2022-2023学年四川省绵阳市高三上学期第一次诊断性考试（月考）理科数学试题含解析

秘密★启用前【考试时间：2022年11月1日15：00—17：00】

绵阳市高中2020级第一次诊断性考试

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将答题卡交回．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则（    ）

A  B.  C.  D.

2. 若，则一定有（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 设，则的值是（    ）

A 1 B. 2 C. 4 D. 9

5. 在中，点为边上一点，，若，则（    ）

A. 3 B. 2 C. 1 D.

6. 已知是等差数列的前项和，若，则（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 6

7. 某地锰矿石原有储量为万吨，计划每年开采量为本年年初储量的（，且为常数）倍，那么第（）年在开采完成后剩余储量为，并按该计划方案使用10年时间开采到原有储量的一半．若开采到剩余储量为原有储量的70%时，则需开采约（    ）年．（参考数据：）

A 4 B. 5 C. 6 D. 8

8. 若函数（）在区间上恰有唯一极值点，则的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 函数的图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

10. 已知，则（    ）

A. 2 B.  C.  D.

11. 已知直线：既是曲线的切线，又是曲线的切线，则（    ）

A. 0 B.  C. 0或 D. 或

12. 若函数的定义域为，且偶函数，关于点成中心对称，则下列说法正确的个数为（    ）

①的一个周期为2                ②

③的一条对称轴为            ④

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知向量，，且，则______．

14. 已知等比数列的各项均为正数，设是数列的前项和，且，，则______．

15. 某游乐场中的摩天轮作匀速圆周运动，其中心距地面20.5米，半径为20米．假设从小军同学在最低点处登上摩天轮开始计时，第6分钟第一次到达最高点．则第10分钟小军同学离地面的高度为______米．

16. 已知函数c若存在实数，使得关于的方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围是______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17. 已知函数．

（1）求的单调递减区间；

（2）求在上的解．

18. 已知数列满足：，，（）．

（1）证明：数列等比数列；

（2）求数列的通项公式．

19. 在锐角中，角，，所对的边为，，，且．

（1）证明：；

（2）求的取值范围．

20. 已知函数（）．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数在上恰有两个零点，求函数在上的最小值．

21. 已知函数，当时，．

（1）求的取值范围；

（2）求证：（）．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分．

 [选修4—4：坐标系与参考方程]

22. 在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．

（1）判断直线和圆的位置关系，并说明理由；

（2）设是圆上一动点，，若点到直线的距离为，求的值．

 [选修4—5：不等式选讲]

23. 已知函数．

（1）求的最小值；

（2）若，，均为正数，且，证明：

秘密★启用前【考试时间：2022年11月1日15：00—17：00】

绵阳市高中2020级第一次诊断性考试

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将答题卡交回．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先解不等式，再求交集即可.

【详解】由，可得，

由，可得，

所以.

故选：B

2. 若，则一定有（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据余弦函数、指数函数、反比例函数和幂函数单调性依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，在上单调递增，当时，，A错误；

对于B，在上单调递增，，即，B错误；

对于C，在上单调递减，，C错误；

对于D，在上单调递增，，D正确.

故选：D.

3. 若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据命题是真命题，转换为求函数的最大值，即可求解.

【详解】，函数的最大值是，

根据命题是真命题可知，，即.

故选：A

4. 设，则的值是（    ）

A. 1 B. 2 C. 4 D. 9

【答案】B

【解析】

【分析】根据对数的定义，结合指数式的运算律，可得答案.

【详解】由，则，，.

故选：B.

5. 在中，点边上一点，，若，则（    ）

A. 3 B. 2 C. 1 D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据向量的线性运算法则求解即可.

【详解】由得，

所以，

所以，即，

故选：C.

6. 已知是等差数列的前项和，若，则（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 6

【答案】B

【解析】

【分析】利用等差数列的求和公式，结合等差中项的性质，解得，根据等差数列整理所求代数式，可得答案.

【详解】由题意，，解得，设等差数列的公差为，

则.

故选：B.

7. 某地锰矿石原有储量为万吨，计划每年的开采量为本年年初储量的（，且为常数）倍，那么第（）年在开采完成后剩余储量为，并按该计划方案使用10年时间开采到原有储量的一半．若开采到剩余储量为原有储量的70%时，则需开采约（    ）年．（参考数据：）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 8

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意得关系式，进而根据指数与对数式的互化即可求解.

【详解】设第年开采完后剩余储量为，则 ，当时， ，

所以，，故，

进而 ，

设第年时，，故，

故,

故选：B

8. 若函数（）在区间上恰有唯一极值点，则的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据余弦函数的图象特征，根据整体法即可列出不等式满足的关系进行求解.

【详解】当，，

由于（）在区间上恰有唯一极值点，故满足，解得，

故选：C

9. 函数图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先利用导函数研究上的单调性，得到在上单调递减，在上单调递增，且，进而研究上的单调性，得到在上单调递减，在上单调递增，且，从而选出正确答案.

【详解】当时，，

当时，，当时，，

故在上单调递减，在上单调递增，

所以在处取得极小值，，

当时，，故，

，

当时，，当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

且，显然，

综上：只有D选项满足要求.

故选：D

10. 已知，则（    ）

A. 2 B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得.

【详解】解：因为，

所以，所以，

即，

即，即.

故选：A

11. 已知直线：既是曲线的切线，又是曲线的切线，则（    ）

A. 0 B.  C. 0或 D. 或

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要求切线方程，设两个曲线方程的切点，由两条切线均为，通过等量关系可得到的取值.

【详解】,,，设切点分别为，

则曲线的切线方程为：，化简得，，

曲线的切线方程为：，化简得，，，故，

解得e或.

当e，切线方程为，故.

当，切线方程为，故，则.

故的取值为或.

故选：D

12. 若函数的定义域为，且偶函数，关于点成中心对称，则下列说法正确的个数为（    ）

①的一个周期为2                ②

③的一条对称轴为            ④

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】由题意，根据函数的对称性，可得，，且，根据函数周期性的定义，可判①的正误；根据周期性的应用，可判②的正误；根据函数的轴对称性的性质，可判③的正误；根据函数的周期性，进行分组求和，根据函数的对称性，可得，，可判④的正误.

【详解】因为偶函数，所以，则，即函数关于直线成轴对称，

因为函数的图象是由函数的图象向左平移个单位，所以函数关于点成中心对称，则，且，

对于①，，

，则函数的周期，故①错误；

对于②，，故②正确；

对于③，，故③正确；

对于④，，则，

，则，

由，则，故④正确.

故选：C.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知向量，，且，则______．

【答案】2

【解析】

【分析】根据向量加法的坐标公式，结合垂直向量的坐标表示，可得答案.

【详解】由题意，，因为，所以，

则，解得.

故答案为：.

14. 已知等比数列的各项均为正数，设是数列的前项和，且，，则______．

【答案】

【解析】

【分析】利用等比数列通项公式，结合，可求得公比，进而得到，利用等比数列求和公式可求得结果.

【详解】设等比数列的公比为，

，，又，，，

.

故答案为：.

15. 某游乐场中的摩天轮作匀速圆周运动，其中心距地面20.5米，半径为20米．假设从小军同学在最低点处登上摩天轮开始计时，第6分钟第一次到达最高点．则第10分钟小军同学离地面的高度为______米．

【答案】10.5

【解析】

【分析】建立直角坐标系，利用三角函数定义将摩天轮的高度求出，即可求解.

【详解】以摩天轮的圆心为坐标原点，平行地面的直径所在的直线为轴，

建立直角坐标系，设时刻的坐标为，转过的角度为，

根据三角函数的定义有，

地面与坐标系交线方程为 ，

则第10分钟时他距离地面的高度大约为米.

故答案为：

16. 已知函数c若存在实数，使得关于的方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围是______．

【答案】(-2，1)

【解析】

【分析】根据函数图象与的交点即可求解.

【详解】在直角坐标系中画出的图象，

当时，至多有2个实数根，如图（1），

当时，至多有2个实数根，如图（2），

当时，恰好有3个实数根，如图（3），

故的取值范围为，

故答案为：

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17. 已知函数．

（1）求的单调递减区间；

（2）求在上的解．

【答案】（1）()   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用三角恒等变化化简三角函数，根据正弦函数的单调性，结合整体思想，可得答案；

（2）利用整体思想，结合正弦函数求值，可得答案.

小问1详解】

．

令()，解得()，

∴函数的单调递减区间为()．

【小问2详解】

由，得，∵，∴．

∴，解得．

18. 已知数列满足：，，（）．

（1）证明：数列是等比数列；

（2）求数列的通项公式．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】(1)结合递推公式利用等比数列的定义证明即可；

(2)结合(1)中结论，利用累加法和等比数列求和公式即可求解.

【小问1详解】

证明：∵，

∴，

∵，∴，

∴数列{}是以为首项，4为公比的等比数列．

【小问2详解】

由（1）知，，

当时，

当n=1时，满足上式．

所以，．

19. 在锐角中，角，，所对的边为，，，且．

（1）证明：；

（2）求的取值范围．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）由正弦定理化简可得，所以，即可证明.

（2）因为△ABC为锐角三角形，可求出的范围，即可求出的范围，由正弦定理化简，令，，由函数的单调性即可求出的取值范围．

【小问1详解】

∵，

由正弦定理，得，

即，

∴，

∴或（舍），即，

∴，

∴．

【小问2详解】

由锐角△ABC，可得，，．

即， ∴．

∵．

令，，

因为在上单调递增，

所以当，

当，

∴．

20. 已知函数（）．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数在上恰有两个零点，求函数在上的最小值．

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）求导，分类讨论导函数的正负即可求解，

（2）根据第一问可知的单调性，进而可判断在上恰有两个零点 ，满足，根据零点存在性定理即可列不等式求解.

【小问1详解】

由题意得．  

当时，由，函数在上单调递增．

当时，令,令或

故函数在上单调递减，在和上单调递增． 

当时，令，令或

函数在(k，4)上单调递减，在，上单调递增．

【小问2详解】

当或时，函数在(0，3)上为单调函数，最多只有一个零点．

当时，函数在(0，k)上单调递增，在(k，3)上单调递减．

要使函数在(0，3)上有两个零点，则需满足：

且 解得．

∴．

又，

∴当时，；当时，．

又 ，∴

21. 已知函数，当时，．

（1）求的取值范围；

（2）求证：（）．

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由导数法对、分类讨论是否满足即可；

（2）由（1）结论，当时，恒成立，即可得，即可列项得，

构造，由导数法证，则有，即，最后结合对数运算性质即可证

【小问1详解】

由题意得．

令，则．

∴函数在区间上单调递增，

则函数的最小值为．

①当，即时，可得，

∴函数在上单调递增．

又，∴恒成立．

②当，即时，函数的最小值为<0，

且存在，当时，．

又，∴当时，，

这与时，相矛盾．  

综上，实数a的取值范围是．

【小问2详解】

由（1） 得当时，不等式恒成立，

∴．

令，得． 

∴． 

令，则，

时，，为上的增函数；

时，，为上的减函数；

∴，则．

∴，  

∴

=

<=

．

∴．

【点睛】方法点睛：证明数列累乘不等式，可通过不等式两边取对数，转换成累加不等式的证明，接着一般可结合题中结论，通过对数列通项放缩，达到证明目的

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分．

 [选修4—4：坐标系与参考方程]

22. 在直角坐标系中，圆参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．

（1）判断直线和圆的位置关系，并说明理由；

（2）设是圆上一动点，，若点到直线的距离为，求的值．

【答案】（1）直线和圆C相离；理由见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）把直线方程和圆的方程都化为普通方程，利用圆心到直线距离判断直线与圆的位置关系.

（2）用参数方程表示点坐标，利用点到直线距离求值，再计算向量坐标和向量数量积.

【小问1详解】

圆的参数方程为（为参数），消参得圆C的普通方程为，圆心坐标为，半径为3．

直线的参数方程为（为参数），消参得直线的普通方程为．

∵圆心C到直线的距离，

∴直线和圆C相离．

【小问2详解】

设，

由点到直线的距离：，

∴，则．

∴，则， 

∴，   ，

∴．

 [选修4—5：不等式选讲]

23. 已知函数．

（1）求的最小值；

（2）若，，均为正数，且，证明：．

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由绝对值不等式的性质可求解；

（2）由题意得，再由基本不等式及不等式的性质可证明.

【小问1详解】

≥=

≥．(当且仅当时，取等号)

∴函数f(x)的最小值为．

【小问2详解】

因为，，均为正数，

所以，

∴．

由

≥9，

得．

∵，

∴．

∴，

∴．