北京市房山区2023届高三下学期一模试题 数学 Word版含解析

房山区2023年高三年级第一次模拟考试数学

第一部分（选择题  共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】直接求并集得到答案.

【详解】集合，则.

故选：C

2. 在的展开式中，的系数是（    ）

A.  B. 8 C.  D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用二项式定理计算即可.

【详解】的展开式通项为，

取，则，系数为.

故选：A

3. 已知数列对任意满足，且，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由数列递推公式依次计算，，，，即可得答案.

【详解】由题意可得，，，

，.

故选：D

4. “”是“”的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】当时，，满足，充分性，取计算得到不必要性，得到答案.

【详解】当时，，满足，充分性；

取，满足，不满足，不必要性.

故“”是“”的充分而不必要条件.

故选：A

5. 已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到点的距离为，则点到原点的距离为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由抛物线的定义，将抛物线上一点到焦点的距离转化为到准线的距离，列方程求出点的坐标，进而得出点到原点的距离．

【详解】抛物线的准线为，

由题意，设，，，，

则点P到原点的距离为，

故选：D

6. 已知直线与圆相交于M，N两点.则的最小值为（    ）

A.  B.  C. 4 D. 6

【答案】C

【解析】

【分析】先求出圆心和半径，以及直线的定点，利用圆的几何特征可得到当时，最小

【详解】由圆的方程，可知圆心，半径，

直线过定点，

因为，则定点在圆内，

则点和圆心连线的长度为，

当圆心到直线距离最大时，弦长最小，此时，

由圆的弦长公式可得，

故选：C

7. 已知函数同时满足以下两个条件：①对任意实数x，都有；②对任意实数，当时，都有.则函数的解析式可能为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】确定函数为奇函数且单调递减，再依次判断每个选项得到答案.

【详解】对任意实数x，都有，故函数为奇函数；

对任意实数，当时，都有，即，即，，故函数单调递减.

对选项A：单调递增，不满足；

对选项B：单调递减，且函数为奇函数，满足；

对选项C：单调递增，不满足；

对选项D：不是奇函数，不满足.

故选：B

8. 在中，，为所在平面内的动点，且，则的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由已知求出点的轨迹为圆，再由平面向量的平行四边形法则得出，的最大值即圆心到定点的距离加上半径，代入化简求值即可．

【详解】由题意，可得，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，

取的中点，则，

所以，

故选：D

9. 血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（    ）

（精确到0.1，参考数据：）

A. 0.3 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.9

【答案】B

【解析】

【分析】依据题给条件列出关于时间t的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数.

【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时，

由题意可得，，两边同时取自然对数并整理，

得，，

则，则给氧时间至少还需要小时

故选： B

10. 如图，已知正方体，则下列结论中正确的是（    ）

A. 与三条直线所成的角都相等的直线有且仅有一条

B. 与三条直线所成的角都相等的平面有且仅有一个

C. 到三条直线的距离都相等的点恰有两个

D. 到三条直线的距离都相等的点有无数个

【答案】D

【解析】

【分析】所成的角都相等的直线有无数条，A错误，成的角相等的平面有无数个，B错误，距离相等的点有无数个，C错误，D正确，得到答案.

【详解】对选项A：根据对称性知与三条直线的夹角相等，则与平行的直线都满足条件，有无数条，错误；

对选项B：根据对称性知平面与三条直线所成的角相等，则与平面平行的平面都满足条件，有无数个，错误；

对选项C：如图所示建立空间直角坐标系，设正方体边长为，，，上一点，则，，，点到直线的距离为

，

同理可得到直线和的距离为，故上的点到三条直线的距离都相等，故有无数个，错误；

对选项D：上的点到三条直线的距离都相等，故有无数个，正确；

故选：D

第二部分（非选择题  共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11. 在复平面内复数对应点的坐标为，则_________.

【答案】##

【解析】

【分析】根据复数的几何意义表示复数，然后利用复数乘法运算法则计算.

【详解】因为复数在复平面内对应点的坐标为，

所以，所以.

故答案为：

12. 能够说明“设是任意实数，若，则”是假命题的一组整数的值依次为__________.

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据不等式的性质，讨论的正负和三种情况，得出结论．

【详解】若，当时，；

当时，；

当时，；

“设是任意实数，若，则”是假命题的一组整数的值依次为，

故答案为：（答案不唯一）

13. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线C的离心率为__________.

【答案】2

【解析】

【分析】由题意求出双曲线的渐近线方程，则，由代入即可得出答案.

【详解】双曲线渐近线方程为,

所以，所以双曲线C的离心率为.

故答案为：2.

14. 在中，，则__________；的值为__________.

【答案】    ①. ##    ②.

【解析】

【分析】化简得到，再根据正弦定理得到，得到，计算得到答案.

【详解】，，故，，；

，则，即，，

，则，，.

故答案为：；

15. 设函数给出下列四个结论：①函数的值域是；②，方程恰有3个实数根；③，使得；④若实数，且.则的最大值为.其中所有正确结论的序号是__________.

【答案】②③④

【解析】

【分析】画出函数图象，结合图象对四个结论依次分析，即可求解结论.

【详解】因为函数，其图象如下图所示：

对于①，由图可知，函数的值域不是，故①不正确；

对于②，由图可知，，方程恰有3个实数根，故②正确；

对于③，当时，使得有成立，即与有交点，这显然成立，故③正确；

对于④，不妨设互不相等的实数满足，当满足时，

由图可知，即，

，即，

所以，由图可知，，

而在上单调递减，所以，

所以，

则的最大值为，故④正确.

故答案为：②③④.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16. 已知函数的最小正周期为.

（1）求值；

（2）再从条件①.条件②、条件③三个条件中选择一个作为已知.确定的解析式.设函数，求的单调增区间.条件①：是偶函数；条件②：图象过点；条件③：图象的一个对称中心为.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分.

【答案】（1）   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）根据周期公式，即可求解；

（2）分别选择条件，根据三角函数的性质，求，再根据三角函数的单调性，代入公式，即可求解.

【小问1详解】

由条件可知，，解得：；

【小问2详解】

由（1）可知，，

若选择条件①：是偶函数，

所以，即，

所以，

，

令,

解得：,

所以函数的递增区间是，

若选择条件②：图象过点，，，

则，即，所以，

所以，

所以

令，

解得：，

所以的单调递增区间是.

如选择条件③：图象的一个对称中心为，

所以，，，，

所以，

所以

令，

解得：，

所以的单调递增区间是.

17. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，M为BC的中点.

（1）求证：平面PBD；

（2）求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值；

（3）求D到平面APM的距离.

【答案】（1）证明过程见解析   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合相似三角形的判定定理和性质、线面垂直的判定定理进行证明即可；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；

（3）利用空间点到直线距离公式进行求解即可.

【小问1详解】

因为，M为BC的中点，

所以，

因为四棱锥的底面是矩形，

所以，

所以，所以，

而，即，

因为底面ABCD，底面ABCD，

所以，而平面PBD，

所以平面PBD；

小问2详解】

因为平面ABCD，平面ABCD，

所以，

因为因为四棱锥的底面是矩形，

所以，建立如下图所示的空间直角坐标系，

，

因为平面ABCD，

所以平面ABCD的法向量为，

设平面APM的法向量为，

，，

于是有，

平面ABCD与平面APM所成角的余弦值为；

【小问3详解】

由（2）可知平面APM的法向量为，，

所以D到平面APM的距离为

18. 某社区组织了一次公益讲座.向社区居民普及垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民.让他们在讲座前和讲座后分别回答一份垃圾分类知识向卷.这10位社区居民的讲座前和讲座后答卷的正确率如下表：

（1）从公益讲座前的10份垃圾分类知识答卷中随机抽取一份.求这份答卷正确率低于的概率；

（2）从正确率不低于的垃圾分类知识答卷中随机抽取3份，记随机变量X为抽中讲座前答卷的个数.求随机变量X的分布列和数学期望；

（3）判断此次公益讲座的宣传效果.并说明你的理由.

【答案】（1）   

（2）分布列见解析，数学期望为   

（3）答案见解析

【解析】

【分析】（1）共10份书卷，准确率低于有份，计算概率即可.

（2）的取值可能是，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.

（3）讲座前的平均准确率为，讲座后的平均准确率为，提升明显，得到答案.

【小问1详解】

共10份书卷，准确率低于有份，故概率为；

【小问2详解】

正确率不低于的垃圾分类知识答卷中，讲座前有2份，讲座后有5份，

取值可能是，

；；

.

故X的分布列为：

故数学期望为.

【小问3详解】

此次公益讲座的宣传效果很好，

讲座前的平均准确率为：

；

讲座后的平均准确率为：

；

平均准确率明显提高，故此次公益讲座的宣传效果很好.

19. 已知椭圆过点，且离心率为

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若直线l与椭圆E相切，过点作直线l的垂线，垂足为N，O为坐标原点，证明：为定值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用椭圆过点，得到，再由椭圆的离心率为，求出的值，从而求到椭圆的标准方程；

（2）对直线的斜率为0、斜率不存在及斜率存在且不为0三种情况讨论，从而求出，得到结论.

【小问1详解】

因为椭圆过点，所以，

又，，所以，得到，

所以椭圆的标准方程为.

【小问2详解】

当直线斜率存在且不为0时，设直线的方程为，

联立直线和椭圆的方程得，消去并整理，得，

因为直线与椭圆有且只有一个公共点，所以方程有两个相等的根，

，

化简整理得

因为直线与垂直，所以直线的方程为，

联立得，解得， ，

所以

把代入上式得，，所以，为定值；

当直线斜率为0时，直线，过点作直线的垂线，则垂线方程为，

此时或，，为定值；

当直线斜率不存在时，直线，过点作直线的垂线，则垂线方程为，

此时或，，为定值；

综上所述，，为定值.

20. 已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若在处取得极值，求的单调区间；

（3）求证：当时，关于x的不等式在区间上无解.

【答案】（1）   

（2）的单调递增区间为和，单调递减区间为   

（3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据导数的几何意义求得切线斜率，即可求得切线方程；

（2）根据可求出，并对其进行检验即可求解；

（3）分和两种情况，求出函数在区间上的最大值即可作答.

小问1详解】

由可得，

当时，，，

在点处的切线方程为；

【小问2详解】

因为在处取得极值，所以，解得，

检验如下：

令，解得或，

若或时，则；若，则.

所以的单调递增区间为和，单调递减区间为，

故在处取得极小值，满足题意，

故的单调递增区间为和，单调递减区间为；

【小问3详解】

由（1）知，由时，得，因，

当时，当时，，即函数在上单调递减，则，

因此不等式不成立，即不等式在区间上无解；

当时，当时，，当时，，即在上递减，在上递增，

于是得在上的最大值为或，而，，

，即，

因此不等式不成立，即不等式在区间上无解，

所以当时，关于的不等式在区间上无解.

21. 如果数列对任意的，，则称为“速增数列”.

（1）判断数列否为“速增数列”？说明理由；

（2）若数列为“速增数列”.且任意项，，求正整数k的最大值；

（3）已知项数为（）的数列是“速增数列”，且的所有项的和等于k，若，，证明：.

【答案】（1）是，理由见解析   

（2）   

（3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）计算，，，得到答案.

（2）根据题意得到，，计算当时，，当时，，得到答案.

（3）证明，得到，得到，代入计算得到证明.

【小问1详解】

因为，则，，

又，故，数列是“速增数列”.

【小问2详解】

，

当时，，

即，，

当时，，当时，，

故正整数k的最大值为.

【小问3详解】

，故，即；

，故，

即，

同理可得：，，，

故，

故，，得证.

【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据题意利用累加法的思想确定是解题的关键.