江西省吉安市永丰县永丰中学2023届高三第一次结业水平考试数学（理）试题(含答案)

高中部2023届第一次结业水平考试

数学（理）试题

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知，为虚数单位，若，则

A． B． C． D．

3．总体由编号为01,02,…,49,50的50个个体组成,利用下面的随机数表选取6个个体,选取方法是从随机数表第6行的第9列开始从左到右依次选取两个数字,则选出的第4个个体的编号为(    )

附：第6行至第7行的随机数表：

2748  6198  7164  4148  7086  2888  8519  1620

7477  0111  1630  2404  2979  7991  9683  5125

A．48 B．41 C．19 D．20

4．函数的部分图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

5．已知F是抛物线的焦点，点在抛物线上，且，则（    ）

A．2 B．-2 C．2或-2 D．

6．素数也叫质数,部分素数可写成“”的形式（是素数）,法国数学家马丁•梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位,因此后人将“”形式（是素数）的素数称为梅森素数.2018年底发现的第个梅森素数是,它是目前最大的梅森素数.已知第个梅森素数为,第个梅森素数为,则约等于（参考数据：）（    ）

A． B． C． D．

7．若，则=（    ）

A．1 B．3 C． D．

8．已知，，，，将四边形绕轴旋转一周，则所得旋转体的体积是（    ）

A． B． C． D．

9．下面给出的命题中：

①已知函数，则 ；

②“”是“直线 与直线 相互垂直”的必要不充分条件；

③已知随机变量服从正态分布，且，则 ；

④已知，则这两圆恰有条公切线．

其中真命题的个数是

A． B． C． D．1

10．已知是椭圆：的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

11．在四面体中，平面，平面，，且异面直线与的夹角为，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

12．已知奇函数的导函数为，且在上恒有成立，则下列不等式成立的（    ）

A． B．

C． D．

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分。)

13．已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则N点的坐标是________．

14．已知新高考数学添加多选题型，在我校高二年级某次数学考试中，多选题题型得分规定如下：在每小题给出的A、B、C、D四个选项中，有多项符合题目要求且四个选项不能全部符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．假设某考生有一题不会做，他随机选择了B选项．则该考生本题得2分的概率为______．

15．已知命题函数的图象必过定点；命题如果函数的图象关于原点对称，那么函数的图象关于点对称，则命题为__________（填“真”或“假”）．

16．在棱长为的透明密闭的正方形容器中，装有容器总体积一半的水（不计容器壁的厚度），将该正方体容器绕旋转，并始终保持所在直线与水平平面平行，则在旋转过程中容器中水的水面面积的最大值为__________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程。)

17．已知数列中，，，，等比数列满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）证明：数列是等差数列，并求数列的前项和.

18．如图，四棱锥中，是等边三角形，底面是直角梯形，，，，分别是的中点.

(1)求证：平面；

(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.

19．某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的检测数据，结果统计如下：

记某企业每天由空气污染造成的经济损失（单位：元），空气质量指数为.在区间对企业没有造成经济损失；在区间对企业造成经济损失成直线模型（当为150时造成的经济损失为500元，当为200时，造成的经济损失为700元）；当大于300时造成的经济损失为2000元.（1）试写出的表达式；

（2）估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失大于200元且不超过600元的概率；

（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下列列联表，并判断能否有的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？

20．已知椭圆，直线经过椭圆C的一个焦点和一个顶点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若A，B是椭圆C上的两个动点，且AB的中点到原点O的距离为1，求面积的最大值.

21．已知，设曲线在点处的切线为．

(1)求实数的值；

(2)设函数，其中,求证：当时，

请从下面所给的 22、23 两题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.

22．选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线的交点为，求弦长的最小值.

23．选修4-5： 不等式选讲

已知函数的最大值为.

(1)求的值；

(2)若，，求的最大值.

1．B

【分析】根据题意求出集合B，再根据集合的交集运算求得答案.

【详解】,

故，

故选：B.

2．D

【详解】，则,选D.

3．C

【解析】根据随机数表法进行简单随机抽样的方法,即可求得答案.

【详解】选取方法是从随机数表第6行的第9列开始从左到右依次选取两个数字

则这四个数为:41、48、28,19,

故选: C.

【点睛】本题主要考查了随机数表法进行简单随机抽样,解题关键是掌握随机数表法进行简单随机抽样,属于基础题.

4．C

【解析】判断函数的奇偶性，函数值的正负，函数值的变化趋势，利用排除法可得结论．

【详解】函数定义域是．

记，则，是奇函数，排除A；

当时，，排除B；

当为正数且越来越大时，，越来越大，因此越来越小，排除D．

故选：C．

【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

5．D

【分析】抛物线的标准方程为，然后得出其准线方程，然后利用抛物线的定义求解即可.

【详解】抛物线的标准方程为，则其准线方程为，

由得到准线的距离为，所以，所以．

故选：D

【点睛】本题考查的是抛物线定义的应用，较简单.

6．C

【分析】根据两数远远大于1, 的值约等于,设,运用指数运算法则,把指数式转化对数式,最后求出的值.

【详解】因为两数远远大于1,所以的值约等于,设,

因此有.

故选C

【点睛】本题考查了数学估算能力,考查了指数运算性质、指数式转化为对数式,属于基础题.

7．D

【分析】由已知求得，再由正弦的二倍角公式，以及同角三角函数的关系代入可求得答案.

【详解】解：∵，

所以.

故选：D.

8．A

【分析】过作轴的垂线交轴于，则三角形是直角三角形，四边形是直角梯形，进而可得四边形绕轴旋转一周所得几何体是一个圆锥和一个圆台的组合体，结合圆台和圆锥的表面积体积公式，可得答案．

【详解】解：过作轴的垂线交轴于，则三角形是直角三角形，四边形是直角梯形，

四边形绕轴旋转一周所得几何体是一个圆锥和一个圆台的组合体，

易求得

所得旋转体的表面积是，

体积为．

故选：A

【点睛】本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆台和圆锥的体积和表面积公式是解答的关键，属于中档题.

9．B

【分析】对于①：求出原函数，代入求解；

对于②：先求出两直线垂直的等价条件：或，即可判断；

对于③：利用正态曲线的对称性直接求解；

对于④：判断出两圆相交可求出有条公切线.

【详解】对于①：因为，所以，故①正确；

对于②：若直线与直线相互垂直，则，所以或，所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分不必要条件，所以②错误；

对于③：因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线的对称轴为轴，

所以

所以,所以③错误；

对于④：两圆的圆心分别为,半径为，所以圆心距，所以两圆是相交关系，故两圆恰有条公切线，所以④正确，因此正确的命题有个.

故选：B.

10．A

【分析】根据题意设椭圆的右焦点，根据正弦定理即可求得和的关系，即可求得椭圆的离心率．

【详解】解：设椭圆的右焦点，连接，，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，

则，且由，可得，

所以，则，

由余弦定理可得

，

即，

∴椭圆的离心率，

故选：A．

【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，其中涉及到椭圆的定义以及余弦定理，对学生的分析与计算能力要求较高，难度较难.

11．B

【分析】先根据题意画出图形，设出各边的值，异面直线与的夹角为可求出,最后用三角换元法可求出答案.

【详解】如图，将四面体放在一个长方体中，设，

因为，所以即，

因为，所以异面直线与的夹角为，

在，即，

联立 解得，

所以

设，

，

所以，的最大值为.

故选：B

12．B

【分析】构造函数，由已知可得出在上为增函数，再根据函数的奇偶性的定义得出为偶函数，由此逐一判断选项可得答案.

【详解】构造函数，由在上恒有，

，

在上为增函数，

又由，为偶函数，

，，，

，故A错误.

偶函数在上为增函数，在上为减函数，

，，

，，故B正确；

，，，，故C错误；

，，，，故D错误.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：解决本题类型的题目的关键在于利用已知条件，构造函数得出其单调性和奇偶性，利用函数的单调性和奇偶性判断不等式的正确性.

13．(2,3)

【分析】由于点N在直线x－y＋1＝0上可设点N的坐标为，然后根据直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0可求出，进而得到点N的坐标．

【详解】由点N在直线x－y＋1＝0上可设点N的坐标为，

∴．

又直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，

∴，

解得，

∴点N的坐标为．

故答案为

【点睛】本题考查两直线垂直的条件及有关计算，解题时注意把两直线的位置关系转化为数的计算问题处理，属于基础题．

14．

【分析】由题设，每道多选题的可能正确答案共有种，再计算出B为其中一个正确选项的答案数量，应用古典概率求法求考生随机选择了B选项，得2分的概率.

【详解】A、B、C、D四个选项有多项符合题目且四个选项不能全部符合题目要求，

∴每道题有2项正确的可能答案有种；有3项正确的可能答案有种；

由题设知：考生随机选择了B选项，得2分，说明B为其中一个正确选项，

∴该题有2项正确的可能答案有种，有3项正确的可能答案有种，

∴随机选择了B选项．则该考生本题得2分的概率.

故答案为：

15．真

【详解】试题分析：命题为真；的图象关于原点对称，则函数的图象关于点对称成立，命题为真，因此命题为真．

考点：1、命题的真假；2、函数的定点；3、函数图象的对称．

【方法点晴】本题主要考命题的真假、函数的定点和函数图象的对称，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑推理能力和化归能力，综合程度较高，属于较难题型．通过方程思想可判断命题为真，利用形结合思想和转化化归思想可得命题为真，从而推出命题为真．平时应注重数学思想的培养，从而促进核心素养的提升．

16．

【分析】设点在上，点在上，满足，则原问题等价于求解四边形的最大值.建立空间直角坐标系，结合二次函数的性质可得旋转过程中容器中水的水面面积的最大值.

【详解】如图所示，在棱长为的正方体中，

点在上，点在上，满足，

则原问题等价于求解四边形的最大值.

作于点，当最大时，四边形有最大值.

建立如图所示的空间直角坐标系，

设，设，

由于，由可得：

，则：，故,

故：，

由可得：.

故： ，

结合二次函数的性质可知：当或时，取得最大值，此时取得最大值，最大值为：.

【点睛】本题主要考查等价转化的数学思想，空间向量的应用，函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

17．（1）.（2）证明见解析，

【分析】（1）根据递推公式，分别将代入求得，代入求得，即可求得数列的公比，进而得数列的通项公式.

（2）将数列的通项公式代入递推公式，化简变形后可求得为常数，即可证明数列为等差数列，由等差数列通项公式可求得数列的通项公式，由错位相减法及分组求和法即可求得数列的前项和.

【详解】（1）等比数列满足，

所以，得，

，得，

所以等比数列的公比为，

故其通项公式为

（2）证明：由（1）可知：，即，

所以，

又

所以数列是首项是1，公差为1的等差数列，

故，所以

令

【点睛】本题考查了由递推公式求等比数列通项公式，等差数列定义与证明，错位相减法与分组求和法的综合应用，属于中档题.

18．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）作出辅助线，通过证明面面平行得到线面平行；（2）先用余弦定理求出的长，用等体积法求出到平面的距离，从而求出直线与平面所成角的正弦值.

(1)

证明：取的中点，连接，，

因为底面是直角梯形，，是AD的中点，所以，因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB，

又因为是PC的中点，所以是△PBC的中位线，所以，因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB，

因为，所以平面平面，而平面，所以平面；

(2)

取AB中点O，连接PO，CO，AC，

因为是等边三角形，所以，∠PBA=60°，又因为底面是直角梯形，，，所以△ABC是等边三角形，CO⊥AB，故四边形AOCD是矩形，所以，

由第一问可知，，，，由余弦定理得，

∴由余弦定理得：，

又，∴平面∵平面ABC，∴平面平面，过点P作PH⊥OH，交CO的延长线于点H，则平面，

∴，故，连接GB，GC，其中

设到平面的距离设为，则

∴直线与平面所成角的正弦值为.

19．（1）；（2）；（3）有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关.

【详解】试题分析：（1）讨论三种情况，，即可得出分段函数的解析式；（2）由，得，频数为39，根据古典概型概率公式可得结果；（3）求得 ，与邻界值比较，即可得到结论.

试题解析：（1）.

（2）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失大于200元且不超过600元”为事件.

由，得，频数为39，所以.

（3）根据以上数据得到如下列联表：

的观测值.

所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关.

【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式图、古典概型概率公式以及独立性检验，属于难题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）

20．(1)

(2)最大值为1

【分析】（1）求得直线与x轴的交点为，与y轴的交点为（0，1），结合题意得到，，，进而得到椭圆方程；（2）先考虑直线斜率不存在的时候求得三角形面积为，当直线斜率存在时，设直线AB的方程为，，，联立直线和椭圆方程，AB的中点为，化简得到，原点到直线AB的距离，再由弦长公式得到，利用不等式可得到最值.

(1)

因为直线与x轴的交点为，与y轴的交点为（0，1），

所以，，，

故椭圆C的方程为.

(2)

当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为，此时，

的面积为.

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，，，

联立方程组得，

则，.

因为，所以AB的中点为.

因为，

所以.

因为原点到直线AB的距离，

，

所以.

因为，

当且仅当时，等号成立，

由解得，，

也满足，所以.

综上所述，面积的最大值为1.

21．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）利用导数的几何意义可得在处的切线斜率为0及联立方程即可求解；

（2）将代入得的解析式，利用导数讨论函数的单调性，求出在的最小值即可

【详解】（1）由可得，

因为曲线在点处的切线为，所以，

解得；

（2）由（1）得，

所以，则，

因为，所以由得，由得，

所以在区间上是减函数，在区间上是增函数，故是的极小值点，

因为，所以，

所以的最小值为，最大值为．

设，则，

因为，所以.

所以在上单调递减，

所以，，

综上，当，时，．

【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．

22．（1）；（2）.

【分析】（1）利用极坐标和直角坐标的互化公式可求；

（1）利用圆的性质可知弦长的最小时，直线l垂直于过点的直径，结合勾股定理可求.

【详解】（1）根据题意，，即.

将代入得曲线的直角坐标方程为.

（2）由题意，直线经过圆内定点，

设圆心到直线的距离为，因为,

所以，当直线与垂直时，等号成立.

故弦长的最小值为 .

【点睛】本题主要考查极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的相互转化、弦长的最值问题.

23．(1)

(2)

【分析】（1）利用分段函数的单调性求出函数的最大值，即可得到答案；

（2）利用均值不等式得到，计算即可.

【详解】（1）由于，

当时，，

当时，，

当时，

所以

（2），即，

时等号成立，故，有最大值为.