湖南省长沙市2023届九年级学业水平模拟考试（1）数学试卷(含答案)

2023年湖南省长沙市初中学业水平考试数学模拟试卷（一）

注意事项:

1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；

2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；

3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；

4.请匆折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；

5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；

6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分.

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1.下列各数中是无理数的是（     ）

A.2023 B.（3-）0 C. D.    2.1

2.根据国家卫健委消息，截至到2022年10月12日，全国31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗343785.1万剂次，将343785.1万用科学记数法表示为（    ）

A.3.437851×107 B.3.437851×108 C.3.437851×109 D.0.343785×109

3.下列图形一定是轴对称图形的是（     ）

A.直角三角形 B.平行四边形 C.等腰三角形 D.六边形

4.下列计算正确的是（　　）

A．（a+2）2＝a2+4  B．a5÷a2＝a3 C．3a3•2a2＝6a6 D．a3+a2＝a6

5.如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1=40°，则∠2的大小是（ 　）​

A. 40° B. 60° C. 70° D. 80°

6.如图，A，B，C是⊙O上的三点，若∠AOB＝68°，则∠ACB的度数是（　 　）

A．48° B．34° C．32° D．28°

7.已知双曲线y=经过点（﹣3，1），则k的值等于（     ）

A. 1 B. ﹣1 C. 3 D. ﹣3

8.为迎接中国共产党建党一百周年，某班50名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如下表，其中有两个数据被遮盖．

下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（　　）

A．平均数，方差 B．中位数，方差 C．中位数，众数 D．平均数，众数

9.以下转盘分别被分成2个、4个、5个、6个面积相等的扇形，任意转动这4个转盘各1次．已知某转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率是，则对应的转盘是（　 　）

A． B． C． D．

10. 已知实数，满足，，若，则下列说法中正确的是（   ）

A. 只有最大值没有最小值                      B. 只有最小值没有最大值

C. 既有最大值又有最小值 D. 既没最大值也没最小值

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.分解因式：4ax2﹣16ay2＝           ．

12.如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应 　  　度（填“增加”或“减少”）．

13.关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是 　    　．

14.已知一元二次方程x2+x﹣2022＝0的两根分别为m，n，则+的值为 　          ．

15.如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC = 70°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM = 15°，过点D作DF⊥CM，垂足为F.若DF =，则对角线BD的长为       .（结果保留根号）

16. 公元前240年前后，在希腊的亚历山大城图书馆当馆长的埃拉托色尼（Eratosthenes）通过测得有关数据，求得了地球圆周的长度．他是如何测量的呢？如图所示，由于太阳距离地球很远，太阳射来的光线可以看作平行线，在同时刻，光线与A城和地心的连线OP所夹的锐角记为∠1，光线与B城和地心的连线OQ重合，通过测量A，B两城间的距离（即AB）和∠1的度数，利用圆的有关知识，地球圆周的长度就可以大致算出来了．已知AB≈768m，若∠1≈7.2°，则地球的周长约为     　km．

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分6分)计算：cos45°﹣（）﹣1+（﹣1）2023＋（ -2）0 

18.(本小题满分6分)先化简，再求值：（2x+1）（2x﹣1）﹣（2x﹣3）2，其中x＝﹣1．

19.(本小题满分6分)《淮南子・天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点A处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点B，使B，A两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点B处立一根杆；日落时，在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C，使C，B两点间的距离为10步，在点C处立一根杆．取CA的中点D，那么直线DB表示的方向为东西方向．

（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A，B，C的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作CA的中点D（保留作图痕迹）；

（2）在如图中，确定了直线DB表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线CA表示的方向为南北方向，完成如下证明．

证明：在△ABC中，BA＝　   　，D是CA的中点，

∴CA⊥DB（ 　   　）（填推理的依据）．

∵直线DB表示的方向为东西方向，

∴直线CA表示的方向为南北方向．

20.(本小题满分8分)2022年是中国共产主义青年团成立100周年，五四青年节期间某校组织九年级学生参加“共青团成立100周年知识竞赛”，为了解学生对共青团知识的掌握情况，学校随机抽取了部分同学的成绩作为样本，把成绩按不及格、合格、良好、优秀四个等级分别进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图与扇形统计图：

请根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）根据给出的信息，将这两个统计图补充完整（不必写出计算过程）；

（2）该校八年级有学生650人，请估计成绩未达到“良好”及以上的有多少人？

（3）“优秀”学生中有甲、乙、丙、丁四位同学表现突出，现从中派2人参加区级比赛，求抽到甲、乙两人的概率．

21．（本小题满分8分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．

（1）求证：四边形OEFG是矩形；

（2）若AD=8，EF=3，求AF的长．

22.(本小题满分9分)2021年2月20日，长沙市奋力实施“三高四新”战略全面推进高质量发展大会圆满召开。推进农业农村现代化是实施“三高四新”战略、建设现代化新湖南的重要基础。为积极响应响应党的政策，某科技公司为助力“数字农场”建设，计划对农场进行返利销售。返利前，销售1台A型设备、1台B型设备共获利0.6万元，销售2台A型设备、3台B型设备共获利1.7万元．

（1）返利前，每台A型设备和每台B型设备各获利多少万元？

（2）农场计划添置A、B型设备共10台，科技公司对此制定返利政策：A型设备销售方式不变，B型设备每台返利a万元。在返利政策下，科技公司发现销售获利与A型设备销售量无关，求a的值。（说明：科技公司销售获利=A型设备所获利润+B型设备所获利润．）

23.(本小题满分9分)如图，小湖边有一棵大树（AB）与一棵小树（CD），受测量工具、地理环境及安全等因素影响不能直接测量它们的高度之差，小明与小丽手中只有一副含30°角的直角三角尺和一根皮尺，小明首先在与树根B、D成一条直线的点E处用直角三角尺测得小树CD顶部C的仰角为30°，然后他向后移动调整，在M处用三角尺测得大树AB顶部A的仰角也是30°，移动过程中保持点M、E、B、D在一条直线上，然后两人用皮尺测得BD＝4.5米，EM＝1.5米，求两棵树的高度之差．

24.(本小题满分10分)德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”．

如图①，点C把线段AB分成两部分，如果＝≈0.618，那么称点C为线段AB的黄金分割点．

（1）特例感知：在图①中，若AB＝100，求AC的长；

（2）知识探究：如图②，作⊙O的内接正五边形；

①作两条相互垂直的直径MN、AI；

②作ON的中点P，以P为圆心，PA为半径画弧交OM于点Q；

③以点A为圆心，AQ为半径，在⊙O上连续截取等弧，使弦AB＝BC＝CD＝DE＝AQ，连接AE；

则五边形ABCDE为正五边形．

在该正五边形作法中，点Q是否为线段OM的黄金分割点？请说明理由；

（3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有着密切的联系．

延长题（2）中的正五边形ABCDE的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图③，点E是线段PD的黄金分割点，请利用题中的条件，求cos72°的值．

25.(本小题满分10分)抛物线的顶点在直线上，过点F（－2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．

（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；

（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF＝NB；

（3）若射线NM交x轴于点P，且PA×PB＝，求点M的坐标．

2023年湖南省长沙市初中学业水平考试数学模拟试卷（一）答案

1.C2.c3.c4.B5.D6.B7.D8.C9.D10.B11.4a（x﹣2y）（x+2y）12.减少，10 13.a≥6  14.15.   16.38400   17.解：原式=

18.解：原式＝4x2﹣1﹣(4x2﹣12x+9)＝4x2﹣1﹣4x2+12x﹣9＝12x﹣10．∵x＝﹣1,

∴12x﹣10＝12×(﹣1)﹣10＝﹣22．

19.解：（1）如图，点D即为所求．

（2）在△ABC中，BA＝BC，D是CA的中点，

∴CA⊥DB（三线合一），

∵直线DB表示的方向为东西方向，

∴直线CA表示的方向为南北方向．

故答案为：BC，三线合一．

20.解：（1）抽取的学生人数为：2÷5%＝40（人），

则达到“良好”的学生人数为：40×40%＝16（人），达到“合格”的学生所占的百分比为：10÷40×100%＝25%，达到“优秀”的学生所占的百分比为：12÷40×100%＝30%，

将两个统计图补充完整如下：

（2）650×（5%+25%）＝195（人），

答：估计成绩未达到“良好”及以上的有195人；

（3）画树状图如图：

共有12种等可能的结果，抽到甲、乙两人的结果有2种，

∴抽到甲、乙两人的概率为＝．

21．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，OB=OD，∵E是AD的中点，

∴OE是△ABD的中位线，∴OE∥AB，∴OE∥FG，∵OG∥EF，

∴四边形OEFG是平行四边形，∵EF⊥AB，∴∠EFG=90°，∴四边形OEFG是矩形；

（2）

22．解：（1）设返利前，每台A型设备和每台B型设备各获利x，y万元

依题意得：，解得：．

答：返利前，每台A型设备和每台B型设备各获利0.1，0.5万元．

（2）设A型设备销售m台，则B型设备销售（10-m）台，

依题意得：获利w=0.1m+（0.5-a）(10-m)=(a-0.4)m+5-10a

∵科技公司发现销售获利与A型设备销售量无关，∴a-0.4=0，即a=0.4∴a的值为0.4

23.

24.解：（1）根据黄金分割点的意义，得＝，∵AB＝100，∴AC＝50﹣50；

（2）Q是线段OM的黄金分割点，理由如下：

设⊙O的半径为r，则OP＝r，

∴PQ＝AP＝＝r，

∴OQ＝QP﹣OP＝r﹣r＝r，MQ＝OM﹣OQ＝r﹣r＝r，

∴＝＝＝＝，即Q是线段OM的黄金分割点；

（3）如图③，作PH⊥AE于H，由题可知，AH＝HE，

∵正五边形的每个内角都为（5﹣2）×180°÷5＝108°，∴∠PEH＝180°﹣108°＝72°，

即cos∠PEH＝cos72°＝，∵点E是线段PD的黄金分割点，

∴＝，又∵DE＝AE，HE＝AH＝AE，

∴cos72°＝＝＝×＝×＝．

25.解：（1）∵，∴顶点坐标为(－2 , )．

∵顶点在直线上，∴－2+3=，解得．

（2）∵点N在抛物线上，且点N的横坐标为a，

∴点N的纵坐标为，即点N(a, )．过点F作FC⊥NB于点C，

Rt△FCN中，FC=a+2，NC=NB－CB=,

∴．

而，∴NF2=NB2，NF=NB．

（3）连接AF、BF，

由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，由（2）的结论知，MF=MA，

∴∠MAF=∠MFA．∵MA⊥x轴，NB⊥x轴，∴MA∥NB．∴∠AMF+∠BNF=180°．

∵△MAF和△NFB的内角总和为360°，∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°．

∵∠MAB+∠NBA=180°，∴∠FBA+∠FAB=90°．

又∵∠FAB+∠MAF=90°，∴∠FBA=∠MAF=∠MFA ．

又∵∠FPA=∠BPF，∴△PFA∽△PBF．

∴，∴PF2= PA×PB＝．过点F作FG⊥x轴于点G．

在Rt△PFG中，，∴PO=PG+GO=．∴P(－ , 0) ．

设直线PF：，把点F（－2 , 2）、点P(－ , 0)代入得

，解得．∴直线PF：．

解方程，得x=－3或x=2（不合题意，舍去）．

当x=－3时，，∴M（－3 , ）．