全国甲卷+全国乙卷高考数学复习 专题1 解三角形（理科）解答题30题专项提分计划

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全国甲卷全国乙卷高考数学复习
专题1解三角形（理科）解答题30题专项提分计划

1．（贵州省贵阳市第六中学2022届高三一模数学（理）试题）在中，，，.
(1)求的值.
(2)求的周长和面积.
【答案】(1)
(2)周长为；面积为

【分析】（1）根据及求出，根据正弦定理可转化为，代入求出的值，再根据，解出的值.
（2）求出，再根据求出，再根据正弦定理求出，周长就能求了，面积根据求解.
【详解】（1）因为并且，
所以，又因为，所以，所以
因为由正弦定理得：
即即
所以或，又因为，所以与只能同正，所以，故，又因为，所以,.
（2）由（1）得，根据正弦定理得：，所以，
又因为
根据正弦定理：
所以的周长为：
的面积为：
2．（青海省海东市第一中学2022届高考模拟（二）数学（理）试题）如图，在平面四边形ABCD中，已知BC＝2，.

(1)若，求BD的长；
(2)若，且AB＝4，求AC的长.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由和角的正弦公式及正弦定理化简求解（2）由差角的余弦公式及余弦定理化简求解.
【详解】（1）∵，∴.
又∵，所以，
∴在中，由正弦定理，可得，即BD的长为.
（2），
∴.∵在中，BC＝2，AB＝4，
∴，
可得，解得.
∴AC的长为.
3．（山西省太原市2022届高三二模数学（理）试题）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．设．
(1)求角C；
(2)若D为AB中点，，，求的面积．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用同角三角函数关系的平方关系、正弦定理、余弦定理可求解；
（2）利用求出，再由面积公式可求解.
（1）
∵，
∴，
即，
由正弦定理得，
即，
∵，∴．
（2）
由于D为AB中点，所以,
而
所以，
∴，
∴．
4．（广西柳州市2023届新高三摸底考试数学（理）试题）在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知．
(1)求角A的大小；
(2)若，，求△ABC的面积．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据正弦定理结合内角的范围求解即可；
（2）由余弦定理与面积公式求解即可
(1)
由已知及正弦定理知：．
因为C为锐角，则，所以．
因为A为锐角，则
(2)
由余弦定理，．
则，即
即，因为，则
所以△ABC的面积．
5．（2022·河南南阳·南阳中学校考模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，.
(1)求角B；
(2)若，求的面积，求的周长l的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据内角和定理可知，结合条件，利用正弦定理可得，再根据余弦定理即可求解；
（2）根据，结合三角形面积公式可得，根据余弦定理可得，将代入，则，即，可得到的范围，即可求解.
【详解】（1）由内角和定理得：，
∴，
由正弦定理边角互化得：，即，
∴，
∵，∴
（2）由（1），，
则由题意，，故，即，
由余弦定理可得，，则，故，
所以，故，
即的周长l的取值范围为
6．（2023·河南·校联考模拟预测）记的内角的对边分别为，已知.
(1)证明：；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角相互转化以及余弦定理将原式化简，即可得到证明；
（2）根据余弦定理即可求得，再由三角形的面积公式即可得到结果.
【详解】（1）由，
得，
即，
所以由正弦定理及余弦定理，
得，
化简得.
（2）由余弦定理，得，
所以，
即①.
又由①知②
联立①②，得，
所以，
即的面积为.
7．（贵州省铜仁市2022届高三适应性考试数学（理）试题（—））已知，，分别为△三个内角，，的对边，且，为锐角.
(1)求；
(2)在①△的面积为，②，③这三个条件中任选一个补充在下面问题的横线上.问题：若，，__________，求b，c的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)；
(2)，(各条件所得结果相同).

【分析】（1）利用正弦定理的边角关系及辅助角公式可得，结合为锐角，即可求.
（2）①由三角形面积公式，②由向量数量积的定义可得，再由余弦定理可得，结合已知即可求b、c；③若是中点，根据向量加法的几何意义及已知条件可得，再应用余弦定理可得、，即可求b、c.
(1)
由题设及正弦定理，，又，
所以，即，又，即，
所以，即.
(2)
①由，即，
②由，即，
又，即，又，
将代入整理得：，可得或，
当时，；当时，(舍).
综上，，；
③若是中点，由，又，即，

所以，故在△中，，即，
又，即，又，
所以，；
8．（甘肃省酒泉市2022届高考5月联考数学（理科）试题）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角C的大小；
(2)若，P为内一点，，，则从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①；②；③．
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）由题意将已知条件化简．再结合角的取值范围即可求解；
（2）由题意求得为等边三角形，从三个条件中任选两个，利用余弦定理及其推论结合已知条件，即可证得另一个条件．
(1)
由题意可知，
∴，
由正弦定理可得，
∵，∴，
∴，∴，即，
∵，∴．
(2)
若选①②证③，∵且，∴为等边三角形，
∵．又，，∴∴，
在中，，∴.
若选①③证②，∵且，∴为等边三角形，
∵，，∴，
在中，，
在中，，，∴．∴.
若选②③证①，∵且，∴为等边三角形，
在中，∵，，，
∴，
在中，，，，
∴，∴．
9．（甘肃省2022届高三第二次高考诊断考试数学（理）试题）如图，在圆内接四边形ABCD中，，且依次成等差数列.

(1)求边AC的长；
(2)求四边形ABCD周长的最大值.
【答案】(1)
(2)10

【分析】（1）根据等差数列的性质求得，再根据余弦定理求得答案;
（2）利用圆内接四边形性质可得 ，再利用余弦定理结合基本不等式求得，即可求得答案.
【详解】（1）因为依次成等差数列，
所以，又，
所以,
又，则由余弦定理得:
，
所以.
（2）由圆内接四边形性质及，知，
在中，由余弦定理得
，
又因为（当且仅当时“=”成立），
所以，即，
则四边形ABCD周长最大值.
10．（陕西省铜川市王益中学2023届高三下学期一模理科数学试题）已知的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，若．
(1)求角A的值；
(2)若，求面积S的最大值．
【答案】(1)；
(2)．

【分析】（1）由已知可推得.由正弦定理可得，进而得出，即可得出；
（2）由余弦定理可得，.结合基本不等式可得出，代入面积公式即可得出最小值.
【详解】（1）由已知可得，.
因为，所以，
所以，整理可得，
由正弦定理得，
即.
又，所以.
由于，所以．
（2）由余弦定理，可得.
又，当且仅当时取得等号，
所以.
所以，面积，
所以，面积S的最大值为．
11．（陕西省2022届高三教学质量检测（一）理科数学试题）已知锐角中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若.
(1)求；
(2)若，求周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由已知及正弦定理角化边，再利用余弦定理，可求出，由已知条件得出角的范围，
进而求出角即可以求出的值.
（2）由，的值，利用正弦定理求出，进而表示出三角函数的周长，利用三角形的内角和
定理及两角和与差的正弦公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的性质确定出周长的取值范围.
【详解】（1）由及正弦定理，
得即.
所以，由为锐角， 得，
所以.
（2）由得.
∴得周长.

，
因为，，
所以，，
所以，
即.
所以周长的取值范围为.
12．（陕西省咸阳市武功县2022-2023学年高三上学期第二次质量检测理科数学试题）在中，，，且．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)或
(2)

【分析】（1）由正弦定理可得，然后由余弦定理即可求解；
（2）利用可得，然后利用面积公式即可求解
【详解】（1）∵，∴由正弦定理得，
由余弦定理得，
∵，，∴，化简得，
解得或．
（2）由（1）知，或，
当时，，与题意不符；当时，，符合题意，
∴，∵，，∴，
∴的面积．
13．（江苏省南京市第一中学2023届高三上学期第一次模拟考试数学试题）在中，已知角，，的对边分别为，，，且
(1)求角的大小
(2)若为锐角三角形，且，，求的面积．
【答案】(1)或
(2)

【分析】（1）利用正弦定理将已知式子统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简可求出角，
（2）利用余弦定理结合已知条件求出，然后利用面积公式可求出三角形的面积.
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理得
因为，
所以
所以，所以，
因为，所以或．
（2）因为三角形为锐角三角形，所以，
由余弦定理得，，
因为，，所以，
所以，，
所以三角形的面积为．
14．（山西省际名校2022届高三联考二（冲刺卷）理科数学试题）已知的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据余弦定理,将角化边,即可得到三边关系,进而转化成余弦定理形式求解.
（2）用二倍角公式降幂，然后利用辅助角公式合并，根据角的范围求解.
【详解】（1）及，
，化简得，
，又，.
（2）由（1）可得



为锐角三角形，
且，，
.
，，
故的取值范围为.
15．（山西省太原市2022届高三下学期模拟三理科数学试题）已知锐角△ABC中，
(1)求
(2)若AB=7，求△ABC的面积S.
【答案】(1)
(2)14

【分析】（1）根据，结合两角和的正弦公式化简和，再联立求解即可；
（2）由正弦定理可得，代入面积公式可得，再根据两角和差的余弦公式求解即可
(1)
∵，∴，.
∴
又，故，
∴ ，两式相除，
∴
(2)
由正弦定理得，
∴
∴，
又锐角△ABC，，所以，，
∴，
∴
∴
16．（内蒙古自治区包头市2022-2023学年高三上学期期末数学试题）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设.
(1)求；
(2)若，求.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）将条件展开后利用正弦定理角化边，然后利用余弦定理求角；
（2）利用正弦定理边化角，然后转化为关于角B等式，整理得到，再求出，利用展开求解即可.
【详解】（1）

即
由正弦定理得，
，又
；
（2）
所以由正弦定理边化角得，
，有，
化简得，又，
，


17．（内蒙古自治区赤峰市2022届高三模拟考试数学（理科）4月20日试题）已知为非直角三角形，.
(1)证明：；
(2)求的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）根据已知条件和三角的内角和定理及诱导公式，再利用两角和的正弦公式及同角三角函数的商数关系即可证明；
（2）根据已知条件和三角的内角和定理及诱导公式，再利用正余弦定理的边角化及基本不等式即可求解.
(1)
∵，，
∴，∴，
∴.
又∵为非直角三角形，
∴.
(2)
由，，得
及正弦、余弦定理，得
∴，即，
∴.
当且仅当时等号成立.
∴的最小值为.
18．（宁夏回族自治区银川一中2022届高三二模数学（理）试题）的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且的面积.
(1)求B；
(2)若a､b､c成等差数列，的面积为，求b.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由三角形面积公式和同角三角函数的关系化简已知式子可求得B；
（2）由a､b､c成等差数列，可得，再由的面积为，可得，然后利用余弦定理可求得结果
(1)
∵，
∴，即，
∵，∴.
(2)
∵､､成等差数列，
∴，两边同时平方得：，
又由（1）可知：，
∴，
∴，，
由余弦定理得，，
解得，
∴
19．（宁夏银川市第二中学2022届高三一模数学（理）试题）在中，分别为内角的对边，若.
(1)求；
(2)若，求周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由已知及正弦定理角化边，再利用余弦定理，可求出，由已知条件得出角的范围，进而求出角．
（2）由，的值，利用正弦定理表示出，，进而表示出三角形的周长，利用三角形的内角和定理及两角和与差的正弦公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的性质确定出周长的取值范围．
(1)
解：由及正弦定理得：，又，所以，
所以，
又，所以，
(2)
解：由正弦定理可得，所以，，
所以的周长






，
因为，所以，所以
所以，
即，
所以周长的取值范围为．
20．（宁夏石嘴山市2022届高三适应性测试数学（理）试题）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为的中点，若．
(1)求；
(2)若，求的最小值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由，利用正弦定理化简得到求解；         
（2）根据D为的中点，得到，然后平方结合基本不等式求解.
（1）
解：由，
利用正弦定理可得：，
，         
∵，
∴，
∴；
（2）
由D为的中点，
∴，
∴，
，
又∵，∴  ，        
∴，
∴，       
当且仅当时，取最小值．
21．（新疆乌鲁木齐地区2023届高三第一次质量监测数学（理）试题）在中，边所对的角分别为，，．
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）将代入中，然后再利用余弦定理求角；
（2）利用正弦定理及可求出角，进而可求出，再利用求出，最后利用面积求解即可.
【详解】（1），
由得，即，
，又，
；
（2）由正弦定理得，
，，
又，
即，
，
，

22．（新疆昌吉州2022届高三第二次诊断性测试数学（理）试题）中，角，，的对边分别是，，，
(1)求角；
(2)若为边的中点，且，求的最大值.
【答案】(1)
(2)4

【分析】（1）根据正弦定理角化边得，化简利用余弦定理可求解；
（2）根据题意可知，两边平方化简可得，利用基本不等式可求的最大值.
(1)
由，得，
即又由余弦定理，
可得，
又，；
(2)
∵是边的中点，
∴，
那么，
又，∴
又，当且仅当时等号成立，
∴
∴，的最大值是4.
23．（新疆乌鲁木齐地区2022届高三第一次质量监测数学（理）试题（问卷））在中，角的对边分别为，已知．
(1)求A；
(2)若与的角平分线交于点D，求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由正弦定理和余弦定理可求出角A;
（2）设则，利用正弦定理表示出的周长，利用三角函数求出范围.
(1)
由正弦定理可得：；
整理得：，由余弦定理可得：，
因为，所以；
(2)
由题意可得：，则的外接圆直径，
设则，
则的周长，

24．（江西省鹰潭市2022届高三第二次模拟考试数学（理）试题）的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角；
(2)若，求周长的最大值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由，结合两角和与差的三角函数，利用正弦定理求解；
（2）方法一：利用余弦定理结合基本不等式求解；方法二：利用正弦定理转化为，利用正弦函数的性质求解.
（1）
解：由，
得，
所以，即.
又由正弦定理有，
又，所以，
又，解得.
（2）
方法一：，，即，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立.
所以周长的最大值为；
方法二：由（1）得，在△ABC中，
所以周长，
=，
=，
因为，所以，
即时周长取最大值
25．（江西省赣州市2022届高三二模数学（理）试题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，点D，E满足，．
(1)求的大小；
(2)若，，求b，c．
【答案】(1)
(2)，

【分析】（1）根据正弦定理，把边转化成只含角的式子，消去C，进而求得，．
（2）根据边的关系，可由余弦定理建立两个含的式子，联立即可解出.
(1)
由，由正弦定理知：．
再由内角和定理得：．
所以，因为，所以
所以，因为
所以．
(2)
如下图，由余弦定理知：．①
由题可知，，②
由①②得
化简得
解得：．③
再将③代入①解得：，．

26．（江西省萍乡市2022届高三高考二模数学（理）试题）在中，角，，所对边分别为，，，现有下列四个条件：①；②；③；④．
(1)题干中的③与④两个条件可以同时成立吗？请说明理由；
(2)请选择一组使有解的三个条件，并求的面积．
【答案】(1)③④两个条件不可以同时成立，理由见解析
(2)答案见解析

【分析】（1）根据③求得，根据④求得，由此证得③④两个条件不可以同时成立.
（2）若选①②③，则利用余弦定理求得，进而求得三角形的面积；若选①②④，则解方程求得，进而求得三角形的面积.
(1)
对于③：,
，,
对于④：，由余弦定理知，,
不符合,
所以③④两个条件不可以同时成立.
(2)
若选择①②③，由（1）可知,，由，,
则,
所以.
若选择①②④，由，代入④得,
,
由（1）可知，则.
27．（广西桂林市、崇左市2023届高三联考数学（理）模拟试题）在中，角，，的对边分别为，，，．
(1)求角的大小；
(2)若，为外一点（、在直线两侧），，，求四边形面积的最大值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式计算可得；
（2）由余弦定理得到，再由为等腰直角三角形可得，又，即可得到，再由正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）解：在中，∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，故，
∴，即，
又∵，
∴．
（2）解：在中，，，
∴，
又，由（1）可知，
∴为等腰直角三角形，
∴，
又∵．
∴，
∴当时，四边形的面积有最大值，最大值为．
28．（广西2023届高三上学期西部联考数学（理）试题）在中，内角所对的边分别为，且.
(1)若，求；
(2)若为边上一点，且，求的面积.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由正弦定理边化角结合两角和的正弦公式可得，即得A，从而求得答案;
（2）由余弦定理结合可推得，利用向量表示出，结合可求得，利用三角形面积公式即可求得答案.
【详解】（1）由根据正弦定理得：
，
即，
故，
，，因为，所以，
所以，
且，所以，
故若，则；
（2）在中，因为，所以，
由余弦定理得，即，解得（舍去）.
因为，
所以，即，
因为，所以，解得，
所以的面积.
29．（河南省开封市2023届高三第一次模拟考试理科数学试题）在中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，已知，．
(1)求的值；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）先由三角形内角和的关系将代换，再由正弦定理将边化角，求得角A，B的关系，解出的值；
（2）由第一问求得的的值，根据余弦定理公式展开列方程求解即可.
【详解】（1）因为，
所以，
得，
因为，
由正弦定理，可得，
又，所以，
又因为A，B均为三角形内角，
所以，即，
又因为，即，
即，
又，得；
（2）若，则，
由（1）知，
由余弦定理可得
，即，
所以或，
当时，，则，即为等腰直角三角形，
又因为，此时不满足题意，所以．
30．（2023届河南省开封市杞县高中高三理科数学第一次摸底试题）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求角B；
(2)若，______．求的面积．
从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并解答该问题．
注：如果按照两个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换的公式求解即可；
（2）选①：由正弦定理得，
法一：由余弦定理求得，再求面积即可；
法二：根据求解再求面积即可；
选②：由正弦定理得，
法一：由余弦定理求得，再求面积即可；
法二：根据求解再求面积即可；
(1)
由正弦定理，得，
由，得，
由，得，所以，显然，
所以，由，得．
(2)
（2）选①．
由正弦定理，得，即．
法一：由余弦定理，得，即，
整理，得，
解得（舍去）或．
所以的面积．
法二：由为锐角及，得，
所以，
所以的面积．
选②．
由正弦定理，得，即．
法一：由余弦定理，得，即，
整理，得，
解得（舍去）或．
所以的面积．
法二：由为锐角及，得，
所以，
所以的面积．