山东省滕州市第一中学2022-2023学年高二下学期3月质量检测数学试题 word版含解析

高二年级3月份质量检测

数学试题

第Ⅰ卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 下列各式正确的是（    ）

A. (为常数) B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由基本的求导公式可得解

【详解】 (为常数)； ；   ； .

错误

故选：C

【点睛】本题考查导数的求导公式，熟练记住常见函数的求导公式是关键,属于基础题

2. 一质点做直线运动，其位移与时间的关系为，设其在内的平均速度为，在时的瞬时速度为，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据平均变化率和瞬时变化率定义，可分别计算求得，即可得出结果.

【详解】根据平均速度定义可知，

在内的平均速度为；

在时的瞬时速度为；

所以.

故选：B

3. 已知，则等于（    ）

A -4 B. 2 C. 1 D. -2

【答案】B

【解析】

【分析】先求导，求出，得到，从而求出.

【详解】，令得：，

解得：，

所以，

故选：B

4. 已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)的图象为增函数，

且在区间(－1,0)上增长速度越来越快，

而在区间(0,1)上增长速度越来越慢．

故选B.

5. 我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根x叫做函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据“躺平点”新定义，可解得,，利用零点存在定理可得,即可得出结论.

【详解】根据“躺平点”定义可得，又；

所以，解得；

同理，即；

令，则，即为上的单调递增函数，

又，所以在有唯一零点，即；

易知，即，解得；

因此可得.

故选：B

6. 长征五号B运载火箭是专门为中国载人航天工程空间站建设而研制的一款新型运载火箭，是中国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭，长征五号有效载荷整流罩外形是冯·卡门外形（原始卵形）+圆柱形，由两个半罩组成，某学校航天兴趣小组制作整流罩模型，近似一个圆柱和圆锥组成的几何体，如图所示，若圆锥的母线长为6，且圆锥的高与圆柱高的比为，则该模型的体积最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】设出圆锥的高，由圆锥与圆柱的体积公式列式，由导数判断单调性后求解最值，

【详解】设圆锥的高为，则圆柱的高为，底面圆半径为，

则该模型的体积，

令，则，由得，

当时，当时，

则在上单调递增，在上单调递减，

当时，，

故选：C

7. 若存在实数，对任意，成立，则称是在区间上的“倍函数”．已知函数和，若是在的“倍函数”，则的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据“倍函数”定义可知，在上恒成立，构造函数并求出其在上的最小值即可得出的取值范围是.

【详解】根据题意可得，

存在实数，对于任意，恒成立，

即在上恒成立，

设，则；

当，恒成立，所以在单调递减，

即，即即可.

所以的取值范围是.

故选：A

8. 已知是定义域为的函数的导函数.若对任意实数都有，且，则不等式的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】依题意原等价于不等式，构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可得到，从而得解；

【详解】解：不等式，等价于不等式，

构造函数，则，

若对任意实数都有，

则，在上单调递增，

又，

故即，

故不等式的解集是，

故选：B．

二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 如图是的导函数的图象，则下列判断正确的是（    ）

A. 在区间上是增函数

B. 是的极小值点

C. 在区间上是增函数，在区间上是减函数

D. 是的极大值点

【答案】BC

【解析】

【分析】根据导函数与函数的单调性、函数的极值的关系判断．

【详解】在上，递减，A错；，且当时，，时，，所以是的极小值点，B正确；在上，，递增，在上，递减，C正确；在区间上是增函数，不是的极大值点，D错．

故选：BC．

【点睛】本题考查导数与函数的单调性、函数的极值的关系，掌握用导数判断单调性的方法是解题关键．

10. 对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．已知函数，则（    ）

A. 有两个极值点

B. 有三个零点

C. 点是曲线的对称中心

D. 直线是曲线的切线

【答案】AC

【解析】

【分析】求导，根据拐点的定义即可求解C，根据单调性即可确定极值点，即可判断A    ，根据极小值大于0可判断C，根据切线方程的求解可判断D.

【详解】由得，令，则，，所以是的拐点，进而是的对称中心，故C正确，

令，则或，故在单调递增，在单调递减，故是极小值点，是极大值点，故A正确，

由于是的极小值点，且，故只有一个零点，故B错误，

设是的切点，令，解得故和，当切点为时，则切线方程为，当切点为时，切线方程为，故不是切线，故D错误，

故选：AC

11. 关于函数，下列结论正确的是（    ）

A. 函数的定义域为 B. 函数在上单调递增

C. 函数的最小值为，没有最大值 D. 函数的极小值点为

【答案】BD

【解析】

【分析】对于A，注意到可知，由此可判断；

对于B，对求导，利用导数与函数的单调性的关系可判断其正确；

对于C，举反例排除即可；

对于D，利用导数与函数极值的关系可判断其正确.

【详解】对于A，因为，所以，解得，故的定义域为，故A错误；

对于B，，令，得，故在上单调递增，故B正确；

对于C，令，则，故的最小值不为，故C错误；

对于D，令，得或，所以在和上单调递减，

令，得，故结合两侧的单调性可知是的极小值点，故D正确.

故选：BD.

12. “切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧．如：在点处的切线为，如图所示，易知除切点外，图象上其余所有的点均在的上方，故有．该结论可构造函数并求其最小值来证明．显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同．请根据以上材料，判断下列命题中正确的命题是（    ）

A. ， B. ，，

C. ， D. ，

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用可得，由知A正确；由知B正确；利用反例可说明C错误；令，利用导数可求得，知D正确.

【详解】对于A，当时，由得：，即；

，A正确；

对于B，由得：，即，，B正确；

对于C，由得：；

当时，，此时，

则，即不成立，C错误；

对于D，令，则，

令，则，在上单调递增，

又，，，使得，

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，；

由得：，，，

，即，，D正确.

故选：ABD.

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 日常生活中的饮用水通常是经过净化的．随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为．则净化到纯净度为99%时所需费用的瞬时变化率是净化到纯净度为95%时所需费用的瞬时变化率的______倍．

【答案】

【解析】

【分析】首先求导，再计算.

【详解】因为，所以.

故答案为：25

14. 若函数在处有极值且是极大值，则常数的值为______

【答案】

【解析】

【分析】由导函数在2处的函数值为0求出c，再检验在处是否取得极大值即可得解.

【详解】函数，依题意得，即或，

时，，当时，，当时，，则处取极小值，不符合条件，

时，，当时，，当时，，则在处取极大值，符合条件，

所以常数的值为6.

故答案为：6

15. 已知函数在上不单调，则实数的取值范围为______.

【答案】

【解析】

【分析】

函数在上不单调,转化为在有零点，即有解，研究取值范围即可.

【详解】函数在上不单调,

即在有零点，

即

当，，故

故答案为：

【点睛】本题考查了导数在含参函数的单调性问题中的应用，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

16. 牛顿迭代法又称牛顿拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，作曲线在点,处的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；作曲线在点,处的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的2次近似值．一般的，作曲线在点,处的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值．设的零点为，取，则的2次近似值为 _____．

【答案】0.75

【解析】

【分析】首先对求导，进而写出切线方程，再求处对应的值，结合题设中的次近似值的定义求的2次近似值.

【详解】由题设，设切点为,，则切线斜率，

切线方程为，

令，可得，

若，则，，即的2次近似值为．

故答案为：．

四、解答题：本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知函数，.

（1）求曲线在处切线的方程；

（2）若直线l过坐标原点且与曲线相切，求直线l的方程.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用导数几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式写切线方程即可；

（2）根据设切点坐标，然后利用导数的几何意义得到斜率，再利用点斜式写切线方程，将代入切线方程得到即可得到切线方程.

【小问1详解】

，所以，所以，，所以切线方程为：，整理得.

【小问2详解】

，所以，设切点坐标为，所以切线斜率为，

则切线方程为：，又因为切线过原点，所以将代入切线方程得，解得，所以切线方程为：，整理得.

18. 已知函数．

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若函数在上是减函数，求实数的取值范围．

【答案】（1）单调递减区间是 ，单调递增区间是 ，   

（2）

【解析】

【分析】(1)先对函数求导，利用导数判断函数的单调区间；

(2)已知函数在上是减函数，可知知恒成立，利用参数分离法,求的最大值即可求解.

【小问1详解】

当时，，

，

所以的单调递减区间是 ，单调递增区间是

【小问2详解】

由函数在上是减函数，知恒成立，

．

由恒成立可知恒成立，则，

设，则，

由，知，

函数在上递增，在上递减，

∴，∴．

19. 设为实数，函数.

（1）求的极值；

（2）当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点？

【答案】（1）极大值是，极小值是.（2）

【解析】

【详解】(1)f′(x)＝3x2－2x－1.

令f′(x)＝0，则x＝－或x＝1

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

所以f(x)的极大值是f(－)＝＋a，

极小值是f(1)＝a－1.

(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，

由此可知，x取足够大的正数时，

有f(x)＞0，x取足够小的负数时，有f(x)＜0，

曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．

由(1)知f(x)极大值＝f(－)＝＋a，

f(x)极小值＝f(1)＝a－1.

∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，

∴f(x)极大值＜0或f(x)极小值＞0，

即＋a＜0或a－1＞0，

∴a＜－或a＞1，

∴当a∈(－∞，－)∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．

点睛：(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．

(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．

20. 已知函数在处有极值.

（1）求实数的值及函数的单调区间；

（2）求函数在区间上的最大值和最小值.

【答案】（1），函数的增区间为、，减区间为   

（2）最小值，最大值

【解析】

【分析】（1）由已知可得出，求出的值，然后利用导数与函数单调性的关系可求得函数的增区间和减区间；

（2）分析函数在区间上的单调性，可求得函数的最大值和最小值.

【小问1详解】

解：因为，该函数的定义域为，且，

由已知可得，解得，

则，，由可得或，列表如下：

所以，函数的增区间为、，减区间为.

【小问2详解】

解：当时，函数在上单调递减，在上单调递增，

因为，，则，.

21. 已知函数，实数.

（1）讨论函数在区间上的单调性；

（2）若存在，使得关于x的不等式成立，求实数a的取值范围.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）采用分类讨论的方法，与，根据导数判断原函数的单调性，可得结果.

（2）化简式子，并构造函数，计算，然后再次构造函数，利用导数判断的单调情况，可得结果.

【详解】（1）由题知的定义域为，

.

∵，，∴由可得.

（i）当时，

，当时，单递减；

（ii）当时，，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

综上所述，时，在区间上单调递减；

当时，在区间上单调递减，

在区间上单调递增.

（2）由题意：不等式在成立

即在时有解.

设，，只需.

则，因为，

所以在上，，

在上，.

所以在上单调递减，在上单调递增.

因此.

不等式在成立，

则恒成立.

又，所以恒成立.

令，则.

在上，，单调递增；

在上，，单调递减.

所以.

因此解可得且，

即且.

所以实数a的取值范围是.

【点睛】本题考查导数的综合应用，难点在于构造函数研究性质，化繁为简，考验分析能力以及逻辑思维能力，掌握等价转化思想以及分类讨论的方法，属难题.

22. 已知函数

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围.

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

【详解】试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，，进行讨论，可知当时有2个零点.易知在有一个零点；设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.从而可得的取值范围为.

试题解析：（1）的定义域为，，

（ⅰ）若，则，所以在单调递减.

（ⅱ）若，则由得.

当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.

（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.

（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.

①当时，由于，故只有一个零点；

②当时，由于，即，故没有零点；

③当时，，即.

又，故在有一个零点.

设正整数满足，则.

由于，因此在有一个零点.

综上，的取值范围为.

点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.