2023年上海市春季高考数学试卷（解析版）

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2023年上海市春季高考数学试卷（解析版）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题满分54分，第7-12题每题满分54分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．（4分）已知集合A＝{1，2}，B＝{1，a}，且A＝B，则a＝　2　．
【解答】解：集合A＝{1，2}，B＝{1，a}，且A＝B，
则a＝2．
故答案为：2．
2．（4分）已知向量＝（3，4），＝（1，2），则﹣2＝　（1，0）　．
【解答】解：因为向量＝（3，4），＝（1，2），
所以﹣2＝（3﹣2×1，4﹣2×2）＝（1，0）．
故答案为：（1，0）．
3．（4分）不等式|x﹣1|≤2的解集为：　[﹣1，3]　．（结果用集合或区间表示）
【解答】解：不等式|x﹣1|≤2即为﹣2≤x﹣1≤2，
即为﹣1≤x≤3，
则解集为[﹣1，3]，
故答案为：[﹣1，3]．
4．（4分）已知圆C的一般方程为x2+2x+y2＝0，则圆C的半径为 　1　．
【解答】解：根据圆C的一般方程为x2+2x+y2＝0，可得圆C的标准方程为（x+1）2+y2＝1，
故圆C的圆心为（0，﹣1），半径为1，
故答案为：1．
5．（4分）已知事件A的对立事件为，若P（A）＝0.5，则P（）＝　0.5　．
【解答】解：事件A的对立事件为，
若P（A）＝0.5，则P（）＝1﹣0.5＝0.5．
故答案为：0.5．
6．（4分）已知正实数a、b满足a+4b＝1，则ab的最大值为 　　．
【解答】解：正实数a、b满足a+4b＝1，则ab＝，当且仅当a＝，时等号成立．
故答案为：．
7．（5分）某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为186cm，最小值为154cm，根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为 　7　．
【解答】解：极差为186﹣154＝32，组距为5，且第一组下限为153.5，
＝6.4，故组数为7组，
故答案为：7．
8．（5分）设（1﹣2x）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0+a4＝　17　．
【解答】解：根据题意及二项式定理可得：
a0+a4＝＝17．
故答案为：17．
9．（5分）已知函数f（x）＝2﹣x+1，且g（x）＝，则方程g（x）＝2的解为 　x＝3　．
【解答】解：当x≥0时，g（x）＝2⇔log2（x+1）＝2，解得x＝3；
当x＜0时，g（x）＝f（﹣x）＝2x+1＝2，解得x＝0（舍）；
所以g（x）＝2的解为：x＝3．
故答案为：x＝3．
10．（5分）为了学习宣传党的二十大精神，某校学生理论宣讲团赴社区宣讲，已知有4名男生，6名女生，从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为 　0.5　．
【解答】解：从10人中任选3人的事件个数为，
恰有1名男生2名女生的事件个数为，
则恰有1名男生2名女生的概率为 ，
故答案为：0.5．
11．（5分）已知z1，z2∈C且z1＝i（i为虚数单位），满足|z1﹣1|＝1，则|z1﹣z2|的取值范围为 　[0，]　．
【解答】解：设z1﹣1＝cosθ+isinθ，则z1＝1+cosθ+isinθ，
因为z1＝i•，所以z2＝sinθ+i（cosθ+1），
所以|z1﹣z2|＝
＝＝，
显然当＝时，原式取最小值0，
当＝﹣1时，原式取最大值2，
故|z1﹣z2|的取值范围为[0，]．
故答案为：[0，]．
12．（5分）已知、、为空间中三组单位向量，且⊥、⊥，与夹角为60°，点P为空间任意一点，且||＝1，满足|•|≤|•|≤|•|，则|•|最大值为 　　．
【解答】解：设，，，
，不妨设x，y，z＞0，则||＝x2+y2+z2＝1，
因为|•|≤|•|≤|•|，
所以，可得，z≥y，
所以，解得，
故＝y．
故答案为：．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题满分18分，第15-16题每题满分18分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸相应的位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13．（4分）下列函数是偶函数的是（　　）
A．y＝sinx B．y＝cosx C．y＝x3 D．y＝2x
【解答】解：对于A，由正弦函数的性质可知，y＝sinx为奇函数；
对于B，由正弦函数的性质可知，y＝cosx为偶函数；
对于C，由幂函数的性质可知，y＝x3为奇函数；
对于D，由指数函数的性质可知，y＝2x为非奇非偶函数．
故选：B．
14．（4分）如图为2017﹣2021年上海市货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口贸易额描述错误的是（　　）

A．从2018年开始，2021年的进出口总额增长率最大
B．从2018年开始，进出口总额逐年增大
C．从2018年开始，进口总额逐年增大
D．从2018年开始，2020年的进出口总额增长率最小
【解答】解：显然2021年相对于2020年进出口额增量增加特别明显，故最后一年的增长率最大，A对；
统计图中的每一年条形图的高度逐年增加，故B对；
2020年相对于2019的进口总额是减少的，故C错；
显然进出口总额2021年的增长率最大，而2020年相对于2019年的增量比2019年相对于2018年的增量小，
且计算增长率时前者的分母还大，故2020年的增长率一定最小，D正确．
故选：C．
15．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P为边A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（　　）

A．DD1 B．AC C．AD1 D．B1C
【解答】解：对于A，当P是A1C1的中点时，BP与DD1是相交直线；
对于B，根据异面直线的定义知，BP与AC是异面直线；
对于C，当点P与C1重合时，BP与AD1是平行直线；
对于D，当点P与C1重合时，BP与B1C是相交直线．
故选：B．
16．（5分）已知无穷数列{an}的各项均为实数，Sn为其前n项和，若对任意正整数k＞2022都有|Sk|＞|Sk+1|，则下列各项中可能成立的是（　　）
A．a1，a3，a5，⋯，a2n﹣1，⋯为等差数到，a2，a4，a6，⋯，a2n，⋯为等比数列
B．a1，a3，a5，⋯，a2n﹣1，⋯为等比数列，a2，a4，a6，⋯，a2n，⋯为等差数列
C．a1，a2，a3，⋯，a2022为等差数列，a2022，a2023，⋯，an，⋯为等比数列
D．a1，a2，a3，⋯，a2022为等比数列，a2022，a2023，⋯，an，⋯为等差数列
【解答】解：由对任意正整数k＞2022，都有|Sk|＞|Sk+1|，可以知道a2022，a2033，a2024，⋯，an不可能为等差数列，
因为若d＜0，当n→+∞，an→﹣∞，Sn→﹣∞，必有k使得|Sk+1|＞|Sk|，矛盾；若d＝0，an＝0，则|Sk|＝|Sk+1|，矛盾；
若d＝0，an＜0，当n→+∞，Sn→﹣∞，k使得|Sk+1|＞|Sk|，矛盾；若d＝0，an＞0，当n→+∞，Sn→+∞，必有k使得|Sk+1|＞|Sk|，矛盾；
若d＞0，当n→+∞，an→+∞，Sn→+∞必有k使得|Sk+1|＞|Sk|，矛盾；
所以选项B中的a2，a4，a6，⋯，a2n为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；
选项D中的a2022，a2023，a2024，⋯，an为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；
选项A中的a1，a3，a5，⋯，a2n﹣1为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；
事实上，只需取即可．
故选：C．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。
17．（14分）已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AB＝3，AC＝4，M为BC中点，过点M分别作平行于平面PAB的直线交AC、PC于点E，F．
（1）求直线PM与平面ABC所成角的大小；
（2）求直线ME到平面PAB的距离．

【解答】解：（1）连接AM，PM，
∵PA⊥平面ABC，
∴∠PMA为直线PM与平面ABC所成的角，
在△PAM中，∵AB⊥AC，∴BC＝＝5，
∵M为BC中点，∴AM＝BC＝，

∴tan∠PMA＝，即直线PM与平面ABC所成角为arctan；
（2）由ME∥平面PAB，MF∥平面PAB，ME∩MF＝M，
∴平面MEF∥平面PAB，∵ME⊂平面MEF，∴ME∥平面PAB，
∵PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，
∴PA⊥AC，∵AB⊥AC，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，
∴AC⊥平面PAB，∴AE为直线ME到平面PAB的距离，
∵ME∥平面PAB，ME⊂平面ABC，平面ABC∩平面PAB＝AB，
∴ME∥AB，∵M为BC中点，∴E为AC中点，∴AE＝2，
∴直线ME到平面PAB的距离为2．

18．（14分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，其中b＝2．
（1）若A+C＝120°，a＝2c，求边长c；
（2）若A﹣C＝15°，a＝csinA，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵A+C＝120°，且a＝2c，
∴sinA＝2sinC＝2sin（120°﹣A）＝cosA+sinA，
∴cosA＝0，
∴A＝90°，C＝30°，B＝60°，
∵b＝2，
∴c＝；
（2）a＝csinA，
则sinA＝sinCsinA，
sinA＞0，
∴sinC＝，
∵A﹣C＝15°，
∴C为锐角，
∴C＝45°，A＝60°，B＝75°，
∴＝，
∴a＝＝3，
∴S△ABC＝absinC＝＝3﹣．
19．（14分）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数”S＝，其中F0为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），V0为建筑物的体积（单位：立方米）．
（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为R，高度为H，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体形系数”S；（结果用含R、H的代数式表示）
（2）定义建筑物的“形状因子”为f＝，其中A为建筑物底面面积，L为建筑物底面周长，又定义T为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设n为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为S＝+．当f＝18，T＝10000时，试求当该宿舍楼的层数n为多少时，“体形系数”S最小．
【解答】解：（1）由圆柱体的表面积和体积公式可得：
，
所以．
（2）由题意可得S＝+＝+，n∈N*，
所以S′＝﹣＝，
令S′＝0，解得n＝≈6.27，
所以S在[1，6.27]单调递减，在[6.27，+∞）单调递增，
所以S的最小值在n＝6或7取得，
当n＝6时，S＝≈0.31，
当n＝7时，S＝0.16，
所以在n＝6时，该建筑体S最小．
20．（18分）已知椭圆Γ：+＝1（m＞0且m≠）．
（1）若m＝2，求椭圆Γ的离心率；
（2）设A1、A2为椭圆Γ的左右顶点，椭圆Γ上一点E的纵坐标为1，且•＝﹣2，求实数m的值；
（3）过椭圆Γ上一点P作斜率为的直线l，若直线l与双曲线﹣＝1有且仅有一个公共点，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）若m＝2，则a2＝4，b2＝3，∴a＝2，c＝＝1，∴e＝＝；
（2）由已知得A1（﹣m，0），A2（m，0），设E（p，1），
∴+＝1，即p2＝m2，
∴＝（﹣m﹣p，﹣1），＝（m﹣p，﹣1），∴•＝（﹣m﹣p，﹣1）•（m﹣p，﹣1）＝p2﹣m2+1＝﹣2，
∵p2＝m2，代入求得m＝3；
（3）设直线y＝x+t，联立椭圆可得+＝1，
整理得（3+3m2）x2+2tm2x+（t2﹣3）m2＝0，
由△≥0，∴t2≤3m2+3，
联立双曲线可得﹣＝1，整理得（3﹣m2）x2+2tx+（t2﹣5m2）＝0，
由Δ＝0，t2＝5m2﹣15，
∴5m2﹣15≤3m2+3，
∴﹣3≤m≤3，
又5m2﹣15≥0，∴m≥，∵m≠，
综上所述：m∈（，3]．
21．（18分）已知函数f（x）＝ax3﹣（a+1）x2+x，g（x）＝kx+m（其中a≥0，k，m∈R），若任意x∈[0，1]均有f（x）≤g（x），则称函数y＝g（x）是函数y＝f（x）的“控制函数”，且对所有满足条件的函数y＝g（x）在x处取得的最小值记为（x）．
（1）若a＝2，g（x）＝x，试判断函数y＝g（x）是否为函数y＝f（x）的“控制函数”，并说明理由；
（2）若a＝0，曲线y＝f（x）在x＝处的切线为直线y＝h（x），证明：函数y＝h（x）为函数y＝f（x）的“控制函数”，并求（）的值；
（3）若曲线y＝f（x）在x＝x0，x0∈（0，1）处的切线过点（1，0），且c∈[x0，1]，证明：当且仅当c＝x0或c＝1时，（c）＝f（c）．
【解答】解：（1）f（x）＝2x3﹣3x2+x，设h（x）＝f（x）﹣g（x）＝2x3﹣3x2，
h′（x）＝6x2﹣6x＝6x（x﹣1），当x∈[0，1]时，易知h′（x）＝6x（x﹣1）≤0，即h（x）单调减，
∴h（x）max＝h（0）＝0，即f（x）﹣g（x）≤0⇒f（x）≤g（x），
∴g（x）是f（x）的“控制函数“；
（2），
∴，
∴f（x）≤h（x），即y＝h（x）为函数y＝f（x）的“控制函数“，
又，且，∴；
证明：（3）f（x）＝ax3﹣（a+1）x2+x，f′（x）＝3ax2﹣2（a+1）x+1，
y＝f（x）在x＝x0（x0∈（0，1））处的切线为t（x），
t（x）＝f′（x0）（x﹣x0）+f（x0），t（x0）＝f（x0），t（1）＝0⇒f（1）＝0，

，
，
，
，
恒成立，
函数t（x）必是函数y＝f（x）的“控制函数“，
是函数y＝f（x）的“控制函数“，
此时“控制函数“g（x）必与y＝f（x）相切于x点，t（x）与y＝f（x）在处相切，且过点（1，0），
在之间的点不可能使得y＝f（x）在切线下方，所以或c＝1，
所以曲线y＝f（x）在x＝x0（x0∈（0，1））处的切线过点（1，0），且c∈[x0，1]，
当且仅当c＝x0或c＝1时，．


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