2023年河北省邢台三中中考数学摸底试卷（含解析）

这是一份2023年河北省邢台三中中考数学摸底试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 向东走2m，记为+2m，那么走−7m，表示( )
A. 向南走7mB. 向东走7mC. 向西走7mD. 向北走7m
2. 对于如图，有两种语言描述：①射线BA；②延长线段AB.其中( )
A. 只有①正确B. 只有②正确C. ①和②均正确D. ①和②均错误
3. 下列运算正确的是( )
A. (x+1)2=x2+1B. x+x2=x3
C. x3⋅x2=x5D. (x3)2=x9
4. 如图，在四边形ABCD中，给出部分数据，若添加一个数据后，四边形ABCD是矩形，则添加的数据是( )
A. CD=4
B. CD=2
C. OD=2
D. OD=4
5. 若32□2=3，则运算符号“□”表示( )
A. +B. −C. ×D. ÷
6. 能说明“相等的角是对顶角”是假命题的一个反例是( )
A. B.
C. D.
7. 两个正方形按如图所示位置摆放，则这两个正方形( )
A. 位似
B. 相似
C. 不相似
D. 既不相似，又不位似
8. 如图是某个几何体的左视图，则这个几何体不可能是( )
A.
B.
C.
D.
9. 如图，以水平轴为x轴，竖直轴为y轴，直线y=−x+3所在平面直角坐标系的原点是( )
A. P点B. Q点C. M点D. N点
10. 如图，已知一台观测车对空中目标A进行观测，观测车从B点沿直线行驶到C点的过程中，仰角将( )
A. 增大B. 减小C. 先增大，后减小D. 先减小，后增大
11. 用配方法解一元二次方程x2+4x+2=0时，第一步变形后应是( )
A. x2=−4x−2B. x2+4x=−2C. x2+2=−4xD. 4x+2=−x2
12. 如图，有八个点将圆周八等分，其中连接相邻的两个等分点，得到四条相等的弦(实线表示)，若再连接以等分点为端点的一条弦，使所得的整个图形是轴对称图形，则这条弦是( )
A. ①或③B. ①或②C. ②或④D. ③或④
13. 如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是边AD、BC上的点，且AE=CF．
求证：四边形BEDF是平行四边形．
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴……
∵AE=CF
∴DE=BF
∵DE//BF
∴四边形BEDF是平行四边形
省略号表示的是( )
A. AD=BCB. AB=CD
C. AB=CD，AB/​/CDD. AD=BC，AD//BC
14. 化简(a−1a)÷a−1a的结果为( )
A. a−1B. a+1C. 1a−1D. 1a+1
15. 有一道题目：“在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，分别以B、C为圆心，以BC长为半径的两条弧相交于D点，求∠ABD的度数”.嘉嘉的求解结果是∠ABD=10°.淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠ABD还应有另一个不同的值.”下列判断正确的是( )
A. 淇淇说得对，且∠ABD的另一个值是130°
B. 淇淇说的不对，∠ABD就得10°
C. 嘉嘉求的结果不对，∠ABD应得20°
D. 两人都不对，∠ABD应有3个不同值
16. 如图1，书架上按顺序摆放着五本复习书，现把最右边的文综抽出，放在英语与数学之间；再把最右边的理综抽出，放在数学与语文之间，得到如图2，称为1次整理，接着把最右边的英语抽出，放在数学与理综之间，再把最右边的文综抽出，放在理综与语文之间，得到如图3，称为2次整理……；若从如图1开始，经过n次整理后，得到的顺序与如图1相同，则n的值可以是( )
A. 11B. 12C. 13D. 14
二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）
17. 某种流感病毒的直径约为0.000000203米，该直径用科学记数法表示为2.03×10n，则n= ．
18. 嘉嘉在作业本上画了一个四边形，并标出部分数据(如图)，淇淇说，这四个数据中有一个是标错的；嘉嘉经过认真思考后，进行如下修改：若∠A、∠B、∠BCD保持不变，则将图中∠D (填“增大”或“减小”) 度，淇淇说，“改得不错”．
19. 规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点，叫做整点，点A(2,2)，B(m,1)在反比例函数y=kx(x>0)的图象上(如图)；
(1)k= ，m= ；
(2)已知b>0，过点C(0,b)、D(−4b,0)作直线交双曲线y=kx(x>0)于E点，连接OB，若阴影区域(不包括边界)内有4个整点，则b的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题9.0分)
为了更好保护自己，嘉嘉买5个N95口罩和2个医用普通口罩，淇淇买2个N95口罩和5个医用普通口罩，已知每个N95口罩的价格为a元，每个医用普通口罩的价格为b元．
(1)用含a、b的式子表示嘉嘉买口罩的总花费；
(2)若每个N95口罩的价格比医用普通口罩贵3元，求嘉嘉比淇淇多花多少钱？
21. (本小题9.0分)
老师设计了接力游戏.用合作的方式完成有理数运算，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简.过程如图所示：

(1)接力中，计算错误的学生有 ；
(2)请给出正确的计算过程．
22. (本小题9.0分)
某学校科技小组对甲、乙两幅作品从创新性、使用性两个方面进行量化评分(得分为整数分)，并把成绩制成不完整的条形统计图(图1)和扇形统计图(图2)．

(1)若甲、乙两幅作品的总得分相等，请补充完整条形统计图；
(2)若将甲、乙的两项量化成绩，按照扇形统计图各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，若甲作品的综合成绩高，求乙作品的使用性得分的最大值．
23. (本小题10.0分)
青年工匠小强，每天加工零件的定额是150个，加工一个零件可获得1.2元的收入，若加工零件个数不超过定额，则按实际加工零件个数领取报酬；若加工零件个数超过定额，则超过定额的部分每个多获得0.3元．
(1)求小强一天的收入y(元)与加工的零件个数x(x>0)之间的函数关系式；
(2)已知小强10天加工零件个数如表所示：
①以这10天记录的各加工零件个数的频率作为各加工零件个数发生的概率，求小强一天收入超过180元的概率；
②若小强再加工一天，加工零件个数m与原来10天加工零件个数组成一组新数据，若新数据的中位数比原来10天加工零件个数的中位数大，求m的最小值．
24. (本小题10.0分)
已知，如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD是△ABC中线，F是BD的中点，连接CF并延长到E，使FE=CF，连接BE、AE．
(1)求证：△CDF≌△EBF；
(2)求证：四边形AEBD是菱形；
(3)若BC=8，BE=5，求BG的长．
25. (本小题10.0分)
在平面直角坐标系中，抛物线y=ax(x−6)+1(a≠0)的顶点为A，与x轴相交于B、C两点(C点在B点的右侧)．
(1)判断点(0,1)是否在抛物线y=ax(x−6)+1(a≠0)上，并说明理由；
(2)若点A到x轴的距离为5，求a的值；
(3)若线段BC的长小于等于4，求a的取值范围．
26. (本小题12.0分)
如图，在△ACB中，∠ACB=90°，O是边BC上一点，以O为圆心，OB为半径在BC边的右侧作半圆O，交AB于Q点，交BC于P点．
(1)若BC=2，当CQ取最小值时，求OC的长；
(2)已知CQ=CA：
①判断CQ与半圆O的位置关系，并说明理由；
②若OB=152，BQ=65，求tan∠CQA的值以及AQ的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：向东走2m，记为+2m，那么走−7m，表示向西走7m．
故选：C．
根据正数和负数表示相反意义的量，向东走记为正，可得向西走的表示方法．
本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示．
2.【答案】A
【解析】解：①射线BA，描述正确；
②应该是延长线段BA，原说法错误．
故选：A．
由射线，线段的概念即可判断．
本题考查射线，线段，掌握以上概念是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：(x+1)2=x2+2x+1，
故A不符合题意；
x与x2不能合并同类项，
故B不符合题意；
x3⋅x2=x5，
故C符合题意；
(x3)2=x6，
故D不符合题意，
故选：C．
根据完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方运算法则分别判断即可．
本题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，熟练掌握这些知识是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：添加OD=4时，四边形ABCD是矩形，理由如下：
∵OA=OC=4，OB=OD=4，
∴四边形ABCD是平行四边形，AC=BD=8，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故选：D．
由平行四边形的判定与性质和矩形的判定即可得出结论．
本题考查了矩形的判定以及平行四边形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵32+2=42，32−2=22，
32×2=6，32÷2=3，
∴运算符号“□”表示÷．
故选：D．
直接利用二次根式的乘除、加减运算法则分别计算，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6.【答案】A
【解析】解：A、如图，两个角都是30°，这两个角相等，但这两个角不是对顶角，可以说明“相等的角是对顶角”是假命题，本选项符合题意；
B、如图，两个角都是30°，这两个角相等，这两个角是对顶角，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，本选项不符合题意；
C、如图，两个角不相等，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，本选项不符合题意；
D、如图，两个角不相等，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，本选项不符合题意；
故选：A．
根据对顶角的概念、假命题的概念解答即可．
本题考查的是命题与定理以及假命题的证明，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
7.【答案】B
【解析】解：∵两个正方形对应角相等、对应边成比例但对应顶点的连线没有相交于一点，
∴两个正方形相似但不位似，
故选：B．
根据相似图形和位似图形的概念判断即可．
本题考查的是相似图形和位似图形的概念，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．
8.【答案】D
【解析】解：A、左视图为3列，从左往右正方形的个数为2，1，1，不符合题意；
B、左视图为3列，从左往右正方形的个数为2，1，1，不符合题意；
C、左视图为3列，从左往右正方形的个数为2，1，1，符合题意；
D、左视图为2列，从左往右正方形的个数为2，1，符合题意．
故选：D．
分别找到各个选项的左视图，和所给的左视图比较即可．
本题考查由三视图判断几何体，关键是掌握左视图是从物体的左面看得到的视图．
9.【答案】C
【解析】解：因为直线y=−x+3中k=−1<0，
所以该直线经过第二、四象限．
因为直线y=−x+3中的b=3>0，
所以该直线与y轴交于正半轴．
观察图形，可以确定直线y=−x+3所在平面直角坐标系的原点是点M．
故选：C．
根据直线方程求得该直线与坐标轴的交点位置，继而确定该平面直角坐标系的原点．
本题主要考查了一次函数的性质，由于y=kx+b与y轴交于(0,b)，当b>0时，(0,b)在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b<0时，(0,b)在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
10.【答案】C
【解析】解：当观测车从B点行驶到目标A的正下方的过程中，仰角逐渐增大，
行驶到目标A的正下方时，仰角最大，为90°，
再继续行驶到C点的过程中，仰角逐渐减小．
故选：C．
根据仰角的定义，结合题意，可得答案．
本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握仰角的定义是解答本题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：x2+4x+2=0，
x2+4x=−2．
故选：B．
利用配方法解方程，第一步把常数项移到方程右边．
本题考查了解一元二次方程−配方法法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．
12.【答案】A
【解析】解：连接①，所得的整个图形是轴对称图形，如图：

连接③，所得的整个图形是轴对称图形，如图：

连接②或④都不能使所得的整个图形是轴对称图形，
故选：A．
根据轴对称图形的概念，对各选项提供的线段分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
13.【答案】D
【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∵AE=CF，
∴DE=BF，
∵DE//BF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
故省略号表示的是AD=BC，AD//BC，
故选：D．
先证四边形ABCD是平行四边形，得AD//BC，再证DE=BF，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质，证明四边形ABCD为平行四边形是解题的关键．
14.【答案】B
【解析】解：(a−1a)÷a−1a
=a2−1a÷a−1a
=(a+1)(a−1)a⋅aa−1
=a+1．
故选：B．
根据分式的减法和除法可以解答本题．
本题考查了分式的混合运算，掌握分式混合运算的计算方法是关键．
15.【答案】A
【解析】解：如图，当点D在△ABC外时，
∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠ACB=70°．
∵BC=BD=CD，
∴∠CBD=60°，
∴∠ABD=∠ABC+∠CBD=70°+60°=130°．
故选：A．
由题意可知嘉嘉考虑不周全，如图，当点D在△ABC外时，∠ABD的另一个值是130°．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定与性质，正确画出图形是解题的关键．
16.【答案】B
【解析】解：观察图1和图3可知，经过2次整理，语文的位置不变，后面4本数的顺序恰好反过来，
∴再经过2次整理，在图3的基础上，4本数的顺序又会反过来，即变为图1的顺序，
∴从如图1开始，经过n次整理后，得到的顺序与如图1相同，则n为4的倍数，
故选：B．
观察图形，找到规律即可解答本题．
本题考查图形的变化规律，解题的关键是观察图形，找到经过4的倍数次整理后，得到的顺序与如图1相同．
17.【答案】−7
【解析】解：0.000000203=2.03×10n=2.03×10−7，
则n=−7．
故答案为：−7．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
18.【答案】增大 5
【解析】解：延长DC交AB于E，
∵∠BCD=∠B+∠CEB，∠CEB=∠A+∠D，
∴∠BCD=∠A+∠B+∠D，
∵∠BCD=145，∠A=90°，∠B=25°，
∴∠D=∠BCD−∠A−∠B=145°−90°−25°=30°，
∴∠D应该增大30°−25°=5°．
故答案为：增大，5．
由三角形外角的性质推出∠BCD=∠A+∠B+∠D，求出∠D的度数，即可得到答案．
本题考查三角形外角的性质，关键是掌握三角形外角的性质．
19.【答案】4 4 74【解析】解：(1)∵点A(2,2)，B(m,1)在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，
∴k=2×2=m×1，
∴k=4，m=4，
故答案为：4，4；
(2)∵点点C(0,b)、D(−4b,0)
∴直线CD为y=14x+b，
由A(2,2)，B(4,1)可知，阴影区域(不包括边界)内4个整点为(3,1)，(2,1)，(1,1)，(1,2)，
把(1,2)代入y=14x+b得2=14×1+b，解得b=74，
把(1,3)代入y=14x+b得3=14×1+b，解得b=114，
∴若阴影区域(不包括边界)内有4个整点，则b的取值范围为74(1)利用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后代入B(m,1)即可求得m的值；
(2)求得直线CD为y=14x+b，根据题意阴影区域(不包括边界)内4个整点为(3,1)，(2,1)，(1,1)，(1,2)，求得直线CD过点(1,2)和点(1,3)时的b的值，根据图象即可求得b的取值范围．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象的性质，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．
20.【答案】解：(1)嘉嘉买口罩的总花费为：(5a+2b)元；
(2)由题意得：
(5a+2b)−(2a+5b)
=5a+2b−2a−5b
=3a−3b，
∵a−b=3，
∴嘉嘉比淇淇多花的钱数为：3a−3b=3(a−b)=9(元)．
答：嘉嘉比淇淇多花9元．
【解析】(1)根据总价=单价×数量，从而可求解；
(2)把两者所用的钱数相减，再运算即可．
本题主要考查整式的加减，解答的关键是理解清楚题意找到等量关系．
21.【答案】佳佳，昊昊
【解析】解：(1)由题目中的运算过程，可以发现佳佳和昊昊的计算错误，佳佳的错因有理数的乘方算错以及运算顺序出错，昊昊的错因是忘记算−6．
故答案为：佳佳，昊昊．
(2)(−1)2023−(−3)2+3÷(34−12)
=−1−9+3÷14
=−1−9+12
=2．
(1)根据题目中的运算顺序，可以发现哪位同学做错了；
(2)根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题．
本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算法则和运算顺序．
22.【答案】解：(1)乙作品的使用性得分为：85+95−90=90，
补充完整条形统计图如下：

(2)设乙作品的使用性得分为x，依据题意得，
85×60%+95×40%>90×60%+40%x，
x<87.5，
因为x是整数，所以x最大值为87．
答：甲作品的综合成绩高，则乙作品的使用性得分的最大值为87．
【解析】(1)根据甲、乙两幅作品的总得分相等列式计算解答即可；
(2)根据扇形统计图可知创新性占60%，使用性占40%，再根据题意列不等式解答即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图，理解和掌握两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提．
23.【答案】解：(1)当0当x>150时，y=150×1.2+(x−150)×(1.2+0.3)=1.5x−45．
故小强一天的收入y(元)与加工的零件个数x(x>0)之间的函数关系式为y=1.2x(0150)；
(2)①当x=130时，y=1.2x=156；
当x=140时，y=1.2x=168；
当x=150时，y=1.2x=180；
当x=160时，y=1.5x−45=195；
当x=180时，y=1.5x−45=225；
P(小强一天收入超过180元)=4+110=0.5；
②原来10天加工零件个数的中位数为150+1602=155，
因为新数据的中位数比原来10天加工零件个数的中位数大，所以m>155，
所以m的最小值为156．
【解析】(1)分0150两种情况，分别求出小强一天的收入y(元)与加工的零件个数x(x>0)之间的函数关系式；
(2)①根据(1)中所求y与x之间的函数关系式，分别求出每天的收入，得到一天收入超过180元的天数，再除以总天数即可；
②先求出原来10天加工零件个数的中位数，再根据新数据的中位数比原来10天加工零件个数的中位数大，即可求出m的最小值．
本题考查了一次函数的应用，中位数的定义，概率公式，理解题意求出y与x之间的函数关系式是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵F是BD的中点，
∴FD=FB，
在△CDF和△EBF中
FD=FB∠DFC=∠BFEFC=FE，
∴△CDF≌△EBF(SAS)，
(2)证明：∵△CDF≌△EBF，
∴CD=EB，∠FCD=∠FEB，
∴CD//EB，
∵∠ABC=90°，BD是△ABC中线，
∴AD=CD，
∴AD//EB，AD=EB，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵BD=AD=12AC，
∴四边形AEBD是菱形．
(3)解：∵AD=BE=5，
∴AC=2AD=10，
∵∠ABC=90°，BC=8，
∴AB=AC2−BC2=102−82=6，
∵BE/​/AC，
∴△BGE∽△ABC，
∴BGAG=BEAC=510=12，
∴BG=13AB=13×6=2，
∴BG的长是2．
【解析】(1)由F是BD的中点，得FD=FB，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△CDF≌△EBF；
(2)由∠FCD=∠FEB，得CD/​/EB，所以BE//AD，BD是△ABC中线，得AD=CD，则EB=CD=AD，所以四边形AEBD是平行四边形，而BD=AD=12AC，四边形AEBD是菱形；
(3)由勾股定理得AB=AC2−BC2=6，由BE/​/AC，得△BGE∽△ABC，则BGAG=BEAC=12，所以BG=13AB=2．
此题重点考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等三角形的判定与性质、菱形的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明AD/​/EB，AD=EB是解题的关键．
25.【答案】解：(1)点(0,1)在抛物线y=ax(x−6)+1(a≠0)上，
∵当x=0时，y=a×0×(0−6)+1=1，
∴点(0,1)在抛物线y=ax(x−6)+1(a≠0)上；
(2)∵y=ax(x−6)+1=ax2−6x+1=a(x−3)2+1−9a，点A到x轴的距离为5，
∴当a>0时，1−9a=−5，
解得，a=23；
当a<0时，1−9a=5，
解得，a=−49；
综上所述，a的值为23或−49；
(3)①当a<0时，抛物线开口向下．
由(1)知，抛物线y=ax(x−6)+1(a≠0)与y轴的交点为(0,1)，
∵抛物线y=ax(x−6)+1(a≠0)的对称轴为直线x=3，
∴xB<0，xC>6，
∴BC=|xC−xB|>6，
∵CB≤4，
∴此种情况不符合题意；
②当a>0时，抛物线的开口向上，在x轴上关于抛物线的对称轴x=3对称且距离为4的两点的坐标为(1,0)，(5,0)，
∵BC≤4，
∴当x=1时，y=ax(x−6)+1=ax2−6ax+1=a−6a+1≥0，
∴a≤15，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴yA=−9a+1<0，
∴a>19，
∴19综上所述，a的取值范围为：19【解析】(1)将点(0,1)代入抛物线y=ax(x−6)+1(a≠0)进行验证即可；
(2)将已知抛物线解析式利用配方法转化为顶点式，求得顶点坐标；然后由“点A到x轴的距离为5”列出方程并解答；
(3)分a>0和a<0两种情况下求得线段的BC的长度，结合“线段BC的长小于等于4”列出不等式并求得a的取值范围．
本题属于二次函数综合题型，综合考查了二次函数的三种形式，抛物线与x轴的交点坐标，两点间的距离公式，二次函数图象上点的坐标特征以及抛物线的轴对称性质，难度不是很大．
26.【答案】解：(1)当CQ取最小值时，CQ⊥AB，此时P点与C点重合，O是BC的中点，
∵BC=2，
∴OC=1；
(2)①CQ与半圆O相切，
理由如下：连接OQ，

∵OB=OQ，
∴∠B=∠OQB，
∵CQ=CA，
∴∠CQA=∠A，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠OQB+∠CQA=90°，
∴∠OQC=180°−(∠OQB+∠CQA)=90°，
∴OQ⊥QC，
又∵OQ是圆的半径，
∴CQ与半圆O相切；
②如图，连接PQ，过C作CD⊥AB于D，

由题意得，BP=2OB=15，BQ=65，
∵BP是直径，
∴∠BQP=90°，
∴PQ=BP2−BQ2=35，
∵∠PQA+∠A+∠PCA+∠CPQ=360°，
∴∠A+∠CPQ=180°，
∵∠CPQ+∠BPQ=180°，
∴∠A=∠BPQ，
∵CQ=CA，
∴∠A=∠CQA，
∴tan∠CQA=tan∠BPQ=BQPQ=2，
∵CQ=CA，
∴QD=DA，
设QD=a，
∵tan∠CQA=CDQD=2，
∴CD=2a，
∵∠PQB=∠CDB=90°，
∴PQ//CD，
∴∠BPQ=∠BCD，
∴tan∠BCD=tan∠BPQ=2，
∴BD=4a，
∴BQ=3a=65，
∴a=25，
∴AQ=45．
【解析】(1)当CQ取最小值时，CQ⊥AB，此时P点与C点重合，据此求解即可；
(2)①连接OQ，根据等腰三角形的性质及邻补角定义求出∠OQC=90°，根据切线的判定定理即可得解；
②连接PQ，过C作CD⊥AB于D，根据圆周角定理及勾股定理推出PQ=35，进而得出tan∠CQA=tan∠BPQ=2，设QD=a，结合锐角三角函数、平行线的性质求出CD=2a，BD=4a，则BQ=3a=65，
据此求解即可．
此题是圆的综合题，考查了圆周角定理、切线的判定定理、勾股定理、等腰三角形的性质、解直角三角形、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握圆周角定理、切线的判定定理、等腰三角形的性质、解直角三角形并作出合理的辅助线是解题的关键．
加工零件数
130
140
150
160
180
频数(天)
1
3
1
4
1