题的关键在于正确的计算．
例题17．（2022·上海青浦·统考二模）下列关于代数式的说法中，正确的有（ ）
①单项式系数是2，次数是2022次；②多项式是一次二项；③是二次根式；④对于实数，．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据单项式的系数，次数，多项式的次数，二次根式的定义，二次根式的性质逐个分析判断即可．
【解析】解：①单项式系数是，次数是0次，故①不正确；
②多项式中不能约分，故②不正确；
③是二次根式，故③正确；
④对于实数，，故④正确；
故选B．
【点睛】本题考查了单项式的系数，次数，多项式的次数，二次根式的定义，二次根式的性质，掌握以上知识是解题的关键．单项式中，所有字母的指数和叫单项式的次数，数字因数叫单项式的系数，单项式中所有字母的指数的和叫做它的次数，通常系数不为0， 多项式的每一项都有次数，其中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数，一个多项式的项数就是合并同类项后用“＋”或“－”号之间的多项式个数，次数就是次数和最高的那一项的次数； 一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式的项数就是多项式中包含的单项式的个数．形如的代数式是二次根式．
例题18．（2021·上海浦东新·统考模拟预测）下列等式正确的是（ ）
A．x3•x﹣1＝x﹣3 B．x3•x﹣1＝x2 C．x3÷x﹣1＝x2 D．x3÷x﹣1＝x﹣3
【答案】B
【分析】分别根据同底数幂的乘法除法法则，根据法则逐一判断即可．
【解析】解：A．x3•x-1=x3-1=x2，故本选项不合题意；
B．x3•x-1=x3-1=x2，故本选项合题意；
C．x3÷x-1=x3-（-1）=x4，故本选项不合题意；
D．x3÷x-1=x3-（-1）=x4，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法除法法则，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
例题19．（2022·上海松江·校考三模）下列式子属于同类二次根式的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】A
【分析】根据同类二次根式的概念判断即可．
【解析】解：、与是同类二次根式，符合题意；
B、与不是同类二次根式，不符合题意；
C、与不是同类二次根式，不符合题意；
D、与不是同类二次根式，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
例题20．（2022春·上海静安·九年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）下列二次根式中，最简二次根式是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：（1）、被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）、被开方数中不能含有开方开的尽的因数或者因式．
【解析】解：A、 ，不是最简二次根式，不符合题意，
B、，是最简二次根式，符合题意，
C、，不是最简二次根式，不符合题意，
D、，不是最简二次根式，不符合题意，
故选B．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，理解掌握最简二次根式定义是解题关键．
二、填空题
例题21．（2022春·上海杨浦·九年级校考阶段练习）函数的定义域是______．
【答案】且
【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，列出不等式组，解不等式组即可求解．
【解析】解：依题意，，
解得：且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键．
例题22．（2022·上海·二模）已知满足，则的值是_______．
【答案】73
【分析】先根据二次根式有意义的条件求出a的取值范围，然后化简绝对值，再根据算术平方根求解．
【解析】解：∵a-9≥0，
∴a≥9，
∵，
∴，
∴，
∴a=73，
故答案为：73．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值的意义，以及无理方程的解法，根据二次根式有意义的条件求出a的取值范围是解答本题的关键．
例题23．（2021·上海·九年级专题练习）不等式的解集是__________________．
【答案】##
【分析】利用解不等式的方法与步骤求得解集，进一步化简即可．
【解析】解：，
，
，
．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，二次根式的化简，熟练掌握一元一次不等式的解法和二次根式的性质是解题的关键．
例题24．（2021·上海·九年级专题练习）写出二次根式的一个有理化因式是________．
【答案】
【分析】二次根式的有理化的目的就是去掉根号，所以的一个有理化因式是．
【解析】解：×＝（）2＝x＋y，
故的一个有理化因式是
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的有理化，根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．本题二次根式有理化主要利用平方公式．
三、解答题
例题25．（2022春·上海杨浦·九年级校考阶段练习）计算：．
【答案】
【分析】根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，分数指数幂，化简绝对值，分母有理化进行计算即可求解．
【解析】解：
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握负整数指数幂，特殊角的三角函数值，分数指数幂，化简绝对值，分母有理化是解题的关键．
例题26．（2022春·上海·九年级校考阶段练习）先化简，再求值：，其中.
【答案】，
【分析】括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的乘除运算，最后代入数值进行分母有理化计算即可
【解析】原式
当时，
原式
【点睛】本题考查了分式的化简求值和分母有理化，熟练掌握分式化简求值的步骤是解题的关键
1. 灵活的思维模式时切勿忘记养成一些好的习惯，好的解题素养，如分母-分式，则分母不为0，0指数幂底数不为0，一次函数k不为0，二次函数，一元二次方程a不为0等等；
2. 数与式的运算时多检查，切记答案化到最简形式。
一、单选题
1．（2021·上海·统考模拟预测）下列二次根式中，不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化简二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得答案．
【解析】解：A、，能与合并，故A不符合题意；
B、，能与合并，故B不符合题意；
C、，不能与合并，故C符合题意；
D、，能与合并，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式， 关键是掌握被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式．
2．（2021·上海·上海市实验学校校考二模）下列代数式中，为单项式的是（ ）
A． B．a C． D．
【答案】B
【分析】根据单项式的定义判断即可得出答案．
【解析】解：A、不是单项式，不符合题意；
B、是单项式，符合题意；
C、不是单项式，不符合题意；
D、是多项式，不是单项式，不符合题意，
故答案选B．
【点睛】本题考查单项式的定义：数字与字母的乘积组成的代数式为单项式，需要特别注意的是，单独的一个数字或一个字母也是单项式，且单项式是整式．
3．（2022·上海杨浦·统考二模）下列各式中，运算结果是分数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别计算出各选项的值，然后再判断即可．
【解析】解：A. = ，是分数，故该选项符合题意；
B. =1，是整数，故该选项不符合题意；
C. =2，是整数，故该选项不符合题意；
D. = ，是无理数，故该选项不符合题意．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂、二次根式的化简，解题关键是正确地计算出各式的值．
4．（2022·上海崇明·统考二模）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么x的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据最简二次根式的定义：二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．进行求解即可．
【解析】∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
5．（2022·上海静安·统考二模）如果把二次三项式分解因式得，那么常数的值是（ ）
A．3 B．-3 C．2 D．-2
【答案】B
【分析】将因式分解的结果用多项式乘法的展开，其结果与二次三项式比较即可求解．
【解析】解：∵
∴
故
故选B
【点睛】本题考查了因式分解，多项式的乘法运算，掌握多项式乘法与因式分解的关系是解题的关键．
6．（2022·上海青浦·统考二模）下列二次根式的被开方数中，各因式指数为1的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质及因式分解可进行求解．
【解析】解：A、的被开方数的因式指数为1，故符合题意；
B、的被开方数的因式分别为5，，其中x的指数为2，故不符合题意；
C、的被开方数的因式有3，，其中4是2的平方，故不符合题意；
D、的被开方数的因式为，指数是2，故不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查二次根式的概念及因式分解，熟练掌握二次根式的概念及因式分解是解题的关键．
二、填空题
7．（2022·上海·统考模拟预测）的相反数是______，-2的绝对值是______．
【答案】 2
【分析】据相反数的定义和绝对值的性质解答即可．
【解析】解：的相反数是；
−2的绝对值是2，
故答案为：，2．
【点睛】此题主要考查了绝对值的性质以及相反数的定义；符号相反，绝对值相等的两个数互为相反数，0的相反数是0．
8．（2022·上海·校联考模拟预测）若|a|=3，|b|=4，且a，b异号，则|a+b|=______．
【答案】1
【分析】根据题意可得：a=±3，b=±4，根据a、b异号可得：当a=3时，b=-4，a+b=-1；当a=－3时，b=4，则a+b=1.
【解析】∵|a|=3，|b|=4，
∴a=±3，b=±4，
∵a、b异号，
∴当a=3时，b=-4，；
当a=-3时，b=4，.
故答案为1
【点睛】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值等于同一个正数的数有两个，它们互为相反数，正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，是解此类问题的关键．
9．（2022秋·上海·九年级阶段练习）在中，若，满足，则＝__________．
【答案】105°
【分析】直接利用特殊角的三角函数值结合非负数的性质得出∠A=30°，∠B=45°，进而利用三角形内角和定理求出答案．
【解析】解：∵，
∴cosA-=0，
1-tanB=0，
∴∠A=30°，∠B=45°，
∴∠C=180°-30°-45°=105°．
故答案为：105°．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及非负数的性质，正确记忆相关数据是解题关键．
10．（2021·上海·九年级专题练习）计算：__．
【答案】6．
【分析】分别计算绝对值和0次幂，再计算和即可．
【解析】解：原式＝5+1
＝6．
故答案为：6．
【点睛】此题主要考查了实数运算，解题的关键是熟练掌握绝对值及零次幂的性质．
11．（2022春·上海·九年级上海市西南模范中学校考阶段练习）长江的长度约为6211300米，用科学记数法并保留三个有效数字可表示为______米．
【答案】6.21×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．
【解析】解：将6211300米，用科学记数法并保留三个有效数字可表示为6.21×106米．
故答案为：6.21×106.
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．熟练掌握科学记数法是解题的关键．
12．（2022·上海宝山·统考二模）如果一个数的平方等于，那么这个数是______．
【答案】
【分析】根据平方根的定义即可求解．
【解析】解：
这个数是．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键，一个正数的平方根有两个，且这两个数互为相反数．
13．（2021·上海·九年级专题练习）tan30°﹣＝_____．
【答案】﹣1
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及立方根的性质分别化简得出答案．
【解析】解：原式＝×﹣2
＝1﹣2
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查了三角函数值和立方根，解题关键是熟记三角函数值，准确进行计算．
14．（2021·上海·九年级专题练习）比较大小_____1；_____．（用<、>、=号相连）
【答案】 > <
【分析】负数比较大小，绝对值大的反而小，再根据实数比较大小的方法依次比较即可．
【解析】∵
∴
∴
∵
∴
故答案为：>，<．
【点睛】本题考查实数比较大小，掌握实数的性质和比较大小的方法为解题关键．
15．（2021·上海·九年级专题练习）的整数部分是_______，小数部分是______．
【答案】 3
【分析】由无理数的大小比较可得出，进而分别求出整数与小数部分即可．
【解析】，
，，
，，
的整数部分为3，小数部分为，
故答案为：3，．
【点睛】本题考查了无理数取值范围问题，正确求解出一个无理数位于哪两个整数之间是核心，进而能够将此无理数拆为整数与小数两部分是关键．
16．（2022春·上海·九年级校考期中）已知某种感冒病毒的直径是0.00000012米，那么这个数可用科学记数法表示为____米．
【答案】
【分析】根据科学记数法的表示形式完成即可．
【解析】
故答案为：
【点睛】本题考查了把绝对值小于1的数用科学记数法表示；科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，是正数；当原数的绝对值小于1时，是负数．
17．（2022·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）化简：________．
【答案】
【分析】对分母进行因式分解后约分即可．
【解析】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是分式的化简，能用十字相乘法对分母进行因式分解是关键．
18．（2020春·上海静安·九年级校考专题练习）分解因式：______．
【答案】
【分析】首先提取公因式，然后利用完全平方式进行因式分解即可．
【解析】解：
，
故答案为．
【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
19．（2022秋·上海·九年级上外附中校考阶段练习）在实数范围内因式分解：___________.
【答案】
【分析】当要求在实数范围内进行因式分解时，分解的因式一般要分解分到无理数为止．
【解析】
故答案为：
【点睛】本题考查实数范围内的因式分解，分解的因式一般要分解分到无理数为止．因式分解的步骤为：一提公因式；二用公式法．
20．（2021·上海·九年级专题练习）已知数轴上点A到原点的距离为1，且点A在原点的右侧，数轴上到点A的距离为的点所表示的数是________．
【答案】或
【分析】根据数轴上点A到原点的距离为1，且点A在原点的右侧，可以得到点A表示的数，从而可以得到数轴上到点A的距离为的点所表示的数．
【解析】解：∵数轴上点到原点的距离为1，且点在原点的右侧，
∴点表示的数是1，
∴数轴上到点的距离为的点所表示的数是：或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查实数与数轴、两点间的距离，解答本题的关键是明确题意，利用数轴的知识解答．
三、解答题
21．（2022春·上海·九年级校考期中）计算：．
【答案】-4
【分析】先算零次幂、特殊角的三角函数值、分数指数幂，再进行分母有理化、去绝对值，再去括号计算进行加减即可．
【解析】解：
=-4．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算，能确定准确的运算顺序，并能对各种运算进行准确的计算是解答此题的关键．
22．（2022春·上海·九年级校考阶段练习）先化简，再求值：，．
【答案】；
【分析】把分式化简，然后把x的值代入化简后的式子求值就可以了．
【解析】解：
=
=
=
=；
当时，原式=；
【点睛】本题考查了分式的化简求值，分式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简，难度不大．
一、单选题
1．（2022·上海闵行·统考二模）下列运算正确的是（ ）
A．； B．； C．；D．.
【答案】B
【分析】根据整式的运算法则逐个选项计算即可求出答案．
【解析】A. ，选项错误，不符合题意；
B. ，选项正确，符合题意；
C. ，选项错误，不符合题意；
D. ，选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
2．（2022·上海金山·校考一模）某市参加毕业考试的学生人数约为8.63×人．关于这里的近似数8.63×，下列说法正确的是（ ）
A．精确到百分位，有3个有效数字； B．精确到百位，有3个有效数字；
C．精确到百分位，有5个有效数字； D．精确到百位，有5个有效数字．
【答案】B
【分析】在标准形式a×10n中a的部分中，从左边第一个不为0的数字数起，共有3个有效数字是8，6，3，且其展开后可看出精确到的是百位．
【解析】解：8.63×104=86300，所以有3个有效数字，8，6，3，精确到百位．
故选：B．
【点睛】此题主要考查科学记数法与有效数字，解答的关键是明确用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．
3．（2022·上海普陀·统考二模）下列各数在数轴上所对应的点与原点的距离最远的是
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】根据到原点距离最远的点就是绝对值最大的数，对每个数作出判断，即可求出答案．
【解析】2到原点的距离是2个长度单位，
1到原点的距离是1个长度单位，
-1.5到原点的距离是1.5个长度单位，
-3到原点的距离是3个长度单位，
即到原点的距离最远的点是﹣3．
故选：D．
【点睛】本题考查绝对值的几何意义，绝对值就是一个数在数轴上到原点的距离，求出每一个数的绝对值就是到原点的距离．
4．（2021·上海浦东新·统考模拟预测）无理数的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】C
【分析】先计算出（）2的值为24，把24夹逼在两个相邻正整数的平方之间，再写出的范围即可．
【解析】解：（）2=22×（）2=4×6=24，
∵16＜24＜25，
∴4＜＜5．
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，求出（）2是解题的关键．
5．（2022·上海·二模）下列说法中错误的是（ ）
A．单项式0.5xyz的次数为3 B．单项式的次数是
C．10与同类项 D．1－x－xy是二次三项式
【答案】B
【分析】根据同类项、单项式、及多项式的概念进行解答即可．
【解析】解： A、单项式0.5xyz的次数为3，故A选项正确；
B、单项式的系数，次数是2，故B选项错误；
C、10与都属于常数项，是同类项，故C选项正确；
D、1－x－xy是二次三项式，故D选项正确．
故答案为：B．
【点睛】本题考查同类项、单项式、及多项式的概念，同类项“同类项是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项”；单项式“由数与字母的积组成的代数式叫做单项式；单独的一个数或一个字母也叫做单项式，字母前的常数为单项式的系数，所有字母的指数和为单项式的次数”；多项式“若干个单项式的和组成的式子叫做多项式，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数”．
6．（2021·上海·统考二模）在下列各式中，二次根式的有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平方差公式及有理化因式的定义逐个判断即可．
【解析】解：
的有理化因式是，故A、C、D均不符合题意，选项B符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式的化简、分母有理化等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
二、填空题
7．（2021·上海宝山·统考三模）化简：＝______．
【答案】
【分析】根据分式加减的运算法则，将分式通分、合并即可．
【解析】原式＝﹣，
＝，
＝，
＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的加减运算．解决本题的关键是准确通分，按照分式运算法则进行计算．
8．（2021·上海浦东新·统考模拟预测）计算：＝______．
【答案】．
【分析】根据分数指数幂和负整数幂的运算法则计算即可；
【解析】解：原式＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分数指数幂和负整数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键
9．（2019·上海·校考三模）计算：a﹣2b2•（a2b﹣2）﹣3＝_____．
【答案】
【分析】根据负整数指数幂、积的乘方的计算法则计算即可求解．
【解析】解： 原式＝•．
故答案为．
【点睛】本题考查积的乘方、负整数指数幂，关键是熟练掌握运算法则正确进行计算．
10．（2017·上海长宁·统考二模）已知函数，那么_____．
【答案】
【分析】根据题意可知，代入原函数即可解答.
【解析】因为函数，
所以当时， ．
【点睛】本题主要考查了代数式求值问题，熟练掌握相关知识点以及二次根式的运算是解题关键.
11．（2022·上海普陀·统考二模）已知，那么___________．
【答案】3
【分析】根据幂的乘方进行计算即可求解．
【解析】解：∵，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了幂的乘方运算，掌握幂的乘方，底数不变指数相乘是解题的关键．
12．（2020·上海宝山·校考三模）计算：_____________．
【答案】3x
【分析】根据单项式除单项式的法则计算即可．
【解析】由题意得：．
故答案为：3x．
【点睛】单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式．
13．（2022·上海松江·校考三模）如果一个等腰直角三角形的面积是，那它的直角边长是___________．
【答案】
【分析】可令等腰直角三角形的直角边长为，利用三角形的面积公式进行求解即可．
【解析】解：设等腰直角三角形的直角边长为，依题意得：
，
解得：或不符合题意，舍去．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，解答的关键是明确等腰直角三角形的两条直角边相等．
14．（2022·上海·一模）若3x﹣2＝y，则 ＝_____．
【答案】4
【分析】由3x﹣2＝y可得3x﹣y＝2，再根据幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则计算即可．
【解析】解：因为3x﹣2＝y，
所以3x﹣y＝2，
所以4．
故答案是：4．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方运算法则和同底数幂的除法法则，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键．
三、解答题
15．（2022·上海崇明·统考二模）计算：
【答案】
【分析】对每一项分别进行化简，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解析】原式
【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、分母有理化、特殊角度的三角函数值等考点的运算．
16．（2018·上海奉贤·统考二模）计算：．
【答案】．
【分析】直接利用负指数幂的性质和二次根式的性质以及分数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解析】原式=3﹣22=3．
【点睛】本题考查了实数运算、分数指数幂以及负整数指数幂，正确化简各数是解题的关键．
17．（2017·上海徐汇·统考二模）先化简，再求值： （其中）
【答案】a-4,
【分析】运用整式的运算及因式分解化简，之后将a值代入即可
【解析】原式
＝（a﹣1）﹣3
＝a﹣1﹣3
＝a﹣4．
当时，原式．
【点睛】本题的关键是掌握整式的运算与因式分解
易错点05 数与式
1、 有理数、无理数以及实数的有关概念理解错误，相反数、倒数、绝对值的意义概念混淆。弄不清绝对值与数的分类；
2、 关于实数的运算，要掌握好与实数的有关概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键是把好符号关；在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误；
3、 平方根、算术平方根、立方根的概念区别不清；
4、 分式值为零时易忽略分母不能为零；
5、 分式运算要注意运算法则和符号的变化。当分式的分子分母是多项式时要先因式分解，因式分解要分解到不能再分解为止，注意计算方法，不能去分母，把分式化为最简分式；
6、 非负数的性质：几个非负数的和为0，每个式子都为0；整体代入法；完全平方式；
7、 五个基本数的计算：0指数，三角函数，绝对值，负指数，二次根式的化简；
8、 科学记数法（正指数与负指数），保留有效数字，精确度等概念理解不清楚；
9、 代入求值要使式子有意义。各种数式的计算方法要掌握，一定要注意计算顺序。
一、单选题
例题1．（2021·上海·九年级专题练习）下列是有理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】需要对每一个实数的值进行计算，再根据有理数的定义进行判断．
【解析】解：A、，是有理数，符合题意；
B、，不是有理数，不符合题意；
C、，不是有理数，不符合题意；
D、，不是有理数，不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了有理数的概念以及求特殊角的三角函数值，掌握有理数的概念和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
例题2．（2021·上海·九年级专题练习）下列实数中，为有理数的是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】根据有理数是有限小数或无限循环小数可判断C，无理数是无限不循环小数，可判断A、B、D即可．
【解析】解：，，π是无理数，1是有理数．
故选C．
【点睛】本题考查了实数，正确区分有理数与无理数是解题的关键．
例题3．（2022春·上海杨浦·九年级校考阶段练习）下列各数：，0，，，，，，中，无理数个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解析】解：在，0，，，，，，中，
，，是无理数，共3个，其他数都是有理数，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，求一个数的算术平方根，特殊角的三角函数值，掌握无理数的定义是解题的关键．
例题4．（2021·上海·九年级专题练习）下列关于“0”的说法中，正确的是（ ）
A．0是最小的正整数 B．0没有相反数 C．0没有倒数 D．0没有平方根
【答案】C
【分析】根据有理数的分类，相反数、倒数、平方根的定义对各选项依次判断即可解答．
【解析】解：A、最小的正整数是1，故本选项错误；
B、0的相反数是0，故本选项错误；
C、0没有倒数，正确；
D、0的平方根是0，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查有理数的分类，相反数、倒数、平方根的定义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
例题5．（2021春·上海徐汇·九年级位育中学校考阶段练习）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．2与 B．（﹣1）2与1 C．﹣1与（﹣1）2 D．2与|﹣2|
【答案】C
【分析】两数互为相反数，它们的和为0，可对四个选项进行一一分析，看选项中的两个数和是否为0，如果和为0，则那组数互为相反数．
【解析】解：A、2+＝；
B、（﹣1）2+1＝2；
C、﹣1+（﹣1）2＝0；
D、2+|﹣2|＝4．
故选：C．
【点睛】此题考查相反数的定义及性质：互为相反数的两个数的和为0,以及有理数的加法计算法则．
例题6．（2022·上海宝山·统考二模）若数轴上表示－1和－3的两点分别是点A和点B，则点A和点B之间的距离是（ ）
A． B．－2 C．2 D．4
【答案】C
【分析】根据数轴上两点间的距离等于这两个数的差的绝对值列式计算即可得解．
【解析】解：AB=|-1-（-3）|=2．
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离及有理数的减法运算，正确表示数轴上两点间距离并准确计算是解题关键．
例题7．（2021·上海·九年级专题练习）已知实数x，y满足|x−4|+（y−8）2＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对
【答案】B
【分析】先根据绝对值和平方的非负性，可得到，然后分两种情况讨论，即可求解．
【解析】解：根据题意得：
，
解得：．
若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，因为 ，不能组成三角形；
若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8， ，能组成三角形，
所以周长为4+8+8=20．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，绝对值和平方的非负性，三角形的三边关系，熟练掌握有两边相等的三角形是等腰三角形是解题的关键．
例题8．（2022·上海奉贤·统考二模）据2022年北京冬奥会新闻发言人透露，中国大陆地区约316000000人次收看了冬奥会的开幕式．数据316000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解析】解：数字316000000科学记数法可表示为3.16×108．
故选C．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
例题9．（2022·上海青浦·统考二模）下列说法中，错误的有（ ）
①2能被6整除；②把16开平方得16的平方根，表示为；
③把237145精确到万位是240000；④对于实数，规定
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据平方根、近似数及分数指数幂可进行排除选项．
【解析】解：①2能被6整除，原说法错误；
②把16开平方得16的平方根，表示为，原说法错误；
③把237145精确到万位是，原说法错误；
④对于实数，规定，当m、n不为正整数时，不成立，原说法错误；所以错误的有4个；
故选：D．
【点睛】本题主要考查平方根、近似数及分数指数幂，熟练掌握平方根、近似数及分数指数幂是解题的关键．
例题10．（2021·上海·九年级专题练习）下列数中能同时被2、3整除的是（ ）
A．1.2 B． C． D．
【答案】D
【分析】用各项中的数字分别除以2和3即可得到正确的选项．
【解析】∵18 能被 2、3 整除，
∴ 能同时被 2、3 整除的数可以是 18，
故选：D．
【点睛】此题考查了有理数的除法，熟练掌握除法法则是解题的关键．
例题11．（2021·上海·九年级专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．的平方根是± B．﹣9是81的一个平方根
C．的算术平方根是4 D．＝﹣3
【答案】C
【分析】根据平方根的定义、算术平方根的定义、以及立方根的定义逐项分析即可．
【解析】解：A、因为（±）2＝，所以的平方根是±，故该选项说法正确；
B、因为（﹣9）2＝81，所以﹣9是81的一个平方根，关系选项说法正确；
C、因为＝4，所以的算术平方根2，不是4，故该选项说法错误；
D、因为（﹣3）3＝﹣27，所以＝﹣3，故该选项说法正确；
故选择：C．
【点睛】本题考查有关平方根，算术平方根，立方根问题，关键是掌握平方根的性质，算术平方根性质，以及立方根性质，会用性质进行审误．
例题12．（2021·上海·九年级专题练习）“a是实数，”这一事件是
A．必然事件 B．不确定事件 C．不可能事件 D．随机事件
【答案】A
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，结合乘方的意义可判断它们分别属于哪一种类别.
【解析】∵a为实数，
∴，
∴该事件一定成立，是必然事件．
故选A．
【点睛】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念用到的知识点为：确定事件包括必然事件和不可能事件必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
例题13．（2022春·上海普陀·九年级统考阶段练习）的平方根是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平方根的定义求解即可．
【解析】解：，
的平方根是，
故选：．
【点睛】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根，即x2=a，那么x叫做a的平方根，记作．
例题14．（2022春·上海·九年级上海市西南模范中学校考阶段练习）下列计算中，正确的是（ ）
A．； B．； C．； D．．
【答案】D
【分析】根据算术平方根和二次根式的运算法则去判断即可．
【解析】解：A．，故选项错误，不符合题意；
B．与不是同类二次根式，不能合并，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
例题15．（2022·上海闵行·统考二模）下列实数中，一定是无限不循环小数的是（ ）
A． B． C． D．0.2022022022…
【答案】C
【分析】根据有理数，无理数的定义进行判断即可．
【解析】是整数，不是无限不循环小数，A选项不符合题意；
是分数，不是无限不循环小数，B选项不符合题意；
是无限不循环小数，C选项符合题意；
0.2022022022…是无限循环小数，D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的定义，即无限不循环小数，涉及求一个数的立方根，熟练掌握知识点是解题的关键．
例题16．（2022·上海徐汇·统考二模）下列运算中结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘法、除法运算，幂的乘方，积的乘方等的运算规则求解即可．
【解析】解：A中，错误，故不符合题意；
B中，错误，故不符合题意；
C中，正确，故符合题意；
D中，错误，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、除法运算，幂的乘方，积的乘方．解题的关键在于正确的计算．
例题17．（2022·上海青浦·统考二模）下列关于代数式的说法中，正确的有（ ）
①单项式系数是2，次数是2022次；②多项式是一次二项；③是二次根式；④对于实数，．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据单项式的系数，次数，多项式的次数，二次根式的定义，二次根式的性质逐个分析判断即可．
【解析】解：①单项式系数是，次数是0次，故①不正确；
②多项式中不能约分，故②不正确；
③是二次根式，故③正确；
④对于实数，，故④正确；
故选B．
【点睛】本题考查了单项式的系数，次数，多项式的次数，二次根式的定义，二次根式的性质，掌握以上知识是解题的关键．单项式中，所有字母的指数和叫单项式的次数，数字因数叫单项式的系数，单项式中所有字母的指数的和叫做它的次数，通常系数不为0， 多项式的每一项都有次数，其中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数，一个多项式的项数就是合并同类项后用“＋”或“－”号之间的多项式个数，次数就是次数和最高的那一项的次数； 一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式的项数就是多项式中包含的单项式的个数．形如的代数式是二次根式．
例题18．（2021·上海浦东新·统考模拟预测）下列等式正确的是（ ）
A．x3•x﹣1＝x﹣3 B．x3•x﹣1＝x2 C．x3÷x﹣1＝x2 D．x3÷x﹣1＝x﹣3
【答案】B
【分析】分别根据同底数幂的乘法除法法则，根据法则逐一判断即可．
【解析】解：A．x3•x-1=x3-1=x2，故本选项不合题意；
B．x3•x-1=x3-1=x2，故本选项合题意；
C．x3÷x-1=x3-（-1）=x4，故本选项不合题意；
D．x3÷x-1=x3-（-1）=x4，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法除法法则，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
例题19．（2022·上海松江·校考三模）下列式子属于同类二次根式的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】A
【分析】根据同类二次根式的概念判断即可．
【解析】解：、与是同类二次根式，符合题意；
B、与不是同类二次根式，不符合题意；
C、与不是同类二次根式，不符合题意；
D、与不是同类二次根式，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
例题20．（2022春·上海静安·九年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）下列二次根式中，最简二次根式是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：（1）、被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）、被开方数中不能含有开方开的尽的因数或者因式．
【解析】解：A、 ，不是最简二次根式，不符合题意，
B、，是最简二次根式，符合题意，
C、，不是最简二次根式，不符合题意，
D、，不是最简二次根式，不符合题意，
故选B．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，理解掌握最简二次根式定义是解题关键．
二、填空题
例题21．（2022春·上海杨浦·九年级校考阶段练习）函数的定义域是______．
【答案】且
【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，列出不等式组，解不等式组即可求解．
【解析】解：依题意，，
解得：且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键．
例题22．（2022·上海·二模）已知满足，则的值是_______．
【答案】73
【分析】先根据二次根式有意义的条件求出a的取值范围，然后化简绝对值，再根据算术平方根求解．
【解析】解：∵a-9≥0，
∴a≥9，
∵，
∴，
∴，
∴a=73，
故答案为：73．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值的意义，以及无理方程的解法，根据二次根式有意义的条件求出a的取值范围是解答本题的关键．
例题23．（2021·上海·九年级专题练习）不等式的解集是__________________．
【答案】##
【分析】利用解不等式的方法与步骤求得解集，进一步化简即可．
【解析】解：，
，
，
．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，二次根式的化简，熟练掌握一元一次不等式的解法和二次根式的性质是解题的关键．
例题24．（2021·上海·九年级专题练习）写出二次根式的一个有理化因式是________．
【答案】
【分析】二次根式的有理化的目的就是去掉根号，所以的一个有理化因式是．
【解析】解：×＝（）2＝x＋y，
故的一个有理化因式是
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的有理化，根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．本题二次根式有理化主要利用平方公式．
三、解答题
例题25．（2022春·上海杨浦·九年级校考阶段练习）计算：．
【答案】
【分析】根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，分数指数幂，化简绝对值，分母有理化进行计算即可求解．
【解析】解：
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握负整数指数幂，特殊角的三角函数值，分数指数幂，化简绝对值，分母有理化是解题的关键．
例题26．（2022春·上海·九年级校考阶段练习）先化简，再求值：，其中.
【答案】，
【分析】括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的乘除运算，最后代入数值进行分母有理化计算即可
【解析】原式
当时，
原式
【点睛】本题考查了分式的化简求值和分母有理化，熟练掌握分式化简求值的步骤是解题的关键
1. 灵活的思维模式时切勿忘记养成一些好的习惯，好的解题素养，如分母-分式，则分母不为0，0指数幂底数不为0，一次函数k不为0，二次函数，一元二次方程a不为0等等；
2. 数与式的运算时多检查，切记答案化到最简形式。
一、单选题
1．（2021·上海·统考模拟预测）下列二次根式中，不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化简二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得答案．
【解析】解：A、，能与合并，故A不符合题意；
B、，能与合并，故B不符合题意；
C、，不能与合并，故C符合题意；
D、，能与合并，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式， 关键是掌握被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式．
2．（2021·上海·上海市实验学校校考二模）下列代数式中，为单项式的是（ ）
A． B．a C． D．
【答案】B
【分析】根据单项式的定义判断即可得出答案．
【解析】解：A、不是单项式，不符合题意；
B、是单项式，符合题意；
C、不是单项式，不符合题意；
D、是多项式，不是单项式，不符合题意，
故答案选B．
【点睛】本题考查单项式的定义：数字与字母的乘积组成的代数式为单项式，需要特别注意的是，单独的一个数字或一个字母也是单项式，且单项式是整式．
3．（2022·上海杨浦·统考二模）下列各式中，运算结果是分数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别计算出各选项的值，然后再判断即可．
【解析】解：A. = ，是分数，故该选项符合题意；
B. =1，是整数，故该选项不符合题意；
C. =2，是整数，故该选项不符合题意；
D. = ，是无理数，故该选项不符合题意．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂、二次根式的化简，解题关键是正确地计算出各式的值．
4．（2022·上海崇明·统考二模）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么x的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据最简二次根式的定义：二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．进行求解即可．
【解析】∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
5．（2022·上海静安·统考二模）如果把二次三项式分解因式得，那么常数的值是（ ）
A．3 B．-3 C．2 D．-2
【答案】B
【分析】将因式分解的结果用多项式乘法的展开，其结果与二次三项式比较即可求解．
【解析】解：∵
∴
故
故选B
【点睛】本题考查了因式分解，多项式的乘法运算，掌握多项式乘法与因式分解的关系是解题的关键．
6．（2022·上海青浦·统考二模）下列二次根式的被开方数中，各因式指数为1的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质及因式分解可进行求解．
【解析】解：A、的被开方数的因式指数为1，故符合题意；
B、的被开方数的因式分别为5，，其中x的指数为2，故不符合题意；
C、的被开方数的因式有3，，其中4是2的平方，故不符合题意；
D、的被开方数的因式为，指数是2，故不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查二次根式的概念及因式分解，熟练掌握二次根式的概念及因式分解是解题的关键．
二、填空题
7．（2022·上海·统考模拟预测）的相反数是______，-2的绝对值是______．
【答案】 2
【分析】据相反数的定义和绝对值的性质解答即可．
【解析】解：的相反数是；
−2的绝对值是2，
故答案为：，2．
【点睛】此题主要考查了绝对值的性质以及相反数的定义；符号相反，绝对值相等的两个数互为相反数，0的相反数是0．
8．（2022·上海·校联考模拟预测）若|a|=3，|b|=4，且a，b异号，则|a+b|=______．
【答案】1
【分析】根据题意可得：a=±3，b=±4，根据a、b异号可得：当a=3时，b=-4，a+b=-1；当a=－3时，b=4，则a+b=1.
【解析】∵|a|=3，|b|=4，
∴a=±3，b=±4，
∵a、b异号，
∴当a=3时，b=-4，；
当a=-3时，b=4，.
故答案为1
【点睛】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值等于同一个正数的数有两个，它们互为相反数，正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，是解此类问题的关键．
9．（2022秋·上海·九年级阶段练习）在中，若，满足，则＝__________．
【答案】105°
【分析】直接利用特殊角的三角函数值结合非负数的性质得出∠A=30°，∠B=45°，进而利用三角形内角和定理求出答案．
【解析】解：∵，
∴cosA-=0，
1-tanB=0，
∴∠A=30°，∠B=45°，
∴∠C=180°-30°-45°=105°．
故答案为：105°．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及非负数的性质，正确记忆相关数据是解题关键．
10．（2021·上海·九年级专题练习）计算：__．
【答案】6．
【分析】分别计算绝对值和0次幂，再计算和即可．
【解析】解：原式＝5+1
＝6．
故答案为：6．
【点睛】此题主要考查了实数运算，解题的关键是熟练掌握绝对值及零次幂的性质．
11．（2022春·上海·九年级上海市西南模范中学校考阶段练习）长江的长度约为6211300米，用科学记数法并保留三个有效数字可表示为______米．
【答案】6.21×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．
【解析】解：将6211300米，用科学记数法并保留三个有效数字可表示为6.21×106米．
故答案为：6.21×106.
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．熟练掌握科学记数法是解题的关键．
12．（2022·上海宝山·统考二模）如果一个数的平方等于，那么这个数是______．
【答案】
【分析】根据平方根的定义即可求解．
【解析】解：
这个数是．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键，一个正数的平方根有两个，且这两个数互为相反数．
13．（2021·上海·九年级专题练习）tan30°﹣＝_____．
【答案】﹣1
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及立方根的性质分别化简得出答案．
【解析】解：原式＝×﹣2
＝1﹣2
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查了三角函数值和立方根，解题关键是熟记三角函数值，准确进行计算．
14．（2021·上海·九年级专题练习）比较大小_____1；_____．（用<、>、=号相连）
【答案】 > <
【分析】负数比较大小，绝对值大的反而小，再根据实数比较大小的方法依次比较即可．
【解析】∵
∴
∴
∵
∴
故答案为：>，<．
【点睛】本题考查实数比较大小，掌握实数的性质和比较大小的方法为解题关键．
15．（2021·上海·九年级专题练习）的整数部分是_______，小数部分是______．
【答案】 3
【分析】由无理数的大小比较可得出，进而分别求出整数与小数部分即可．
【解析】，
，，
，，
的整数部分为3，小数部分为，
故答案为：3，．
【点睛】本题考查了无理数取值范围问题，正确求解出一个无理数位于哪两个整数之间是核心，进而能够将此无理数拆为整数与小数两部分是关键．
16．（2022春·上海·九年级校考期中）已知某种感冒病毒的直径是0.00000012米，那么这个数可用科学记数法表示为____米．
【答案】
【分析】根据科学记数法的表示形式完成即可．
【解析】
故答案为：
【点睛】本题考查了把绝对值小于1的数用科学记数法表示；科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，是正数；当原数的绝对值小于1时，是负数．
17．（2022·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）化简：________．
【答案】
【分析】对分母进行因式分解后约分即可．
【解析】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是分式的化简，能用十字相乘法对分母进行因式分解是关键．
18．（2020春·上海静安·九年级校考专题练习）分解因式：______．
【答案】
【分析】首先提取公因式，然后利用完全平方式进行因式分解即可．
【解析】解：
，
故答案为．
【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
19．（2022秋·上海·九年级上外附中校考阶段练习）在实数范围内因式分解：___________.
【答案】
【分析】当要求在实数范围内进行因式分解时，分解的因式一般要分解分到无理数为止．
【解析】
故答案为：
【点睛】本题考查实数范围内的因式分解，分解的因式一般要分解分到无理数为止．因式分解的步骤为：一提公因式；二用公式法．
20．（2021·上海·九年级专题练习）已知数轴上点A到原点的距离为1，且点A在原点的右侧，数轴上到点A的距离为的点所表示的数是________．
【答案】或
【分析】根据数轴上点A到原点的距离为1，且点A在原点的右侧，可以得到点A表示的数，从而可以得到数轴上到点A的距离为的点所表示的数．
【解析】解：∵数轴上点到原点的距离为1，且点在原点的右侧，
∴点表示的数是1，
∴数轴上到点的距离为的点所表示的数是：或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查实数与数轴、两点间的距离，解答本题的关键是明确题意，利用数轴的知识解答．
三、解答题
21．（2022春·上海·九年级校考期中）计算：．
【答案】-4
【分析】先算零次幂、特殊角的三角函数值、分数指数幂，再进行分母有理化、去绝对值，再去括号计算进行加减即可．
【解析】解：
=-4．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算，能确定准确的运算顺序，并能对各种运算进行准确的计算是解答此题的关键．
22．（2022春·上海·九年级校考阶段练习）先化简，再求值：，．
【答案】；
【分析】把分式化简，然后把x的值代入化简后的式子求值就可以了．
【解析】解：
=
=
=
=；
当时，原式=；
【点睛】本题考查了分式的化简求值，分式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简，难度不大．
一、单选题
1．（2022·上海闵行·统考二模）下列运算正确的是（ ）
A．； B．； C．；D．.
【答案】B
【分析】根据整式的运算法则逐个选项计算即可求出答案．
【解析】A. ，选项错误，不符合题意；
B. ，选项正确，符合题意；
C. ，选项错误，不符合题意；
D. ，选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
2．（2022·上海金山·校考一模）某市参加毕业考试的学生人数约为8.63×人．关于这里的近似数8.63×，下列说法正确的是（ ）
A．精确到百分位，有3个有效数字； B．精确到百位，有3个有效数字；
C．精确到百分位，有5个有效数字； D．精确到百位，有5个有效数字．
【答案】B
【分析】在标准形式a×10n中a的部分中，从左边第一个不为0的数字数起，共有3个有效数字是8，6，3，且其展开后可看出精确到的是百位．
【解析】解：8.63×104=86300，所以有3个有效数字，8，6，3，精确到百位．
故选：B．
【点睛】此题主要考查科学记数法与有效数字，解答的关键是明确用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．
3．（2022·上海普陀·统考二模）下列各数在数轴上所对应的点与原点的距离最远的是
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】根据到原点距离最远的点就是绝对值最大的数，对每个数作出判断，即可求出答案．
【解析】2到原点的距离是2个长度单位，
1到原点的距离是1个长度单位，
-1.5到原点的距离是1.5个长度单位，
-3到原点的距离是3个长度单位，
即到原点的距离最远的点是﹣3．
故选：D．
【点睛】本题考查绝对值的几何意义，绝对值就是一个数在数轴上到原点的距离，求出每一个数的绝对值就是到原点的距离．
4．（2021·上海浦东新·统考模拟预测）无理数的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】C
【分析】先计算出（）2的值为24，把24夹逼在两个相邻正整数的平方之间，再写出的范围即可．
【解析】解：（）2=22×（）2=4×6=24，
∵16＜24＜25，
∴4＜＜5．
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，求出（）2是解题的关键．
5．（2022·上海·二模）下列说法中错误的是（ ）
A．单项式0.5xyz的次数为3 B．单项式的次数是
C．10与同类项 D．1－x－xy是二次三项式
【答案】B
【分析】根据同类项、单项式、及多项式的概念进行解答即可．
【解析】解： A、单项式0.5xyz的次数为3，故A选项正确；
B、单项式的系数，次数是2，故B选项错误；
C、10与都属于常数项，是同类项，故C选项正确；
D、1－x－xy是二次三项式，故D选项正确．
故答案为：B．
【点睛】本题考查同类项、单项式、及多项式的概念，同类项“同类项是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项”；单项式“由数与字母的积组成的代数式叫做单项式；单独的一个数或一个字母也叫做单项式，字母前的常数为单项式的系数，所有字母的指数和为单项式的次数”；多项式“若干个单项式的和组成的式子叫做多项式，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数”．
6．（2021·上海·统考二模）在下列各式中，二次根式的有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平方差公式及有理化因式的定义逐个判断即可．
【解析】解：
的有理化因式是，故A、C、D均不符合题意，选项B符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式的化简、分母有理化等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
二、填空题
7．（2021·上海宝山·统考三模）化简：＝______．
【答案】
【分析】根据分式加减的运算法则，将分式通分、合并即可．
【解析】原式＝﹣，
＝，
＝，
＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的加减运算．解决本题的关键是准确通分，按照分式运算法则进行计算．
8．（2021·上海浦东新·统考模拟预测）计算：＝______．
【答案】．
【分析】根据分数指数幂和负整数幂的运算法则计算即可；
【解析】解：原式＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分数指数幂和负整数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键
9．（2019·上海·校考三模）计算：a﹣2b2•（a2b﹣2）﹣3＝_____．
【答案】
【分析】根据负整数指数幂、积的乘方的计算法则计算即可求解．
【解析】解： 原式＝•．
故答案为．
【点睛】本题考查积的乘方、负整数指数幂，关键是熟练掌握运算法则正确进行计算．
10．（2017·上海长宁·统考二模）已知函数，那么_____．
【答案】
【分析】根据题意可知，代入原函数即可解答.
【解析】因为函数，
所以当时， ．
【点睛】本题主要考查了代数式求值问题，熟练掌握相关知识点以及二次根式的运算是解题关键.
11．（2022·上海普陀·统考二模）已知，那么___________．
【答案】3
【分析】根据幂的乘方进行计算即可求解．
【解析】解：∵，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了幂的乘方运算，掌握幂的乘方，底数不变指数相乘是解题的关键．
12．（2020·上海宝山·校考三模）计算：_____________．
【答案】3x
【分析】根据单项式除单项式的法则计算即可．
【解析】由题意得：．
故答案为：3x．
【点睛】单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式．
13．（2022·上海松江·校考三模）如果一个等腰直角三角形的面积是，那它的直角边长是___________．
【答案】
【分析】可令等腰直角三角形的直角边长为，利用三角形的面积公式进行求解即可．
【解析】解：设等腰直角三角形的直角边长为，依题意得：
，
解得：或不符合题意，舍去．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，解答的关键是明确等腰直角三角形的两条直角边相等．
14．（2022·上海·一模）若3x﹣2＝y，则 ＝_____．
【答案】4
【分析】由3x﹣2＝y可得3x﹣y＝2，再根据幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则计算即可．
【解析】解：因为3x﹣2＝y，
所以3x﹣y＝2，
所以4．
故答案是：4．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方运算法则和同底数幂的除法法则，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键．
三、解答题
15．（2022·上海崇明·统考二模）计算：
【答案】
【分析】对每一项分别进行化简，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解析】原式
【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、分母有理化、特殊角度的三角函数值等考点的运算．
16．（2018·上海奉贤·统考二模）计算：．
【答案】．
【分析】直接利用负指数幂的性质和二次根式的性质以及分数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解析】原式=3﹣22=3．
【点睛】本题考查了实数运算、分数指数幂以及负整数指数幂，正确化简各数是解题的关键．
17．（2017·上海徐汇·统考二模）先化简，再求值： （其中）
【答案】a-4,
【分析】运用整式的运算及因式分解化简，之后将a值代入即可
【解析】原式
＝（a﹣1）﹣3
＝a﹣1﹣3
＝a﹣4．
当时，原式．
【点睛】本题的关键是掌握整式的运算与因式分解
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【上海专用】2023年中考数学易错题汇编——07 函数（原卷版+解析版）： 这是一份【上海专用】2023年中考数学易错题汇编——07 函数（原卷版+解析版），文件包含上海专用2023年中考数学易错题汇编07函数解析版docx、上海专用2023年中考数学易错题汇编07函数原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共55页， 欢迎下载使用。
