2022-2023学年江西省五市九校协作体高三上学期第一次联考数学（理科）试卷扫描版含答案

江西省五市九校协作体 2023届第一次联考数学（理科）试卷答案

三．解答题：

17.解（1）数列是递增的等比数列，且，，

，

，是方程的两个根，

解方程，

得，，

， ，

．

（2）由（1）得：，

，

数列的前项和：

，且对一切成立， ，解得，

最小正整数为2022．

18.（1）证明：取的中点，连接交于，连接，，

因为是菱形，所以，且是的中点，

所以且，又，，

所以且，所以四边形是平行四边形，

所以，

又平面，平面，所以，

又因为，平面，

所以平面，所以平面，

又平面，所以平面平面；

（2）解：取的中点，由四边形是菱形，，则，

是正三角形，，，又平面，

所以以为原点，，，为坐标轴建立空间直角坐标系，

设在棱上存在点使得平面与平面的夹角为，

则，，，，，，

则设，，

所以，，，，

设平面的一个法向量为，，，

则，即，令，，

得

平面的法向量可以为，

，解得，

所以，则

设平面的一个法向量为，

则，即，取，得，

所以点到平面的距离.

19.（1）由频率分步直方图得，得分为17，18的人数分别为6人，12人，

所以两人得分之和不大于35分为两人得分均为17分，或两人中1人17分1人18分，

所以.

（2）

又，所以正式测试时，，所以，

①所以，所以人；

②由正态分布模型，任取1人，每分钟跳绳个数195以上的概率为，即，

所以，

所以，

所以的分布列为

所以.

20（1）

设椭圆的右焦点为，连接，

根据椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形.

又，所以

而，所以，

在四边形中，，

所以，

在中，根据余弦定理得

即

化简得.

所以椭圆的离心率；。。。。。。5分

（2）

因为椭圆的上顶点为，所以，所以，

又由（1）知，解得，

所以椭圆的标准方程为.

在中，，，

所以，从而，

又为线段的中点，即，所以，

因此，从而，

根据题意可知直线的斜率一定存在，设它的方程为，，，

联立消去得①，

，

根据韦达定理可得，，

所以

所以，

整理得，解得或.

又直线不经过点，所以舍去，

于是直线的方程为，恒过定点，

该点在椭圆内，满足关于的方程①有两个不相等的解，

所以直线恒过定点，定点坐标为.。。。。。。12分

21．(1)；

(2)【分析】(1)在内有两个不同的极值点、，等价于在内有两个不同的零点、.研究的单调性和零点情况即可求出a的范围；

(2)设，由(1)知且，则，将a=代入要证的不等式，可将不等式化为，令，则不等式化为，问题转化为在(0，1)恒成立即可．

(1)

函数定义域为，

在内有两个不同的极值点、，等价于在内有两个不同的零点、．设，由，

当时，，在上单调递增，至多只有一个零点，不符题意；

当时，在上，单调递增；在上，单调递减，

∴当时，，函数有两个零点，则必有，

即，解得．

易证，证明如下：令，，

当时，，单调递减，当时，单调递增，

故，故，得证．∴，又，∴在和上各有一个零点、，此时：

故在定义域内有两个不同的极值点时，a的范围为；

(2)

方法1：由(1)可知是的两个零点，不防设，

由且，得．

∵．

令，则，

记，，

则，令，．

又，则，即，

∴在上单调递增，故，即成立．

∴不等式成立．

方法2：欲证，由，，则只需证：．

不妨设，

则且，则，

∴，

令，则，记，，

由，即在上单调递增，故，即成立.故．

【点睛】本题第一问关键是找到x=1和x=，判断，，从而根据零点存在性定理判断在和上各有一个零点；第二问的关键是利用是的两个零点用替换a，再利用换元将双变量转化为单变量进行证明．

22．(1)；

(2).

【分析】（1）求得的直角坐标方程，再转化为极坐标方程即可；

（2）求得曲线的普通方程，结合的直角坐标方程，求得交点的直角坐标，再转化为极坐标即可.

【详解】（1）对点，设其直角坐标为，则，即其直角坐标为，

故在直角坐标系下的方程为：，

由可得：，

故的极坐标方程为：.

（2）由题可得曲线的普通方程为：，联立，

可得，解得或，又，故，则，

即曲线C与交点的直角坐标为，设其极坐标为，

则，，

即曲线C与交点的极坐标为.

23、

（1）当a＝3时，即为，

等价于或或，

解得或或，

则原不等式的解集为；。。。。。。5分

（2）不等式的解集非空等价于有解．

由，

（当且仅当时取得等号），

所以，解得，故a的取值范围是．。。。。。。10分