2023届天津市十二区重点中学高三毕业班联考（一）数学试题

2023年天津市十二区重点学校高三毕业班联考（一）

数学试卷

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟.

第Ⅰ卷  选择题（共50分）

注意事项：

1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定位置上.

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔在答题卡上对应的答案标号涂黑.

参考公式：·如果事件、互斥，那么

·柱体的体积公式.其中表示柱体的底面积，表示柱体的高.

一、选择题（在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共9小题，每小题5分，满分45分）

1.设全集，集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2.设，则“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

3.函数在其定义域上的图像大致是（    ）

A.   B.

C.   D.

4.某校1000名学生参加环保知识竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A.频率分布直方图中的值为0.004

B.估计这20名学生考试成绩的第60百分位数为75

C.估计这20名学生数学考试成绩的众数为80

D.估计总体中成绩落在内的学生人数为150

5.已知是偶函数，且当时，单调递减，设，，，则，，大小关系为（    ）

A. B.

C. D.

6.如图，几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为，圆柱的上、下底面的圆心分别为、，若该几何体存在外接球（即圆锥的顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上）.已知，则该组合体的体积等于（    ）

A. B. C. D.

7.由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊讶世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（）下支的一部分，以原点为圆心，双曲线虚半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线分別相交于、、、四点，四边形的面积为，则双曲线的方程为（    ）

A. B. C. D.

8.已知函数，以下说法中，正确的是（    ）

①函数关于点对称；②函数在上单调递增；

③当吋，的取值范围为；

④将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的解折式为.

A.①② B.②③④ C.①③ D.②

9.如图所示，梯形中，，点为的中点，，，若向量在向量上的投影向提的模为4，设、分别为线段、上的动点，且，，则的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

第Ⅱ卷  非选择题（共105分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上）

10.设复数满足（为虚数单位），则的值为______.

11.二项式的展开式中含的系数为______.

12.已知圆经过点和点，圆心在直线上，则圆的方程为______.

13.袋子中装有个白球，3个黑球，2个红球，已知若从袋中每次取出1球，取出后不放回，在第一次取到黑球的条件下，第二次也取到黑球的概率为，则的值为______，若从中任取3个球，用表示取出3球中黑球的个数，则随机变量的数学期望______.

14已知，，且，则的最小值为______.

15.定义函数，设，

若㤷有3个不同的实数拫，则实数的取值范围是______.

三、解答题（本大题5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

16.（本小题满分14分）

在中，内角、、的对边分別为、、，已知.

（1）求角的大小；

（2）设，，求和的值.

17.（本小题满分15分）

已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点.

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面夹角的余弦值；

（3）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由.

18.（本小题满分15分）

已知椭圆：（）的右焦点为点，、分别为椭圆的上、下顶点，若椭圆中心到直线的距离为其短轴长的.

（1）求椭圆的离心率；

（2）过点且斜率为（）的直线交椭圆于另一点（异于椭圆的右顶点），交轴于点，直线与直线相交于点，过点且与平行的直线截椭圆所得弦长为，求椭圆的标准方程.

19.（本小题满分15分）

已知数列满足，其前8项的和为64；数列是公比大于0的等比数列，，.

（1）求数列和的通项公式；

（2）记，，求数列的前项和；

（3）记，求.

20.（本小题满分16）

已知函数.（注：是自然对数的底数）.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，函数在区间内有唯一的极值点.

（ⅰ）求实数的取值范围；

（ⅱ）求证：在区间内有唯一的零点，且.

2023年天津市十二区重点学校高三毕业班联考（一）

数学参考答案

一、选择题：每小题5分，满分45分

二、填空题：每小题5分，共30分.（两空中对一个得3分，对两个得5分）

10.   11.   12.  13.2；   14.   15.或

三、解答题：本大题5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.（1）解：因为，

所以…………2分

所以，

因为，所以，所以…………4分

又，所以；…………5分

（2）在中，由余弦定理及，，，

有，故.…………8分

由正弦定理，可得.因为，故.…………10分

因此，.…………12分

所以，.…………14分

17.（本小题满分15分）

（1）方法一：分别取，的中点，，连接，，，…………1分

由题意可知：点、分别为线段、的中点.

所以，，因为，所以，

所以点，，，四点共面，因为，分别为，的中点，

所以，平面，平面，

所以平面，…………3分

又因为，平面，

平面，所以平面，…………4分

又因为，，平面，所以平面平面，

因为平面，所以平面.…………5分

方法二：因为为正方形，且平面，所以，，两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系，…………1分

则，，，，，…………3分

（建系和对一个点的坐标就给1分，全对给2分，没有出现点的坐标扣1分）

所以，，，

易知平面的一个法向量，

所以，所以，……………….4分

又因为平面，所以平面.…………5分

（2）设平面的法向量，

则，即，令，则，，

所以平面的一个法向量为，…………6分

易知平面的一个法向量，设平面与平面夹角为，

则，

所以平面与平面夹角余弦值为…………8分

（设角和作答具备其一即可，均不写扣1分）

（3）假设存在点，，，

设，所以，………….9分

所以所以…………10分

由（2）得平面的一个法向量为，

，…………12分

得.即，…………13分

或，…………14分

或.…………15分

18.（本小题满分15分）

（1）由直角三角形面积关系得，即

解得…………3分

（2）由（1）得，，易得，，直线的方程为

，因为直线不过右顶点，所以，…………4分

，得，…………6分

从而，…………8分

直线的斜率为…………9分

故直线的方程为…………10分

令，得，…………11分

直线的斜率…………12分

，左顶点，，即，

解得，，.…………14分

椭圆的标准方程为…………15分

19.（本小题满分15分）

【详解】（1）因，数列是公差为等差数列，且，

，解得，；…………2分

设等比数列的公比为（），

因为，，，即，

解得（舍去）或，…………4分

（2）由（1）得…………5分

…………6分

，…………8分

（3）

…………9分

…………10分

（1）

（2）

（1）－（2）：

…………12分

方法二：

①当为偶数时，

，…………13分

②当为奇数时，…………14分

…………15分

20.（本小题满分16分）

解：（1），求导，

切线的斜率，又，所以切点为，

所以，切线方程为…………4分

（2）（ⅰ）求导，

①当时，当时，，，，则在上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去；…………6分

②当时，求二阶导，所以在上递增，

又，，所以在上有唯一零点，…………8分

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，

所以函数在区间内有唯一极值点，符合题意，

综上，的取值范围是.…………9分

（ⅱ）由（ⅰ）知，当时，，…………10分

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增；

所以时，，则，

又因为，所以在上有唯一零点，

即在上有唯一零点.…………12分

因为，

由（ⅰ）知，所以，

则

，…………13分

设，，

则，

，，所以

在为单调递增，又，所以，

又时，，所以.

所以.

由前面讨论知，，在单调递增，

所以.…………16分