2023届二轮复习 增分指导5　机械振动　机械波　光学 学案（浙江专用）

增分指导5　机械振动　机械波　光学

1.必须夯实的“12个概念、6个公式和定律、3个实验”

(1)弹簧振子、单摆、振幅、波长、波速、电磁波、折射率、临界角、干涉、衍射、多普勒效应、偏振。

(2)简谐运动的规律、单摆周期公式、波的形成和传播规律、波速的计算公式、折射定律、干涉条纹间距的计算公式。

(3)测量玻璃的折射率、用单摆测量重力加速度、用双缝干涉测量光的波长。

2.必须辨明的“9个易混易错点”

(1)简谐运动具有周期性和对称性,弹簧振子的回复力不一定等于弹簧的弹力。

(2)单摆的周期与摆球的质量和振幅无关。

(3)波的传播过程中,质点不随波迁移。

(4)区分波速和振动速度。

(5)由于波的周期性和传播方向的不确定会产生多解问题。

(6)在波的干涉现象中,振动加强的地方始终加强,但加强点的位移并不总是最大。

(7)在多普勒效应中,波源的频率并没有变化。

(8)注意光发生全反射的条件。

(9)增透膜最小厚度为光在介质中波长的四分之一。

3.必须掌握的数学知识

几何光学的求解通常要画出临界光线与边界光线,用相关的几何知识与数学方法进行求解。必须熟练运用:

(1)平行线、三角形、圆等有关几何定理。

(2)三角函数知识。

(3)相似三角形的性质。

(4)勾股定理。

(5)正弦、余弦定理。

[例1]  如图所示小球A挂在轻质弹簧下端在上下振动,小球B在竖直平面内以O为圆心做匀速圆周运动,用水平平行光照射小球B,可以观察到小球B的投影总和小球A重合,已知小球A的质量为m,小球B做圆周运动半径为R,角速度为ω=,下列说法正确的是(　D　)

A.弹簧的劲度系数k=

B.小球A和小球B的运动周期不相等

C.小球A在最低点的回复力大小为2mg

D.小球A做简谐运动的加速度最大值为g

解析:由题意可知,A与B运动周期相等,由弹簧振子周期公式T==2π=2π,解得k=,故A、B错误;小球A在最低点的回复力大小F=kR=mg,故C错误;小球A做简谐运动的加速度最大位置是位移最大处,在最低点有F=mg=ma,可得加速度最大值为g,故D正确。

[例2] 如图所示,实线a是沿x轴传播的一列简谐横波在t=0时刻的波形图,虚线b是这列波在t=0.7 s 时刻的波形图。已知该波的波速是v=10 m/s,根据图形,则下列说法正确的是(　C　)

A.t=0时刻,x=-3 m处的质点向上振动

B.该横波若遇到4 m的障碍物不能发生明显衍射

C.经过t=1 s,x=1 m处的质点速度最大,方向沿y轴正方向

D.t=2.75 s时刻,x=4 m处的质点离开平衡位置位移为2 cm

解析:分析图像可知,简谐波的波长为λ=4 m,根据波形平移位移公式x=vt,可得x=vt=10×0.7 m=7 m=λ,由此可知,该横波向x轴的负方向传播,因此可判断t=0时刻,x=-3 m处的质点向下振动,A错误;根据λ=4 m,该横波若遇到4 m的障碍物能发生明显衍射,B错误;根据f==可得,该波的频率为f== Hz,则该波的周期为T==0.4 s,经过t=1 s,即个周期后x=1 m处的质点速度最大,方向沿y轴正方向,C正确;根据题图可知x=4 m处质点的振动方程y=Acos () t=4cos 5πt,t=2.75 s时刻,x=4 m 处的质点离开平衡位置位移为y=2 cm,D错误。

[例3] 如图甲为微棱镜增亮膜的工作原理示意图,光源通过入光面及透明的基材层,在棱镜层透过其表层精细的棱镜结构时,将光线经过折射、全反射、光累积等来控制光强分布,进而将光源散射的光线向正面集中,并且将视角外未被利用的光通过光的反射实现再循环利用,减少光的损失,同时提升整体辉度与均匀度,对液晶显示屏(LCD)面板显示起到增加亮度和控制可视角的效果。如图乙,△ABC为棱镜层中的一个微棱镜的横截面,∠A=90°,AB=AC,用放在BC边上P点的单色点光源来模拟入射光对增亮膜进行研究,PC=3PB,已知微棱镜材料的折射率n=,sin 37°=0.6,只考虑从P点发出照射到AB边和AC边上的光线。

(1)若经AB边折射出的光线与BC边垂直,求该光线在微棱镜内入射角的正弦值;

(2)求从P点发出的光能从AB边和AC边射出棱镜区域的长度L1、L2之比。

解析:(1)由题意知,出射角r=45°,由折射定律得n=,解得sin i==。

(2)根据sin C=可得,临界角C=arcsin =37°,

当光线刚好在AB边上M点发生全反射时,如深实线光路所示,在AB边刚好全反射时,入射角α=37°,由几何关系知,反射到AC边的入射角α′=53°>C,能够发生全反射。过P点作AB的垂线与AB交于Q点,设PQ=a,由几何关系知QM=a·tan 37°=a,从P点发出的光能从AB边射出棱镜区域的长度为L1=2QM=a。当P点发出的光线刚好在AC边上发生全反射时,如图浅实线光路所示。设与AC交点为H,从P作AC垂线,交AC于I点,由几何关系知PI=3a,IH=PI·tan 37°=a,从P点发出的光线到A点时,由几何关系知∠PAB<37°,光线可以出射。从P点发出的光能从AC边射出棱镜区域的长度为L2=AH=a,

则L1、L2之比为L1∶L2=6∶13。

答案:(1)　(2)6∶13

增分训练5　机械振动　机械波　光学

1.(多选)如图所示,在光滑杆下面铺一张可沿垂直杆方向匀速移动的白纸,一带有铅笔的弹簧振子在B、C两点间做机械振动,可以在白纸上留下痕迹。已知弹簧的劲度系数为k=10 N/m,振子的质量为0.5 kg,白纸移动速度为2 m/s,弹簧弹性势能的表达式Ep=ky2,不计一切摩擦。在一次弹簧振子实验中得到如图所示的图像,则下列说法正确的是(　BD　)

A.该弹簧振子的周期为2 s

B.该弹簧振子的最大加速度为10 m/s2

C.该弹簧振子的最大速度为2 m/s

D.弹簧振子组成的系统机械能守恒

解析:由题图可知,白纸移动2 m,弹簧振子振动一个周期,所以弹簧振子的振动周期为T==1 s,故A错误;由题图可知,振幅为0.5 m,弹簧振子最大回复力为F=kA=5 N,最大加速度为a==10 m/s2,故B正确;弹簧振子振动过程不受摩擦阻力,弹簧振子组成的系统机械能守恒m=kA2,弹簧振子的最大速度为v= m/s,故C错误,D正确。

2.(2022·温州二模)匀速运行的列车经过钢轨接缝处时,车轮就会受到一次冲击。由于每一根钢轨长度相等,所以这个冲击力是周期性的,列车受到周期性的冲击做受迫振动。如图所示为某同学设计的“减震器”原理示意图,他用弹簧连接一金属球组成“弹簧振子”悬挂在车厢内,金属球下方固定一块强磁铁(不考虑磁铁对金属球振动周期的影响)。当列车上下剧烈振动时,该“减震器”会使列车振幅减小。下列说法正确的是(　B　)

A.“弹簧振子”的金属球振动幅度与车速无关

B.“弹簧振子”的振动频率与列车的振动频率相同

C.“弹簧振子”固有频率越大,对列车的减振效果越好

D.若将金属球换成大小和质量均相同的绝缘球,能起到相同的减振

效果

解析:“弹簧振子”的金属球振动幅度与驱动力的频率有关,而列车受到周期性的冲击做受迫振动的频率与车速有关,A错误;根据受迫振动稳定时的频率和驱动力的频率一致,可知“弹簧振子”的振动频率与列车的振动频率相同,B正确;当“弹簧振子”的固有频率等于受迫振动的频率时,金属球振动幅度最大,这样更好地把能量传递给“弹簧振子”,对列车起到更好的减震效果,所以并不是“弹簧振子”固有频率越大,对列车的减震效果越好,C错误;若将金属球换成大小和质量均相同的绝缘球,那么绝缘球在振动时就不会产生电磁阻尼,达不到相同的减震效果,D错误。

3.(多选)一列简谐横波沿x轴正方向传播,t时刻波形图如图中的实线所示,此时波刚好传到P点,t+0.6 s时刻的波形如图中的虚线所示,a、b、c、P是介质中的质点,则下列说法正确的是(　AC　)

A.这列波的波速可能为50 m/s

B.质点a在这段时间内通过的路程一定小于30 cm

C.若周期T=0.8 s,则在t+0.5 s时刻,质点b、P的位移相同

D.若周期T=0.8 s,从t+0.4 s时刻开始计时,则质点c的振动方程为y=0.1sin (πt) cm

解析:由波形图可知波长λ=40 m,且0.6 s=nT+T(n=0,1,2,…),解得T= s(n=0,1,2,…),当n=0时,T=0.8 s,波速v==50 m/s,故A正确;当n=1时,T= s,质点a在这段时间内通过的路程大于30 cm,故B错误;若T=0.8 s,在t时刻,因波沿x轴正方向传播,质点P向上振动,经过0.5 s,P正在向下振动,而且是经过平衡位置向下运动0.1 s,而质点b正在向上振动,而且是经过最低点后向上运动0.1 s,因为=0.2 s,所以t+0.5 s时刻,质点b、P的位移相同,故C正确;若T=

0.8 s,从t+0.4 s时刻开始计时,在0时刻,质点c在最高点,则质点c的振动方程为y=0.1cos (πt) cm,故D错误。

4.(多选)一列简谐横波在t=0时刻波的图像如图甲所示,此时P点的位移y=5 cm,Q点为平衡位置在x=2 m处的质点,图乙为质点Q的振动图像,则(　ACD　)

A.这列简谐波的传播速度为20 m/s

B.这列简谐波将沿x轴负方向传播

C.在t= s时,质点P位于波峰位置

D.从t=0.1 s开始的一小段时间内,质点P速度不断增大

解析:由图像可得λ=4 m,T=0.2 s,则v== m/s=20 m/s,A正确;Q点向x轴的正方向振动,根据“上下坡法”,这列简谐波沿x轴正方向传播,B错误;质点P的振动方程为y=10sin(10πt+) cm,在t= s时,y=10 cm,所以质点P位于波峰位置,C正确;从t=0.1 s开始的一小段时间内,质点P向平衡位置振动,其速度不断增大,D正确。

5.如图所示,图甲是一波源的振动图像,图乙是某同学画出的某一时刻波形图像的一部分,该波沿x轴的正方向传播,P、Q是介质中的两个质点,下列说法正确的是(　A　)

A.该时刻这列波至少传播到x=10 m处的质点

B.此刻之后,Q比P先回到平衡位置

C.x=2 m与x=6 m的质点在任何时候都保持相同的距离

D.从波源开始振动,在10 s内传播方向上的质点振动经过的最长路程是40 cm

解析:由题图甲知周期T=4 s,波源起振的方向向上,根据题图乙可知λ=8 m,并且该部分前面还有至少半个波长,所以该时刻这列波至少传播到x=10 m处的质点,故A正确;该波沿x轴的正方向传播,结合波形图可知,Q点振动方向向下,而P点的振动方向向上,所以P点比Q点先回到平衡位置,故B错误;x=2 m与x=6 m的质点的平衡位置之间的距离为半个波长,由于它们步调总是相反,所以它们不可能在任何时候都保持相同的距离,故C错误;10 s=2.5 T,质点在一个周期内通过的路程是四个振幅,在2.5T内的路程最长为10A=10×5 cm=50 cm,故D错误。

6.在坐标原点的波源产生一列沿x轴正方向传播的简谐横波,波速v=200 m/s。已知t=0时,波刚好传播到x=40 m处,如图所示,在x=

400 m处有一接收器(图中未画出),则下列说法正确的是(　B　)

A.波源开始振动时方向沿y轴正方向

B.从t=0开始经过0.15 s,x=40 m处的质点运动路程为0.6 m

C.接收器在t=0.8 s时才能接收到此波

D.若该波与另一列振幅也为10 cm、波源在x=350 m处的沿x轴负方向传播的简谐横波相遇,一定能够产生稳定的干涉图样

解析:根据波的图像和波的传播方向可知,波源开始振动时方向沿y轴负方向,故A错误;根据波的图像可知波长λ=20 m,振幅A=10 cm,周期T==0.1 s,从t=0开始经过0.15 s(1.5个周期),x=40 m处的质点运动路程为6个振幅,即s=6A=6×0.1 m=0.6 m,故B正确;接收器在t== s=1.8 s时才能接收到此波,故C错误;频率相同的两列波相遇才能产生稳定的干涉图样,故该波与另一列振幅也为10 cm的简谐横波相遇,不一定能够产生稳定的干涉图样,故D错误。

7.(多选)一弹簧振子沿x轴做简谐运动,平衡位置在坐标原点O,t=0时刻振子的位移为-0.1 m;t=1 s时位移为0.1 m,如图所示,下列判断正确的是(　ABD　)

A.若振幅为0.1 m,振子的周期可能为0.4 s

B.若振幅为0.2 m,振子的周期可能为6 s

C.振子动能相等的两个时刻,弹簧的长度一定相同

D.振子经过同一点时,其加速度、动能相同,但动量可能不同

解析:若振幅为0.1 m,则有(n+)T=1 s,解得T= s(n=0,1,2,3,…),当n=0时,T=2 s;当n=1时,T= s;当n=2时,T= s=0.4 s,A正确;若振幅为0.2 m,结合振子的位移—时间图像,则有+nT=t(n=0,1,2,

3,…)①,+nT=t(n=0,1,2,3,…)②,+nT=t(n=0,1,2,3,…)③,当n=0时,对①式则有T=2 s,对②式则有T=6 s,对③式则有T= s,B正确;由振子运动中机械能守恒可知,动能相等的两个时刻,弹簧的弹性势能相等,弹簧的形变量一定相同,但弹簧的长度可能相同,也可能不同,C错误;振子经过同一点时,其加速度、动能相同,速度大小相同,方向可能不相同,所以动量可能不同,D正确。

8.(多选)如图所示,图中阴影部分ABC为一透明材料做成的柱形光学元件的横截面,该种材料对红光的折射率n=2,AC为一半径为R的四分之一圆弧,D为圆弧面圆心,ABCD构成正方形。在D处有一红色点光源,在纸面内照射弧面AC,只考虑首次从圆弧AC直接射向AB、BC的光线,已知光在真空中传播速度为c,则以下说法正确的是(　AC　)

A.红光在该材料中传播的速度为

B.点光源发出的光射到AB面上的最长时间为

C.照射在AC边上的入射光,有弧长为πR区域的光不能从AB、BC边直接射出

D.将点光源换成紫光,则AB边上有光射出的长度增大

解析:由v=可知,红光在该材料中的传播速度为,A正确;由题意可知,沿DB方向到达AB面上的光在材料中的传播距离最大,时间最长,作出如图所示光路图,由几何关系可知光从光源到AC面的传播距离为R,材料中的传播距离为s=(-1)R,在材料中的传播时间为t1==

,光在空气中传播的时间为t1=,点光源发出的光射到AB面上的最长时间为t=t1+t2=,B错误;根据sin C=,可知临界角为C=30°,如图所示,若沿DE方向射到AB面上的光线刚好发生全反射,则∠ADF=30°,同理,沿DG方向射到BC面上的光线刚好发生全反射,则∠CDH=30°,故=πR,即照射在AC边上的入射光,有弧长为πR区域的光不能从AB、BC边直接射出,C正确;将点光源换成紫光,因该材料对紫光的折射率比红光的大,根据sin C=知紫光的临界角比红光的小,所以AB边上刚好发生全反射的入射点将左移,AB边上有光射出的长度减小,D错误。

9.(2022·嘉兴二模)如图所示,两块平行金属板M、N通过导线、开关与电源相接,其中N板接地。板间用绝缘细绳悬挂一带负电的小球。闭合开关S,把细绳拉开一小角度(小于10°)后,自A点静止释放小球,小球摆动经过最低点B。则(　D　)

A.小球在A点电势能大于在B点电势能

B.只将N板向上移动时B点电势保持不变

C.只断开开关则小球将停止摆动

D.只把电源正负极对调则小球摆动周期变小

解析:M板与电源正极相连,两板间电场方向由M板指向N板,故A点电势比B点电势高,小球带负电,小球在A点电势能小于在B点电势能,A错误;只将N板向上移动时,则根据E=可知,电场强度变大,根据UBM=B-M=-EdBM,可知B点电势减小,B错误;只断开开关,两板所带电荷量保持不变,电场强度保持不变,受力保持不变,仍然做单摆运动,C错误;只把电源正负极对调,静电力由竖直向上变为竖直向下,等效重力加速度变大,由小球摆动周期表达式T=2π可知,周期变小,D正确。

10.(多选)在同种均匀介质中,x=0处的波源完成半个周期振动产生沿x轴正方向传播的简谐横波,间隔Δt时间后又产生一列简谐横波。以波源第一次从平衡位置开始振动为计时零点,t=3 s时首次出现如图所示波形。则(　ACD　)

A.波源两次振动的时间间隔Δt=1 s

B.波源前后两次振动的周期相同

C.t=4 s时,x=6 m和x=21 m两质点的位移大小相等

D.从t=2 s至t=4.5 s的时间内,x=12 m处的质点经过的路程为30 cm

解析:由题图可知,t=3 s时,第一列波传播到x1=18 m处,则波的传播速度为v==6 m/s,第二列波传播到x2=6 m处,传播时间为t2==1 s,第一列波的振动时间为t3==1 s,则波源两次振动的时间间隔为Δt=

t-t2-t3=1 s,故A正确;由题图可知,两次振动形成的两列波的波长不同,由v=,同种介质中波的传播速度相等可知,波源前后两次振动的周期不同,故B错误;t=4 s时,两列波在第4 s内传播的距离Δx=

vΔt=6 m,则根据题图可知,第一列波的波谷传至x=21 m 处,位移为-10 cm,第二列波在x=6 m的质点位移为10 cm,则t=4 s时,x=6 m和x=21 m两质点的位移大小相等,故C正确;从t=2 s至t=4.5 s 的时间内,第一列波引起x=12 m处的质点经历半个周期的振动,经过的路程为s1=20 cm,第二列波引起x=12 m处的质点经过的路程为s2=10 cm,则从t=2 s至t=4.5 s的时间内x=12 m处的质点经过的路程为s=s1+s2=30 cm,故D正确。

11.(多选)战绳训练是当下一种火热的健身方式。某次战绳训练中,一运动员晃动战绳一端使其上下振动(可视为简谐振动),战绳上因此形成一列横波。如图甲、乙所示分别是战绳上A、B两质点的振动图像,形成的横波由A传向B,波长大于3.0 m,A、B两质点在波的传播方向上的距离Δx=4.0 m。下列说法正确的是(　BC　)

A.t=0时刻,A、B两质点的振动方向相反

B.波的波长可能为3.2 m

C.质点A处的波传到B处所用时间可能为0.25 s

D.波的波速可能为40 m/s

解析:由振动图像可知,t=0时刻,质点A速度方向沿y轴正方向,而质点B速度为零,故A错误;取t=0时刻分析,A质点经平衡位置向上振动,B质点处于波谷,横波由A传向B,设波长为λ,则Δx=nλ+λ(n=0,1,2,3,…),解得λ==m(n=0,1,2,3,…),又因为λ>

3.0 m,所以n取0或1,则当n=0时,λ1=16 m,波速v1==16 m/s;当n=1时,λ2=3.2 m,波速v2==3.2 m/s,故B正确,D错误;质点A处的波传到B处所用时间可能为Δt1==0.25 s,Δt2==1.25 s,故C

正确。

12.在太空授课的过程中,某航天员在水膜里注水,得到了一个晶莹剔透的水球,接着又在水球中央注入一个气泡,形成了两个同心的球,如图所示,MN是通过球心O的一条直线。一单色细光束AB平行于MN从B点射入球体,出射光线CP与MN的交点P到球心的距离是球半径的 倍,且与MN所成的角α=30°,求:

(1)水对此单色光的折射率;

(2)为了不改变该光束的传播,气泡(球)的半径不得超过多少(不考虑R的变化)?

解析:(1)作出光路图如图甲所示。

根据几何关系得=,

解得β=135°,

则r′=180°-135°=45°,θ=45°-30°=15°,

由于半径相等,则两次折射中r=i′,

由于折射率相同,则i=r′=45°,

可得r=i′==30°,

折射率n===。

 (2)如图乙所示。

为了不改变该光束的传播,则光束最多和气泡相切,其半径为R′=

Rsin r=Rsin 30°=R。

答案:(1)　(2)

13.如图所示为单反相机的取景五棱镜原理图,光线①经反光镜反射后以垂直AB面射入五棱镜,以平行于AB面的方向射出五棱镜。已知玻璃相对空气的折射率为1.6,CD面与AB面的夹角为30°,∠ABC=

90°。已知sin 38°=。

(1)如图所示,如果左下角的桃心表示一正立的物体,判断经过多次反射后在取景窗中得到的是正立还是倒立的像;

(2)试分析光线在F点是否发生全反射。如不发生全反射,求折射角的正弦值;

(3)调节CD和AE面与AB面的夹角,使得光线①由CD面射向空气时,恰好发生全反射,且光线出射方向仍与AB面平行,求调整后CD面和AE面与AB面的夹角分别为多大?(在传播过程中光线与DE面无交点)

解析:(1)光路图如图甲所示。

由图甲可知,经过多次反射后在上方的景出现在取景窗的下方,所以在取景窗中得到的是倒立的像。

(2)如图乙所示。

由几何关系可知,光线在F点的入射角为r=90°-60°=30°,

由折射率n=1.6,sin 38°=可知,

五棱镜玻璃全反射的临界角C=38°>30°,

所以光线在F点不发生全反射。

根据折射定律可得=n,

代入数据解得折射角的正弦值sin i=0.8。

(3)光线①由CD面射向空气时,恰好发生全反射,如图丙所示。

由于光线①在CD面恰好发生全反射,则入射角等于临界角。设此时CD面与AB面的夹角为α,则有C+∠MO1C=α+∠MO1C=90°,

解得α=C=38°,即CD面与AB面的夹角为38°;

由反射定律可知,反射角等于入射角,

则有∠O1O2M=90°-∠MO1O2=90°-2C=14°,

再应用反射定律,入射角等于反射角,法线与反射面垂直,则有

∠MO2A=90°-∠O1O2M=83°,

所以有∠EAB=∠EO2M=180°-∠MO2A=97°,

即AE面与AB面的夹角为97°。

答案:(1)倒立的像

(2)不发生全反射　0.8

(3)38°　97°