河南省名校联盟2022-2023学年高三上学期1月新未来联考理科数学试题

2023年普通高等学校全国统一模拟招生考试

新未来元月联考

理科数学

一、选择题：本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的．

1．已知集合，，，设全集，则（    ）

A．  B．

C．  D．

2．已知i是虚数单位，则复数（    ）

A．-1 B．1 C．-I D．i

3．的展开式中，的系数为（    ）

A．16 B．-9 C．6 D．-14

4．已知圆C：上的点均满足则r的最大值为（    ）

A． B． C． D．

5．某公司对2021年的营收来源进行了统计，并绘制饼图如图所示．在华中地区的三省中，湖北省的营收额最多，河南省的营收额最少，湖南省的营收额约1421万元．则下列说法错误的是（    ）

A．该公司在华东地区的营收额，约为东北地区营收额的三倍．

B．该公司在华南地区的营收额，比西南地区的营收额和河南省的营收额之和还要多

C．该公司2021年营收总额约为20300万元

D．该公司在湖南省的营收额，在华中地区的营收额的占比约为

6．已知点P是抛物线C：上任意一点，则点P到抛物线C的准线和直线l；的距离之和的最小值为（    ）

A． B．4 C． D．5

7．已知α，β均为锐角，且，，则

A． B． C． D．

8．已知一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为2且圆心角为的扇形，则该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

9．已知定义在R上的奇函数满足，，且当时，．若关于x的方程在上有且仅有四个实数解，则t的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

10．已知直线与双曲线C：的两条渐近线交于A，B两点，且点A在第一象限．O为坐标原点，若，则双曲线C的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．5

11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且．当取得最大值时，的值为（    ）

A． B． C． D．

12．已知曲线与曲线在处的切线互相平行，记，，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知非零向量，满足，且，则向量夹角θ的大小为________．

14．已知函数在上单调递增，且在上有最大值．则的取值范围为________．

15．已知函数．若存在，，使得曲线在，处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为________．

16．如图，三棱锥的侧面展开图在以P为圆心，2为半径的圆上，其中，为三棱锥的顶点A在展开图中的对应点．已知，，则三棱锥的外接球的半径为________．

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（―）必考题：共60分．

17．（本小题满分12分）

在如图所示的七面体中，底面ABCD为正方形，，，平面ABCD，．已知，．

（1）设平面平面，证明：平面；

（2）若平面平面EDG，求AE的长．

18．（本小题满分12分）

已知数列的各项均为正数，前n项和为，，且．

（1）若，证明：数列为等差数列；

（2）若，求数列的前n项和．

19．（本小题满分12分）

最近几年，新型冠状病毒肺炎席卷全球．在病毒爆发之初，我国迅速建立防疫机制，通过将与新冠肺炎确诊患者接触过的人员分为“密接”和“次密接”两类人群，并对两类人群分别加以不同程度的隔离措施，有效地预防了新冠肺炎病毒的传播．已知某确诊阳性患者确诊当天的“密接”人员有2人，“次密接”人员有3人，且每个“密接”人员被感染的概率为，每个“次密接”人员被感染的概率为．

（1）求在这五人中，恰好有两人感染新冠肺炎的概率；

（2）设这五人中，感染新冠肺炎的人数为随机变量X，求X的数学期望．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆C：的上、下顶点分别为A，B，点在椭圆内，且直线PA，PB分别与椭圆C交于E，F两点，直线EF与y轴交于点Q．已知．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设的面积为，的面积为，求的取值范围．

21．（本小题满分12分）

已知函数，，其中，，e是自然对数的底数．

（1）若在区间上单调递增，求a的取值范围；

（2）设函数，证明：存在唯一的正实数a，使得恰好有两个零点．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，圆C的极坐标方程为，直线l的极坐标方程为

．以极点为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy．

（1）求圆C及直线l的直角坐标方程；

（2）若射线分别与圆C和直线l交于P，Q两点，其中，求的最大值．

23．（本小题满分10分）选修：4-5不等式选讲

已知正数a，b，c满足．

（1）若，求的最大值；

（2）证明：．

2023年普通高等学校全国统一模拟招生考试

新未来元月联考·理科数学

参考答案、提示及评分细则

1．【答案】C

【解析】易知，，，所以．故选C．

2．【答案】B

【解析】因为，所以．故选B．

3．【答案】D

【解析】，展开式中的系数为．故选D．

4．【答案】A

【解析】作出可行域，圆心到直线：的距离，点到：的距离，因为，所以r的最大值为．故选A．

5．【答案】B

【解析】因为，即A正确；

因为，即B错误；

因为，即C正确；

因为，即D正确．故选B．

6．【答案】C

【解析】抛物线C的焦点，如图，由抛物线的性质有

．故选C．

7．【答案】C

【解析】因为，解得，所以，所以，，所以，故选C．

8．【答案】D

【解析】由三视图可知，该几何体是底面半径为2，高为2的圆锥的，所以体积．故选D．

9．【答案】D

【解析】因为，所以，又为奇函数，所以，，所以，当时，则，作图，可知，t的取值范围为．故选D．

10．【答案】B

【解析】因为，所以，设，则，因为，所以，解得，所以，所以，则．故选B．

11．【答案】A

【解析】因为，所以，所以，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以，且，则．故选A．

12．【答案】B

【解析】因为，，则由题意可知，所以，易解得，即，所以，

易知，且，所以，

且，

因为，所以，

所以．故选B．

13．【答案】

【解析】因为，所以，所以，即．

14．【答案】

【解析】由题意可知，解得．

15．【答案】

【解析】易知则

因为，且，所以，

所以，，

所以，解得．

16．【答案】

【解析】因为，，所以，

在原三棱锥中，作BC的中点H，连接AH，PH，

作AP的中点M，设的外心为，三棱锥的球心为O，连接，，

易知，，且，

因为，，即，所以，，

所以，

又，，由余弦定理可知，即，

延长OM，交于点N，则，所以，，

所以，即，

所以外接球半径．

17．【答案】（1）略（2）

【解析】（1）证明：由题意可知，

因为平面ABFE，平面ABFE，

所以平面ABFE，

因为平面平面，平面GCD，所以，

又平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD；

（2）分别以为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设，

则，，，，，，

所以，，，，

设平面BCGF的法向量为，则

取，则，，所以，

设平面EDG的法向量为，则

取，则，，所以，

因为平面平面EDG，所以，解得，

即．

18．【答案】（1）略（2）

【解析】证明：当时，，则，

两式相减，可得，

因为，所以，

当时，，所以，

所以，

且，

所以对任意，均有，即数列是公差为1的等差数列；

（2）当时，，则，

两式相减，可得，

因为，所以，

当时，，所以，

所以，

所以，

所以．

19．【答案】（1）（2）

【解析】设恰好有两人感染新冠肺炎为事件A，

则；

（2）易知X的可取值为0，1，2，3，4，5，

且由（1）可知，，

又，

，

，

，

，

所以．

20．【答案】（1）（2）

【解析】（1）易知，，则，，

因为，所以，解得，

所以椭圆C的标准方程为；

（2）易知，，则直线PA：，直线PB：，设，

令直线PA与椭圆C的方程联立，消去y，整理得，

解得，则，即，

同理可得，

则，

，

由题意可知，

整理得，即，所以，

所以，，所以，，

所以，

因为P在椭圆内，所以，解得，

所以．

21．【答案】（1）（2）略

【解析】由题意可知在上恒成立，

因为，所以单调递增，所以，

所以a的取值范围为；

（2）证明：易知，单调递减，

因为，所以当时，，即在上无零点，

因为，所以存在，使得，

又因为，，且等号不同时成立，所以，所以，

因为当时，，

所以若恰有两个零点，只需在上恰有一个零点即可，

因为，且，所以存在，使得，

列表可知，在上单调递减，在上单调递增，且，

若，则在上恒成立，所以单调递减，

所以，即不符题意，

若．则，所以在上单调递减，在上单调递增，

又因为当时，，且，所以，

将代入上式，可得，

设，则，即单调递增，

因为，．所以存在唯一的，使得，即存在唯一的正实数a，使得恰好有两个零点，命题得证．

22．【答案】（1）圆C：，直线l：（2）

【解析】因为，所以，

由，，，得，

整理得，

因为，所以，

由，，得，

所以圆C和直线l的直角坐标方程分别为，；

（2）由题意可知，

，

所以

（时取“=”）．

故的最大值为．

23．【答案】（1）（2）略

【解析】当时，，所以，

当且仅当时，上式中等号成立，所以的最大值为；

（2）证明：因为，当且仅当时，等号成立，

所以，当且仅当时取等号．