2021-2022学年重庆市名校联盟高二下学期5月联考数学试题（解析版）

2021-2022学年重庆市名校联盟高二下学期5月联考数学试题

一、单选题

1．已知两个正态密度函数的图象如图所示，则（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】正态曲线关于直线对称，且越大图象越靠右，所以图象的均值比图象的均值小，又由越小图象越“瘦高”，得到正确的结果.

【详解】正态曲线关于直线对称，且在处取得峰值，

由题图易得，

因为的图象更“瘦高”，的图象更“矮胖”，则.

故选：A.

2．甲､乙､丙､丁四位同学各自对两变量的线性相关性做试验，分别求得样本相关系数，如下表：

则试验结果中两变量有更强线性相关性的是（       ）A．甲 B．乙 C．丙              D．丁

【答案】B

【分析】由相关系数的绝对值的大小判断．

【详解】由已知，乙的相关系数的绝对值为，是四人中最大的，因此乙同学有更强的相关性．

故选：B．

3．的展开式中的系数为（       ）

A．15 B．60 C．120 D．240

【答案】B

【分析】根据二项展开式通项公式计算．

【详解】，

所以的系数是．

故选：B．

4．从5名男同学和4名女同学中任选2名同学，在选到的都是同性别同学的条件下，都是男同学的概率是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据已知条件及古典概型公式，结合条件概率的计算公式即可求解.

【详解】设“任选2名同学，都是男同学”的事件为，

设“任选2名同学，都是同性别同学”的事件为，

所以，，

所以在选到的都是同性别同学的条件下，都是男同学的概率为

.

故选：D.

5．下表是某饮料专卖店一天卖出奶茶的杯数与当天气温（单位：）的对比表，已知表中数据计算得到关于的线性回归方程为，则据此模型预计时卖出奶茶的杯数为（       ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】C

【分析】先求得的值，再据此模型计算出时卖出奶茶的杯数.

【详解】由题可知，

，

由，可得，

则

则据此模型预计时卖出奶茶的杯数为6.

故选：C

6．函数在区间上有最小值，则m的取值范围是(       )

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据f(x)的导数求f(x)的单调性和极值，作出f(x)简图，数形结合即可求m的范围.

【详解】，

易知在，单调递增，在单调递减，

又，，，，

故f(x)图像如图：

函数在区间上有最小值，则由图可知.

故选：B.

7．由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数，从中任意抽取一个，则其恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增）的概率是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先根据已知条件“定位”中间数字，其次在剩余的四个数字中任取两个数字，放置在首或末位，则其余数字排列方式唯一确定.最后由古典概型计算公式即可得解

【详解】由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共个，前3个数字保持递减，后3个数字保持递增，说明中间数字为1；

在剩余的四个数字中任取两个数字，按照递减顺序,仅有一种排列方式放置在首两位（或末两位），则剩余两位数字排列方式唯一确定，放置在最后两位（或首两位）.

因此“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”的五位数有个，

所以所求的概率．

故选：A．

8．已知在上恰有两个极值点，，且，则的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意得导函数在区间有两个零点，根据二次函数的性质可得，由根与系数的关系可得以及，求出的表达式，将用表示，表示为关于的函数，利用导数与单调性的关系即可求出结果.

【详解】由题意得，

令，得，

由题意知在上有两个根，，

∴，得．

由根与系数的关系得，由求根公式得，

∵，∴，∵，∴．

则，

令，则．

设，则，

易知在上单调递增，

∴，

∴当时，函数为减函数，

∴，且，

∴，

故选：D.

【点睛】关键点点睛：（1）根据极值点的概念，结合根据系数的关系和二次函数的性质得到参数的取值范围，以及与之间的关系；

（2）将题意转化为关于的函数，构造出，利用导数判断单调性.

二、多选题

9．已知随机变量满足，若，则下列选项正确的有（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据已知条件及二项分布的期望与方差公式，结合期望与方差的线性公式即可求解.

【详解】因为，所以，故A正确；

所以，故C正确；

又因为，所以,

所以，故B不正确；

所以，故D正确.

故选：ACD.

10．已知的展开式中第6项的二项式系数最大，则的值可以为（       ）

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】BCD

【分析】利用二次项系数的性质即可求解.

【详解】因为的展开式中第6项的二项式系数最大，则的值可以为或或.

当时，的展开式共有项，其中第项与第项的二项式系数相等且最大，满足题意，

当时，的展开式共有项，只有第项的二项式系数最大，满足题意，

当时，的展开式共有项，其中第项与第项的二项式系数相等且最大，满足题意，

故选：BCD.

11．从7名男生和5名女生中选4人参加夏令营，规定男、女生至少各有1人参加，则不同的选法种数应为(       )

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】可以用两种方法求解：①分三类：3男1女，2男2女，1男3女；②用任选4人的方法数减去全部为男生或全部为女生的方法种数.据此几何判断求解.

【详解】(1)分三类：3男1女，2男2女，1男3女，

∴男、女生至少各有1人参加的选法种数为．

(2)任选4人的方法种数为，其中全部为男生或全部为女生的方法种数为，

所以男、女生至少各有1人参加的选法种数为．

故选：BC．

12．记的导函数为，若对任意的正数都成立，则下列不等式中成立的有（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】对于AB，构造函数，求导，借助单调性比较大小即可；对于CD，构造函数，求导，借助单调性比较大小即可.

【详解】解：因为，所以，则，所以在单调递增，所以，即，所以，故A错误；同理，即，所以，故B正确；因为，所以，构造函数，则，所以在单调递减，所以，即，化简得，故C正确；同理，即，化简得，故D错误.

故选：BC.

三、填空题

13．已知，则__________.

【答案】1

【分析】求出导函数，直接代入.

【详解】因为，所以，所以1.

故答案为：1

14．已知随机变量X服从正态分布，若，，则______．

【答案】

【分析】先求出的概率，然后根据正态分布的特征求解即可.

【详解】解：由题意得：

∵

∴与关于对称

∴．

故答案为：

15．若方程：，则方程的正整数解的个数为___________.

【答案】35

【分析】将问题转化为将8个相同的小球装入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个小球，采用隔板法求解即可.

【详解】解：原问题相当于将8个相同的小球装入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个小球，

采用隔板法，将8个小球排成一排，在其中的7个空位上插入3个隔板即可，

故共有种.

故答案为：35.

16．已知函数与的图象在区间上存在关于轴对称的点，则的取值范围为___________.

【答案】

【分析】与的图象在区间上存在关于轴对称的点，即方程在区间内有解，即方程在区间有解，所以构造函数，利用导数的知识点求出的值域即可求出答案

【详解】函数与的图象在区间上存在关于轴对称的点，

即方程在区间内有解，

所以方程在区间有解.

令，

所以

令，解得或

所以当时，，随的变化情况如下表：

由上表可知，，又，

所以当时，，

故的取值范围是.

故答案为：

四、解答题

17．（1）若，求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）或；（2）.

【分析】（1）根据组合数的定义及组合数的性质即可求解；

（2）根据组合数的定义及组合数的性质即可求解；

【详解】（1）由，得或，解得或；

实数的值为或.

（2）由组合数的性质知，

.

所以的值为.

18．袋中有6个白球､3个黑球，从中随机地连续抽取2次，每次取1个球.

(1)若每次抽取后都放回，设取到黑球的次数为，求的分布列和期望；

(2)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为，求的分布列和期望.

【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：

(2)分布列答案见解析，数学期望：

【分析】（1）根据题意满足二项分布，建立二项分布模型，得到的可能取值，利用二项分布计算概率，列出分布列即可；

（2）根据题意可得满足超几何分布，得出的可能取值，分别计算其概率，列出分布列即可求得.

【详解】(1)由题意，每次抽取后都放回，取得黑球的次数的可能取值为，

其中每次抽取到黑球的概率均为，

所以2次取球可以看成2次的独立重复试验，则，

可得：，

，

，

所以随机变量的分布列为：

；

(2)若每次抽取后都不放回，取到黑球的个数的可能取值为，

可得，

所以随机变量的分别列为：

.

19．已知函数.

(1)求函数的单调区间；

(2)若直线与的图像有三个不同的交点，求实数的范围.

【答案】(1)增区间：（；减区间：（

(2)

【分析】（1）对函数求导，解导函数大于零得增区间，解导函数小于零得减区间；

（2）根据单调性、极值画出函数的图像，结合图像，根据直线与的图像有三个不同的交点，可求得实数的范围.

【详解】(1)因为，

所以，

由，解得或，所以的增区间为，

由，解得，所以的减区间为，

综上，的增区间为，，减区间为；

(2)由（1）知，当，函数取得极大值，

当，函数取得极小值，

根据函数单调性，极值情况，其图像大致如图所示，

结合图像知.

20．在二项式的展开式中，______.给出下列条件：

①若展开式前三项的二项式系数的和等于46；

②所有奇数项的二项式系数的和为256.

试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题：

(1)求展开式中二项式系数最大的项；

(2)求展开式的常数项；

(3)求展开式中项的系数最大的项.

【答案】(1)，

(2)

(3)

【解析】（1）

选择①：，即，

即，即，解得或（舍去）.

选择②：，即，解得.

展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项，

，.

(2)展开式的通项为，

令，得，所以展开式中常数项为第7项，常数项为；

(3)由展开式的通项为，

假设第项系数最大，则，解得，且，所以，即系数最大项为.

21．第24届冬季奥林匹克运动会（），即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.2022年北京冬季奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目，延庆赛区承办雪车､雪橇及高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车､雪橇､高山滑雪之外的所有雪上项目.为调查学生对冬季奥运会项目的了解情况，某中学进行了一次抽样调查，统计得到以下列联表.

(1)先完成列联表，并依据的独立性检验，分析该校学生对冬季奥运会项目了解情况与性别是否有关；

(2)①为弄清学生不了解冬季奥运会项目的原因，按照性别采用分层抽样的方法，从样本中不了解冬季奥运会项目的学生中随机抽取5人，再从这5人中抽取3人进行面对面交流，求“男､女生至少各抽到一名”的概率；

②用样本估计总体，若再从该校全体学生中随机抽取40人，记其中对冬季奥运会项目了解的人数为，求的数学期望.

附表：

附：

【答案】(1)列联表答案见解析，该校学生对冬季奥运会项目了解情况与性别有关

(2)①；②

【分析】（1）根据公式可求计算的值，根据临界值表可得相应结论.

（2）①根据古典概型的概率公式结合组合计数方法可求“男､女生至少各抽到一名”的概率；②根据二项分布的期望公式可求的数学期望.

【详解】(1)零假设：该校学生对冬季奥运会项目了解情况与性别无关（独立），

根据所给数据得，

并依据的独立性检验，零假设不成立，

即该校学生对冬季奥运会项目了解情况与性别有关，该推断犯错误的概率不超过.

(2)①采用分层抽样的方法，从样本中不了解冬季奥运会项目的学生中随机抽取5人，由题可得不了解冬季奥运会项目的学生中男女比例为，

故这5人中包含3名女生，2名男生，再从这5人中抽取3人进行面对面交流，

则“男､女生至少各抽到一名”的概率为；

②由题意得学生了解冬季奥运会项目的概率为，

可知，故.

22．已知函数，其中．

(1)若函数在单调递增，求m的取值范围；

(2)已知函数存在两个极值点（），当时，求的取值范围．

【答案】(1);

(2).

【分析】(1)求出函数的导数，由题意转化为不等式恒成立，分离参数，构造函数利用导数求最小值即可；

（2）根据所给极值点得出，换元后可得构造函数，利用导数研究函数单调性，由单调性求范围即可.

【详解】(1)，，

函数在单调递增，在上恒成立，

即在上恒成立，令，则时，，

所以在时，单调递增，所以，

所以，即.

(2)因为函数存在两个极值点（），

所以，可得，令，则，

所以取对数可得

，

令，则，

令，则，

所以在上单调递增，因为，所以在恒成立，

所以在恒成立，所以在上单调递增，

所以，即，

即

【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于先根据极值点的定义得出，进而换元，求出构造函数，利用导数研究函数的单调性，由单调性求出的范围.