2023年福建省南平市光泽县九年级下学期第一次综合练习数学试题（含答案）

2022-2023学年第二学期第一次综合练习

九年级数学

一、选择题

1．下列几何体中，其主视图、左视图、俯视图完全相同的是（    ）

A．    B．    C．    D．

2．如图，将等腰直角三角板放在两条平行线上，若，则等于（    ）

A．    B．    C．    D．

3．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（    ）

A．等边三角形    B．平行四边形    C．正六边形    D．圆

4．下列运算正确的是（    ）

A．    B．    C．    D．

5．已知A、B、C三点在数轴上从左向右排列，且，原点O为中点，则点B所表示的数是（    ）

A．   B．     C．    D．1

6．某班同学一周参加体育锻炼时间的统计情况如表所示：

那么该班同学一周参加体育锻炼时间的众数是（    ）

A．7    B．8    C．9    D．10

7．如图，是的直径，点C、D为上的点．若，则的度数为（    ）

A．    B．    C．    D．

8．若n边形的每个内角都与其外角相等，则n的值为（    ）

A．3    B．4   C．6     D．8

9．我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车x辆，根据题意，可列出的方程是（    ）

A．    B．    C．    D．

10．若是同一函数图象上的任意两点，且，则该函数可以是（    ）

A．     B．    C．    D．

二、填空题

11．计算：__________．

12．大小、形状完全相同的5张卡片，背面分别写着“我”“的”“中”“国”“梦”这5个字，从中随机抽取一张，则这张卡片背面恰好写着“中”字的概率是_________．

13．祖冲之是我国古代著名数学家，小维同学在某搜索软件中输入“祖冲之”，搜索到相关结果约4020000个，将该数据用科学记数法表示为______________．

14．如图，点A，B，C在上，四边形是平行四边形，若，则四边形的面积为__________．

15．在中，，的垂直平分线分别交于点D、E，若，则________．

16．正方形的顶点A、C在直线上，顶点B，D在双曲线上，若正方形的面积为32，则k的值为__________．

三、解答题

17．解不等式组：

18．如图，F、C是上两点，且；点E、F、G在同一直线上，且F、G分别是、中点，．

求证：．

19．先化简，再求值：，其中．

20．如图，已知矩形．

（1）在线段上作点E，使得（要求：只需作出满足条件的一个点即可，尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）在（1）的条件下，求证：．

21．如图，四边形内接于，为直径，点E在的延长线上，的延长线交于点F，，．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求的长．

22．高铁和航空业的飞速发展不仅方便了人们的出行，更显著带动了我国经济的发展．据统计，在2019年内从A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次．为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本，得到如表（单位：人次）数据：

（1）在样本中任取1个，求这个人恰好是青年人的概率；

（2）如果甲要从A市前往B市，以满意度的平均值作为决策依据，你会建议甲乘坐高铁还是飞机？

23．某校举办“诗词大赛”，计划购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件30元，乙种奖品每件20元．

（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种奖品分别购买了多少件？

（2）如果购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，如何购买甲、乙两种奖品能使得总花费最少？

24．如图1，在中，，点E为边上一点，以为斜边，在外，作，使得，且，现将绕点A逆时针旋转，旋转角为，连接．

（1）如图2，当且时，求的长．

（2）连接，设的中点为点F，的中点为点H，连接，直线与线段交于点G，连接．

①求证：；

②探索线段之间的数量关系．

25．抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，

（1）若，求a，b满足的关系式；

（2）直线与抛物线交于C，D两点，抛物线的对称轴为直线，且．

①抛物线的解析式（各项系数用含a的式子表示）；

②求线段长度的取值范围．

2022-2023学年（下）第一次综合练习

九年级数学参考答案评分说明

一、选择题

1—10 DAACC  BCBBB

二、填空题

11．﹣1．   12． ．   13． 4.02×106．   14．．   15． 40．   16．．

三、解答题

17． 解：由①得：x＜2，……………………….3分

由②得：x≥0……………………….6分

不等式组的解集为：0≤x＜2．………………………8分

18． 解：∵AG＝GB，AF＝FC，

∴EG∥BC，……………………….2分

∴∠ACB＝∠DFE，………………………4分

∵AF＝CD，

∴AC＝DF，………………………6分

∵BC＝EF，

∴△ACB≌△DFE（SAS）．………………………8分

19． 解：原式

………………………4分

，………………………6分

当时，原式．………………………8分

20． （1）解：以BC为直径作圆，交AD于点E，则点E为所求点．

………………………4分

（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A+∠D＝90°，

∴∠AEB+∠ABE＝90°， ………………………………………………………………5分

∵∠BEC＝90°，          

∴∠AEB+∠DEC＝90°， ………………………………………………………………6分

∴∠ABE＝∠DEC，………………………………………………………………………7分

∴△ABE∽△DEC．………………………………………………………………………8分

21． 【解答】（1）证明：如图，连接OB，OD，

∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠DAB+∠DCB＝180°，

∵∠DCF+∠DCB＝180°，

∴∠DAB＝∠DCF＝45°，

∴∠DOB＝2∠DAB＝90°，……………………1分

∵EC＝EF，OB＝OC，

∴∠ECF＝∠EFC，∠OBC＝∠OCB，

∵∠ECF＝∠OCB，

∴∠EFC＝∠OBC，………………………………………………………………………2分

∴EF∥OB，

∴∠EDO＝180°﹣∠BOD＝90°，

∴OD⊥DE，        ………………………………………………………………………3分

∵OD是⊙O的半径，

∴DE是⊙O的切线；………………………………………………………………………4分

（2）解：设OD＝r，则OE＝OC+CE＝OC+FE＝r+2， ………………………………5分

在Rt△ODE中，由勾股定理得：

，解得：r＝2，

∴OD＝2，OE＝4， ………………………………………………………………………6分

∵，

∴∠DOE＝60°，   ………………………………………………………………………7分

∴的长为．…………………………………………………8分

22． 解：（1）由表可得，样本中出行的青年人人次为：20+1+4+9+4+4＝42，

所以在样本中任取1个，求这个人恰好是青年人的概率为；………………4分

（2）乘坐高铁的乘客的满意度平均值为

；………………………6分

乘坐飞机的乘客的满意度平均值为

；………………………8分

∵，

∴建议甲乘坐高铁从A市到B市．………………………10分

23．（1）设购买甲种奖品x件，购买乙种奖品y件，

由题意可得，，  解得，…………………………………3分

答：购买甲种奖品20件，购买乙种奖品10件；            ………………………4分

（2）设购买甲种奖品a件，则购买乙种奖品（30﹣a）件，所需费用为w元，

由题意可得，w＝30a+20（30﹣a）＝10a+600，………………………………………6分

∵k＝10＞0，∴w随a的增大而增大，

∵购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，

∴30﹣a≤2a，解得a≥10，………………………………………………………………8分

∴当a＝10时，w取得最小值，此时w＝700，30﹣a＝20，   ………………………9分

答：购买甲种奖品10件、乙种奖品20件时能使得总花费最少．………………………10分

24．（1）解：如图2，过点A作AM⊥BE于M，

∵∠ADE＝90°，DE＝DA，

∴∠DAE＝∠DEA＝45°，

∵BE∥AD，

∴∠AEM＝∠DAE＝45°，

∵AM⊥BE，

∴∠EAM＝∠AEM＝45°，

∴AM＝EM，

∵α＝15°，

∴∠DAB＝90°+15°+45°＝150°，

∵AD∥BE，

∴∠ABE+∠DAB＝180°，

∴∠ABE＝30°，

∴AM＝AB＝2＝ME，BM＝AM＝2，

∴BE＝BM+ME＝2+2；…………………………………………………………………4分

（2）①证明：如图3，延长ED至N，使DN＝DE，连接AN，连接NC交BE于点O，

∵∠ADE＝90°，DN＝DE，

∴AE＝AN，

∴∠AEN＝∠ANE＝45°，

∴∠NAE＝90°＝∠BAC，

∴∠BAE＝∠CAN，

又∵AN＝AE，AB＝AC，

∴△ABE≌△ACN（SAS），

∴∠ABE＝∠ACN，

∵∠ABE+∠CBE+∠ACB＝90°，

∴∠CBE+∠ACB+∠ACN＝90°，

∴∠BOC＝90°，

∴BE⊥NC，

∵DN＝DE，点F是EC中点，

∴DF∥NC，

∴DF⊥BE；    ………………………………………………………………………8分

②解：GD﹣GE＝GH，……………………………………………………………9分

理由如下：

如图4，连接DH，过点H作HP⊥HG，交DG于P，

∵∠ADE＝90°，DN＝DE，点H是AE的中点，

∴DH＝HE，DH⊥AE，∠DEA＝45°，

∴∠DHE＝90°，

∵HP⊥HG，

∴∠PHG＝∠DHE＝90°，

∴∠DHP＝∠EHG，

∵DG⊥BE，

∴∠DGE＝∠DHE＝90°，

∴点D，点H，点G，点E四点共圆，

∴∠DEH＝∠DGH＝45°，

∴∠HPG＝∠DGH＝45°，

∴PH＝HG，

∴PG＝GH，

∵PH＝HG，∠DHP＝∠EHG，DH＝HE，

∴△DPH≌△EHG（SAS），

∴DP＝GE，

∵DG﹣DP＝PG，

∴DG﹣GE＝HG．…………………………………………………………………12分

25． 解：（1）若c＝a，抛物线解析式化为y＝ax2+bx+a，

∵点A（﹣1，0）在抛物线上，

∴a﹣b+a＝0，

∴b＝2a；       ………………………………………………………………………3分

（2）①∵抛物线的对称轴为直线x＝1，

∴﹣＝1，

∴b＝﹣2a，

∵点A（﹣1，0）在抛物线上，

∴a﹣b+a＝0，

∴c＝﹣3a，

∴抛物线解析式化为y＝ax2﹣2ax﹣3a；……………………………………………7分

②∵直线y＝2x+m经过点C，且点C（0，﹣3a），

∴m＝﹣3a，

∴直线解析式化为y＝2x﹣3a，

由，

得ax2﹣（2a+2）x＝0，

Δ＝（2a+2）2＞0，

解得：x1＝0，，且a≠﹣1，

即D点的横坐标为，

∴点D的坐标为，

由勾股定理，得，

根据题意得，点D在点D的右侧，

∴且a≠﹣1，

由抛物线对称性可得点B坐标为（3，0），

∴，

∴1≤|a|≤2，

∴当a＞0时，1≤a≤2；

由反比例函数的增减性质得，，

∴，

∴；

当a＜0时，﹣2≤a＜﹣1，

由反比例函数的增减性质得，，

∴，

综上所述：或．………………………………………14分