2023年河南省中原名校联盟中考数学测评试卷（一）（含解析）

2023年河南省中原名校联盟中考数学测评试卷（一）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列几何体的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图，直线，直线分别交，于点，，，以点为圆心，长为半径画弧，若在弧上存在点使，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则常数的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  某校为增强学生的爱国意识，特开展中国传统文化知识竞赛，九年级共人参加竞赛，得分情况如下表所示，则这些成绩的中位数和众数分别是(    )

A. 分，分 B. 分，分 C. 分，分 D. 分，分

7.  腾讯公司将等级用四个标识图展示，从低到高分别为星星、月亮、太阳、皇冠，采用“满四进一”制，一开始是星星，一个星星为级，个星星等于一个月亮，个月亮等于一个太阳，个太阳等于一个皇冠，某用户的等级标识图为两个皇冠，则其等级为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  新郑红枣是河南省郑州市新郑市的特产，素有“灵宝苹果潼关梨，新郑大枣甜似蜜”的盛赞，某生态示范园计划种植一批枣树，原计划总产值为万公斤，为满足市场需求，示范园决定改良枣树品种，改良后平均亩产量是原来的倍，总产量比原计划增加了万公斤，种植亩数减了亩，设原来平均亩产量为万公斤，根据题意，可列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点若，，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，中，，顶点在第一象限，点，分别在，轴上，，，将绕点顺时针旋转，每次旋转，若旋转后点的对应点的坐标是，则旋转的次数可能是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  使有意义的的取值范围是______ ．

12.  写出一个解集为的不等式组：        ．

13.  将标有“中”“原”“崛”“起”的四个小球装在一个不透明的口袋中每个小球上仅标一个汉字，这些小球除所标汉字不同外，其余均相同从中随机摸出两个球，则摸到的球上的汉字可以组成“中原”的概率是        ．

14.  如图，在扇形中，，，于点，交于点，连接，则图中阴影部分的面积为        ．

15.  如图，在中，，，对称轴交于点，点是直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，则长的最小值为        ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：；
解方程：．

17.  本小题分
为了更加扎实、有效地开展劳动教育，落实“五育并举”某中学把劳动教育纳入积分考核为了解本期学生的劳动情况，学生处随机抽取了名男生和名女生的积分，收集得到了以下数据单位：分：
【收集数据】
男生：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
女生：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
【整理数据】

【分析数据】规定积分达到分以上的可以被评为“劳动达人”，并颁发奖品．

请将上面的表格补充完整：        ，        ，        ，        ，        ；
已知该年级男女生人数差不多，根据调查的数据，估计该校名学生中被评为“劳动达人”的同学约有多少人；
老师看了表格数据后，认为该校女生本学期的劳动情况比男生好，请你结合统计数据，写出两条支持老师观点的理由．

18.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于，两点，已知点的纵坐标为，当点的坐标为时，的面积为．
求反比例函数的表达式；
直接写出当时自变量的取值范围；
求的面积．

19.  本小题分
如图，建筑物上有一根旗杆，小明和数学兴趣小组的同学计划用学过的知识测量旗杆顶端距地面的高度，制订测量方案并实地测量如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树，小明沿直线后退，发现地面上的点、树顶、旗杆顶端恰好在一条直线上，继续沿直线后退，发现地面上的点、树顶、建筑物顶端恰好在一条直线上利用皮尺和测角仪测得：米，米，，．
根据以上信息，请求出此建筑物上旗杆顶端距地面的高度计算结果取整数，参考数值：，，，；
资料显示，此建筑物上旗杆顶端距地面的高度为米，则计算结果的误差为多少？导致产生误差的原因可能是什么写出一条即可？

20.  本小题分
西峡猕猴桃是河南省西峡县特产某网店新进甲、乙两种猕猴桃，已知购进件甲种猕猴桃和件乙种猕猴桃需元，购进件甲种猕猴桃和件乙种猕猴桃需元．
求甲、乙两种狱猴桃的进货单价；
若该网店购进甲、乙两种猕猴桃共件，甲种猕猴桃按进价提价后的价格销售，乙种猕猴桃按进价的倍标价后再打七折销售，若甲、乙两种猕猴桃全部售完后的销售总额不低于元不考虑损耗，请你帮网店设计利润最大的进货方案，并说明理由．

21.  本小题分
如图，小明在外取一点，作直线分别交于，两点，先以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，交于点，连接完成下列任务：
小明得出为的切线的依据是        ；
如图，继续作点关于直线的对称点，连接，交于点，连接．
求证：；
若的半径为，，求的长．

22.  本小题分
图所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图，，是桥墩，桥的跨径为，此时水位在处，桥拱最高点离水面，在水面以上的桥墩，都为以所在的直线为轴、所在的直线为轴建立平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是桥拱截面上一点距桥墩的水平距离，是桥拱截面上一点距水面的距离．

求此桥拱截面所在抛物线的表达式；
若桥拱最高点离水面为警戒水位，求警戒水位处水面的宽度．
有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行当水位上涨时，水面到棚顶的高度为，遮阳棚宽，问此船能否通过桥洞？请说明理由．

23.  本小题分
综合与实践
【操作发现】如图，诸葛小组将正方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在正方形内部的点处，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使与重合，折痕为，请写出图中的一个角；
【拓展探究】如图，孔明小组继续将正方形纸片沿继续折叠，点的对应点恰好落在折痕上的点处，连接交于点．
       度；若，求线段的长；
【迁移应用】如图，在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿，折叠，点落在点处，点落在点处，点，，恰好在同一直线上，若点为的三等分点，，，请直接写出线段的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：
故选：。
计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号。
规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。
 

2.【答案】 

【解析】解：观察图形可知，该几何体的左视图是．
故选：．
找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
本题考查了简单组合体的三视图，左视图是从物体的左面看得到的视图．
 

3.【答案】 

【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、与不是同类项，不能合并，不符合题意；
D、原式，符合题意．
故选：．
利用同底数幂的乘法法则，完全平方公式，合并同类项的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图，
由作法得，
，
，
，
直线，
，
．
故选：．
先利用作法得到得，则利用等腰三角形的性质得到，于是可计算出，再根据平行线的性质得到，然后根据邻补角的定义得到的度数．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质．
 

5.【答案】 

【解析】解：方程化为一般式为，
根据题意得，
解得，
所以可以取．
故选：．
先把方程化为一般式为，再利用根的判别式的意义得到，然后解不等式，从而可对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

6.【答案】 

【解析】解：把这些数据从小到大排列，最中间的两个数是第、个数的平均数，
所以全班名同学的成绩的中位数是：分；
出现了次，出现的次数最多，则众数是分，
所以这些成绩的中位数和众数分别是分，分．
故选：．
根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
此题考查了中位数和众数．解题的关键是掌握求中位数和众数的方法，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
则其等级为．
故选：．
根据题意列出算式，计算即可求出值．
此题考查了有理数的乘方，弄清题意是解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：改良后平均亩产量是原来的倍，且原来平均亩产量为万公斤，
改良后平均亩产量为万公斤．
根据题意得：，
即．
故选：．
根据改良前后平均亩产量间的关系，可得出改良后平均亩产量为万公斤，利用种植亩数总产量平均亩产量，结合改良后种植亩数减了亩，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由作法得平分，
在中，，，，
，
过点作于点，如图，
平分，，，
，
：：：，
：：，
：：，
．
故选：．
利用基本作图得到得平分，利用勾股定理可计算出，过点作于点，如图，根据角平分线的性质得到，则利用三角形面积公式得到：：：：，然后利用比例的性质可求出的长．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴于点，连接．

，，，
，
，
，，
，
∽，
：：：，即：：：，
，，
，
，
矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，
则第次旋转结束时，点的坐标为；
则第次旋转结束时，点的坐标为；
则第次旋转结束时，点的坐标为；
则第次旋转结束时，点的坐标为；

发现规律：旋转次一个循环，
，
则第次旋转结束时，点的对应点的坐标是，
故选：．
过点作轴于点首先利用相似三角形的性质求出点的坐标，再探究规律，利用规律解决问题即可．
本题考查了坐标与图形变化旋转、规律型点的坐标，解决本题的关键是根据旋转的性质发现规律，总结规律．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故答案是：．
根据二次根式的性质，被开方数大于或等于即可求解．
本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

12.【答案】答案不唯一 

【解析】解：不等式组可以为．
故答案为：答案不唯一．
根据求不等式组解集的方法解答即可．
本题考查的是不等式组的解集，熟知“同大取大，同小取小”的法则是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中摸到的球上的汉字可以组成“中原”的结果有种，
摸到的球上的汉字可以组成“中原”的概率是，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中摸到的球上的汉字可以组成“中原”的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，设交于点，过点作于点．

，
，
，，
，
，
，
，
，
，


．
故答案为：．
如图，设交于点，过点作于点求出，，根据，求解即可．
本题考查扇形的面积的计算，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，在上取一点，使，连接，
，，
，
，
旋转角为，
，
，
，
，
又旋转到，
，
≌，
，
根据垂线段最短，时，最短，即最短，
，，
，
，
故答案为：．
在上取一点，使，连接，根据等腰直角三角形三角形的性质可得，再求出，根据旋转的性质可得，然后利用“边角边”证明和全等，再根据全等三角形对应边相等可得，然后根据垂线段最短可得时最短，再根据求解即可．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
 

16.【答案】解：


；
，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项及合并同类项，得：，
系数化为，得：，
检验：当时，，
原分式方程的解是． 

【解析】根据零指数幂、算术平方根和零指数幂计算即可；
根据解分式方程的方法可以解答此方程，注意要检验．
本题考查二次根式的混合运算、解分式方程，熟练掌握运算法则会解分式方程的方法是解答本题的关键．
 

17.【答案】      和   

【解析】解：根据频数统计方法可得，，
男生积分中从小到大排列，第个和第个为和，所以中位数，
女生积分的众数为和，
女生获奖率为；
故答案为：，，，和，；
人，
答：估计该校名学生中被评为“劳动达人”的同学约有人；
从平均数上看，女生的比男生的高，因此女生成绩较好，从获奖率上看，女生的比男生的高，因此女生成绩较好答案不唯一．
根据频数统计的方法分别统计调查和的值，利用中位数、众数、获奖率分别求出、、即可；
根据男女生样本中积分达到分以上的所占的百分比，进而求出相应的人数；
从平均数和获奖率得出结论答案不唯一．
本题考查频数统计表、中位数、众数、平均数的意义和计算方法，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的前提．
 

18.【答案】解：一次函数的图象过点，已知点的纵坐标为，
，
解得，
，
点在反比例函数图象上，
，
反比例函数的解析式为；
解得或，
点的坐标为．
由图象可知，当时自变量的取值范围或；
把代入得，，解得，
直线与轴的交点的坐标为，
点的坐标为，
，
． 

【解析】由一次函数解析式求得点的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
解析式联立，求得求点的坐标，根据图象求得即可；
求得直线与轴的交点的坐标，然后利用即可求得．
本题是一次函数和反比例函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，函数与不等式的关系，三角形的面积，求得点的坐标是解题的关键．
 

19.【答案】解：由题意可知：米，米，，，
设米，
在中，
，
米，米，
在中，
，
解得：米，

米，
在中，
，
米．
答：的高度为米
误差为米，
由于锐角三角函数的值取了近似值，故在运算中产生了误差． 

【解析】设米，根据锐角三角函数的定义可知米，米，然后求出的值后，再利用锐角三角函数的定义可求出的长度．
由于锐角三角函数的值在计算时取了近似值，故产生误差．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
 

20.【答案】解：设甲种猕猴桃的进货单价是元，乙种猕猴桃的进货单价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：甲种猕猴桃的进货单价是元，乙种猕猴桃的进货单价是元；
利润最大的进货方案为：购进甲种猕猴桃件，乙种猕猴桃件，理由如下：
设该网店购进甲种猕猴桃件，则购进乙种猕猴桃件，
根据题意得：，
解得：．
设购进的两种猕猴桃全部售出后获得的总利润为元，则，
即．
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，此时，
利润最大的进货方案为：购进甲种猕猴桃件，乙种猕猴桃件． 

【解析】设甲种猕猴桃的进货单价是元，乙种猕猴桃的进货单价是元，根据“购进件甲种猕猴桃和件乙种猕猴桃需元，购进件甲种猕猴桃和件乙种猕猴桃需元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
利润最大的进货方案为：购进甲种猕猴桃件，乙种猕猴桃件，设该网店购进甲种猕猴桃件，则购进乙种猕猴桃件，根据两种猕猴桃全部售完后的销售总额不低于元，可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设购进的两种猕猴桃全部售出后获得的总利润为元，利用总利润每件的销售利润销售数量，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的关系式．
 

21.【答案】经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线 

【解析】解：如图，连接，

由题意可得：，，
又，
，
，
又为半径，
是的切线经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线，
故答案为：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线；
证明：，
，
，
，
，
，
，
，
，
点关于直线的对称点，
，，
，
；
如图，

，，
，
，
，，
∽，
，
，
．
由作图可得，，由等腰三角形的性质可得，由切线的判定可得结论；
由等腰三角形的性质可得，可证，由对称性可得，即可求解；
通过证明∽，可得，即可求解．
本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，切线的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

22.【答案】解：由题意知，，，，
设抛物线解析式为，
把代入解析式得，，
解得，
此桥拱线所在抛物线的表达式为；
当桥拱最高点离水面时，水面与拱桥的交点的纵坐标为，
当时，，
解得，，
水面的宽度为；
此船不能通过，理由：
当时，，
解得或，
，
此船不能通过桥洞． 

【解析】先求出点，点，点的坐标，再把抛物线解析式设为顶点式进行求解即可；
当桥拱最高点离水面时，水面与拱桥的交点的纵坐标为，当时的值，然后计算出两个对应的的值之间的差绝对值即可；
求出当时的值，然后计算出两个对应的的值之间的差的绝对值即可得到答案．
本题考查二次函数的应用，关键是求出二次函数解析式．
 

23.【答案】 

【解析】解：结论：．
理由：四边形是正方形，
，
由折叠的性质得：，，
，
即；

四边形是正方形，
，
由折叠的性质得：，，，
，
由操作一得：，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
故答案为：；
：是等腰直角三角形，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
设，
，，
，，
，
，
解得：，
，
；
如图中，在上取一点，使得，过点作于点，交于点，连接．

当时，，，
，
∽，
，
，
，
由可知，
设，则，
，
，
．
当时，同法可得．
综上所述，满足条件的的值为或．
由正方形的性质得，再由折叠的性质得：，，即可求解；
证是等腰直角三角形，得，则，求出，即可求解；
由等腰直角三角形的性质得，再证，由证明≌，由全等三角形的性质得，，再证，然后由含角的直角三角形的性质得，，，，由得出方程，求解即可；
分两种情形：当，当，分别求解即可．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和翻折变换的性质，证出是解题的关键，属于中考常考题型．