2022-2023学年浙江省强基联盟高三下学期2月统测试题数学含答案

2022学年第二学期浙江强基联盟高三2月统测

数学试题

考生须知：

1．全卷分试卷和答题卷。考试结束后，将答题卷上交。

2．试卷共6页，有4大题，22小题．满分150分，考试时间120分钟。

3．请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效。

选择题部分（共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，则（    ）

A．     B．     C．       D．

2．若（i是虚数单位），则（    ）

A．          B．1        C．         D．

3．已知，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件   C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

4．已知甲、乙两名员工分别从家中赶往工作单位的时间互不影响，经统计，甲、乙一个月内从家中到工作单位所用时间在各个时间段内的频率如下：

某日工作单位接到一项任务，需要甲在30分钟内到达，乙在40分钟内到达，用X表示甲、乙两人在要求时间内从家中到达单位的人数，用频率估计概率，则X的数学期望和方差分别是（    ）

A．       B．

C．       D．

5．已知椭圆的左、右焦点为为椭圆上一点，过P点作椭圆的切线l，PM垂直于直线l且与x轴交于点M，若M为的中点，则该椭圆的离心率为（    ）

A．          B．       C．         D．

6．在《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑为四个面都为直角三角形的三棱锥，如图，在堑堵中，，整臑的外接球的体积为，则阳马体积的最大值为（    ）

A．         B．       C．         D．4

7．已知在三角形ABC中，，点M，N分别为边AB，AC上的动点，，其中，点P，Q分别为MN，BC的中点，则的最小值为（    ）

A．         B．       C．        D．

8．已知，且，则a，b，c的大小关系为（    ）

A．       B．      C．        D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．用分层随机抽样法从某校高一年级学生的数学竞赛成绩（满分150分）中抽取一个容量为120的样本，其中男生成绩的数据有80个，女生成绩的数据有40个，将这80个男生的成绩分为6组，绘制得到如图所示的频率分布直方图，下列说法正确的是（    ）

A．男生成绩的样本数据在内的频率为0.015

B．男生成绩的样本数据的平均数为97

C．男生成绩的样本数据的第75百分位数为118

D．女生成绩的样本数据的平均数为91，则总样本的平均数为95

10．如图，正方体，若点M在线段上运动，则下列结论正确的为（    ）

A．三棱锥的体积为定值     B．直线DM与平面所成角的最大值为

C．                      D．点M到平面与到平面ACD的距离之和为定值

11．已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为M，过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点（点A在第一象限），过A，B点作准线的垂线，垂足分别为．设直线l的倾斜角为，当时，．则下列说法正确的是（    ）

A．有可能为直角         B．

C．Q为抛物线C上一个动点，为定点，的最小值为

D．过F点作倾斜角的角平分线FP交抛物线C于P点（点P在第一象限），则存在，使

12．已知连续函数及其导函数的定义域均为，记，若为奇函数，的图象关于y轴对称，则（    ）

A．                          B．

C．在上至少有2个零点      D．

非选择题部分（共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡中的横线上。

13．在的展开式中，的系数为____________．

14．已知直线与曲线有两个交点，则m的取值范围为____________．

15．已知函数，，，在上单调，则正整数的最大值为____________．

16．，则b的最大值是____________．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）

已知是公比为2的等比数列，为正项数列，，当时，．

（1）求数列的通项公式；

（2）记．求数列的前n项和．

18．（12分）

已知锐角，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且．

（1）证明：；

（2）若CD为的角平分线，交AB于D点，且．求a的值．

19．（12分）

如图所示的几何体是一个半圆柱，点P是半圆弧上一动点（点P与点A，D不重合），．

（1）证明：；

（2）若点P在平面ABCD的射影为点H，设的中点为E点，当点P运动到某个位置时，平面PBD与平面CDE的夹角为，求此时DH的长度．

20．（12分）

2022年卡塔尔世界杯决赛圈共有32队参加，其中欧洲球队有13支，分别是德国、丹麦、法国、西班牙、英格兰、克罗地亚、比利时、荷兰、塞尔维亚、瑞士、葡萄牙、波兰、威尔士．世界杯决赛圈赛程分为小组赛和淘汰赛，当进入淘汰赛阶段时，比赛必须要分出胜负．淘汰赛规则如下：在比赛常规时间90分钟内分出胜负，比赛结束，若比分相同，则进入30分钟的加时赛．在加时赛分出胜负，比赛结束，若加时赛比分依然相同，就要通过点球大战来分出最后的胜负．点球大战分为2个阶段．第一阶段：前5轮双方各派5名球员，依次踢点球，以5轮的总进球数作为标准（非必要无需踢满5轮），前5轮合计踢进点球数更多的球队获得比赛的胜利．第二阶段：如果前5轮还是平局，进入“突然死亡”阶段，双方依次轮流踢点球，如果在该阶段一轮里，双方都进球或者双方都不进球，则继续下一轮，直到某一轮里，一方罚进点球，另一方没罚进，比赛结束，罚进点球的一方获得最终的胜利．

下表是2022年卡塔尔世界杯淘汰赛阶段的比赛结果：

注：“阿根廷法国”表示阿根廷与法国在常规比赛及加时赛的比分为，在点球大战中阿根廷战胜法国．

（1）请根据上表估计在世界杯淘汰赛阶段通过点球大战分出胜负的概率．

（2）根据题意填写下面的列联表，并通过计算判断是否能在犯错的概率不超过0.01的前提下认为“32支决赛圈球队闯人8强”与是否为欧洲球队有关．

（3）若甲、乙两队在淘汰赛相遇，经过120分钟比赛未分出胜负，双方进入点球大战．已知甲队球员每轮踢进点球的概率为p，乙队球员每轮踢进点球的概率为，求在点球大战中，两队前2轮比分为的条件下，甲队在第一阶段获得比赛胜利的概率（用p表示）．

参考公式：

21．（12分）

已知双曲线的焦距为10，且经过点．A，B为双曲线E的左、右顶点，P为直线上的动点，连接PA，PB交双曲线E于点C，D（不同于A，B）．

（1）求双曲线E的标准方程．

（2）直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

22．（12分）

已知函数．

（1）讨论的单调性，

（2）若有两个极值点，且．恒成立．

①求a的取值范围；

②证明：

2022学年第二学期浙江强基联盟高三2月统测

数学试题参考答案

13．240

14．

15．7

16．，变形得．

问题等价于直线在与之间，

如图所示．

当且仅当l为两函数的公切线时b获得最值．设l与的切点为，l与的切点为，

由公切线得，

得得，发现为的一个解．

令，令，得，

在上单调递减，在上单调递增，，

而的两根居于两侧．

已得一根为，所以另一根大于，由图形分析知，当时，b的最大值为．

17．解：（1）由题可得，           3分

由，推得，

累积得，得，

又．                                    6分

（2）由题可得，令的前n项和为．

，，

相减得，．

令的前n项和为，则．

综上，．                                         10分

18．（1）证明：由题意得，           2分

．                                                  5分

（2）解：法一．为的平分线，且，

．             7分

为锐角三角形，，                      9分

．

，

化简得，代入，得．         12分

法二．在中，．      12分

19．（1）证明：连接AP，在半圆柱中，因为平面PAD，所以，又因为AD是直径，所以，则平面PAB．所以．                         5分

（2）解：依题意可知，以线段AD的中点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，则，所以，，设平面CDE的法向量为，所以则令，则．                          7分

设平面PBD的法向量为，所以则令，则，所以．8分

因为平面PBD与平面CDE所成的锐二面角为，

所以，

令，则，平方得，即，又由可解得或（舍去），所以，点P在平面ABCD的射影为点，因此DH的长度为．                                   12分

20．解：（1）由题意知卡塔尔世界杯淘汰赛共有16场比赛，其中有5场比赛通过点球大战决出胜负，所以估计在世界杯淘汰赛阶段通过点球大战分出胜负的概率为．          3分

（2）下面为列联表：

零假设支决赛圈球队闯入8强与是否为欧洲球队无关．

．

根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即不能在犯错的概率不超过0.01的前提下认为“决赛圈球队闯入8强”与是否为欧洲球队有关．             7分

（3）方法一．不妨假定踢满第一阶段的5轮．因为前两轮两队比分为，若甲队在第一阶段获得比赛胜利，则后3轮有6种比分，，所以甲在第一阶段获得比赛胜利的概率

．                    12分

方法二．假定比赛进行到任意轮，两队均完成该轮踢点球（实际比赛过程中，只要能确定某队获胜，无需两队均完成某轮踢点球）两队前2轮比分为的条件下，甲在第一阶段获得比赛胜利，则后3轮有5种可能的比分，．

当后3轮比分为时，，，

当后3轮比分为时，有两种情况，，

当后3轮比分为时，，

当后3轮比分为时，，

当后3轮比分为时，．

综上，甲在第一阶段获得比赛胜利的概率

方法三．根据实际比赛进程，假定点球大战中由甲队先踢．两队前2轮比分为的条件下，甲在第一阶段获得比赛胜利，则后3轮有5种可能的比分，．

当后3轮比分为时，甲乙两队均需踢满5轮，．

当后3轮比分为时，有如下3种情况：

则．

当后3轮比分为时，有如下6种情况：

则．

当后3轮比分为时，有如下2种情况：

则

当后3轮比分为时，有如下1种情况：

则．

综上，在点球大战中两队前2轮比分为的条件下，甲在第一阶段获得比赛胜利的概率

．

21．解：（1）法一．由解得．                    4分

法二．左右焦点为，，，

∴双曲线E的标准方程为．                                          4分

（2）设CD的方程为，

联立消去x得，

，，，           5分

AC的方程为，令，得，

BD的方程为，令，得，                      7分

，    10分

解得或，即或（舍去）或（舍去），

∴CD的方程为，∴直线CD过定点，定点坐标为．                   12分

方法二．设CD的方程为，

联立，消去x得，

，AC的方程为，BD的方程为，

分别在AC和BD上，，

两式相除消去n得，又，．

将代入上式，得

．

整理得，解得或（舍去）．

∴CD的方程为，∴直线CD过定点，定点坐标为．

注：法二酌情给分．如用极点极线得到正确结果但没有具体过程给4分．

22．解：（1）令，即．

若，即当时，在上为增函数．                                  2分

若，即当时，．

①若，则在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数．

②若，则在上为减函数，上为增函数．          4分

（2）①由（1）知有两个极值点，则，

由已知得，                                           5分

则

．                                           6分

令，，则，在内单调递减．

，的取值范围是．                          7分

②证明恒成立等价于成立，即成立．                                                        8分

法一．

令，则，令，则，

显然在上，，即在上为增函数．

当时，．

，即，

则为减函数，为增函数．

．                                       10分

．

令，则在上，，在上单调递增．

，即，

，

，则恒成立．

而已求得，即证得恒成立，            12分

法二．变形加放缩．

，

，则恒成立．

而已求得，即证得恒成立．