中考数学专题复习 专题11 一元二次方程及其应用

中考数学总复习六大策略

1、学会运用函数与方程思想。

从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法

2、学会运用数形结合思想。

数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。

3、要学会抢得分点。

一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。

4、学会运用等价转换思想。

在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。

5、学会运用分类讨论的思想。

如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。

6、转化思想:

体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。

专题11 一元二次方程及其应用

1．一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。

2．一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2 是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

3．一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。

4．一元二次方程的解法

(1)直接开方法：适用形式：x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p。

(2)配方法：套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步骤是：

①将已知方程化为一般形式； 

②化二次项系数为1；  

③常数项移到右边；

④方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．

(3)公式法：

当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为：的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。

其中：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。

①Δ=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根。

，

②Δ=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。

③Δ=b2-4ac＜0时，方程无实数根。

定义：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。

(4)因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。

5.解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤

第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系；

第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数；

第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程；

第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法；

第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。

第6步：答。

【例题1】(2020•临沂)一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0的解是(　　)

A．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2 B．x1＝2+2，x2＝2﹣2

C．x1＝2+2，x2＝2﹣2 D．x1＝2，x2＝﹣2

【对点练习】(2019•浙江金华)用配方法解方程x2-6x-8=0时，配方结果正确的是(    )

A. (x-3)2=17     B. (x-3)2=14      C. (x-6)2=44     D. (x-3)2=1

【对点练习】(2019年山东省威海市)一元二次方程3x2＝4﹣2x的解是　　．

【例题2】(2020•菏泽)等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为(　　)

A．3 B．4 C．3或4 D．7

【对点练习】(2019内蒙古包头市)已知等腰三角形的三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根，则m的值是(     )

A. 34  B.30   C.30或34  D.30或36

【例题3】(2020贵州黔西南)已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是(    )

A. m＜2 B. m≤2 C. m＜2且m≠1 D. m≤2且m≠1

【对点练习】(2019湖北咸宁)若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是(　　)

A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1

【例题4】(2020•衡阳)如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为(　　)

A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600 

B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600 

C．(35﹣2x)(20﹣x)＝600 

D．(35﹣x)(20﹣2x)＝600

【对点练习】(2019哈尔滨)某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为(　　)

A．20%           B．40%          C．18%        D．36%

一、选择题

1．(2020•凉山州)一元二次方程x2＝2x的根为(　　)

A．x＝0 B．x＝2 C．x＝0或x＝2 D．x＝0或x＝﹣2

2．(2020•怀化)已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为(　　)

A．k＝4 B．k＝﹣4 C．k＝±4 D．k＝±2

3．(2020•黑龙江)已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，则实数k的取值范围是(　　)

A．k＜1/4 B．k≤1/4 C．k＞4 D．k≤1/4且k≠0

≤1/44．(2020•泰安)将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成(x+a)2＝b(a，b为常数)的形式，则a，b的值分别是(　　)

A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69

5．(2020•黑龙江)已知2+是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个实数根，则实数m的值是(　　)

A．0 B．1 C．﹣3 D．﹣1

6．(2020•滨州)对于任意实数k，关于x的方程x2/2-(k+5)x+k2+2k+25＝0的根的情况为(　　)

A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 

C．有两个不相等的实数根 D．无法判定

7. (2019•湖南衡阳)国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得(　　)

A．9(1﹣2x)＝1 B．9(1﹣x)2＝1 C．9(1+2x)＝1 D．9(1+x)2＝1

二、填空题

8．(2020•辽阳)若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0无实数根，则k的取值范围是　   　．

9．(2020•烟台)关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　     　．

10．(2020•扬州)方程(x+1)2＝9的根是　       　．

11．(2020•上海)如果关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是　  　．

12．(2020•天水)一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2﹣8x+12＝0的根，则该三角形的周长为　　．

13.(2019年江苏省扬州市)一元二次方程x(x﹣2)＝x﹣2的根是　　．

14.(2019湖北十堰)对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝(a+b)2﹣(a﹣b)2．若(m+2)◎(m﹣3)＝24，则m＝　　　．

15. (2019吉林长春)一元二次方程x2-3x+1=0根的判别式的值为________.

16.(2019年甘肃省天水市)中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元．则该地区居民年人均收入平均增长率为　　．(用百分数表示)

17.(2019年江苏省连云港市)已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根，则+c的值等于　　．

三、解答题

18．(2020•河北)有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣16，如图．

如，第一次按键后，A，B两区分别显示：

(1)从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果；

(2)从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．

19．(2020•孝感)已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)xk2﹣2＝0．

(1)求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；

(2)若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝3，求k的值．

20．(2020•重庆)为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年A、B两个品种各种植了10亩．收获后A、B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B品种的平均亩产量比A品种高100千克，A、B两个品种全部售出后总收入为21600元．

(1)求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？

(2)今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收入将增加a%．求a的值．

21.(2019北京市)关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．

22.(2019•湖南衡阳)关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．

(1)求k的取值范围；

(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程(m﹣1)x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．

23. (2019•湖南长沙)近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教师参与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．

(1)如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；

(2)按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？