第3讲 因数和倍数（基础版）小升初数学精讲精练专题真题汇编讲义（原卷+解析）通用版

基础版（通用）

小升初数学精讲精练专题汇编讲义

第3讲 因数和倍数

知识点一：因数与倍数的意义和特征

1.意义：如果ab=c（a、b是非0自然数），那么a和b是c的因数，c是a和b的倍数

例如：24=8，就说2和4是8的因数，8是2和4的倍数

2.特征：①一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

例如：15最小的因数是1，最大的因数是15

②一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数

例如：31最小的倍数是31，没有最大的倍数。）

【提示】①研究因数与倍数时，所说的数一般指非0自然数。

②因数和倍数相互依存，不能单独说一个数是因数或倍数，应该说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。

知识点二：2 、3、5的倍数的特征

①2 的倍数的特征：个位是 0、2、4、6、8。例如：20,136,4578....

②3的倍数的特征：个位是 0 或 5。例如：21，327，.576.....

③5 的倍数的特征：各位上数字的和一定是 3 的倍数。例如：50，895  2645......

同时是2和5的倍数的特征：个位上是0的数同时是2和5的倍数。例如：90，340，....

知识点三：奇数与偶数

1.奇数：不是2的倍数的数叫作奇数，最小的奇数是1.

偶数：是2的倍数的数叫作偶数，最小的偶数是0。

2.和与积的奇偶性：

（1）偶数士偶数=偶数     奇数士奇数=偶数     奇数士偶数=奇数

（2）偶数 偶数=偶数      奇数×奇数=奇数     偶数×奇数=偶数

知识点四：质数与合数

1.质数：只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数（或素数），最小的质数是2.

2.合数：除了1和它本身外还有别的因数，这样的数叫作合数，最小的合数是4

3.1既不是质数，也不是合数。

4.质因数：如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。

5，分解质因数：把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。

6，公因数只有1的两个数叫作互质数。

【提示】按因数个数的多少，自然数（0除外）可分为三类：质数、合数和1

知识点五：最大公因数和最小公倍数

1. 公因数和最大公因数：几个数公有的因数叫作这几个数的公因数；其中最大的公因数叫作这几个数的最大公因数

2. 求最大公因数的方法：（1）列举法；（2）筛选法（3）短除法

3. 公倍数和最小公倍数：几个数公有的倍数叫作这几个数的公倍数；其中最小的公倍数叫作这几个数的最小公倍数

4. 求最小公倍数的方法 （1）列举法；（2）筛选法（3）短除法

5. 求两个数的最大公因数和最小公倍数的特殊情况：如果两个数是倍数关系，那么较小数就是这两个数的最大公因数，较大数就是这两个数的最小公倍数；如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数就是1，最小公倍数就是这两个数的乘积。

一、精挑细选(共5题；每题2分，共10分)

1．（2分）（2022·合阳）用长为20cm、宽为15cm、高为6cm的长方体木块堆成一个正方体，至少需要（　　）块这样的长方体木块。 

A．30 B．60 C．90 D．120

【答案】D

【规范解答】解：20、15、6的最小公倍数是60，
（60÷20）×（60÷15）×（60÷6）
=3×4×10
=120（块）
故答案为：D。

【思路点拨】要想摆成正方体，正方体的棱长一定是长方体长、宽、高的公倍数，所以先确定长宽高的最小公倍数就是正方体最小的棱长。用正方体的棱长分别除以长方体的长宽高，然后把三个商相乘就是至少需要长方体的块数。

2．（2分）（2022·三水）已知n表示1、2、3、4、……，那么2n﹣1表示的是（　　）。 

A．偶数 B．奇数 C．合数 D．质数

【答案】B

【规范解答】解：2n-1表示的是奇数。
故答案为：B。
【思路点拨】n表示除0外的自然数，则2n-1表示的是奇数。

3．（2分）（2022·未央）下面表述正确的有（　　）句。 

①一个数不是正数就是负数。

②把一个长方形木框拉成平行四边形后，它的周长不变，面积变大了。

③三个连续偶数的和是30，这三个偶数中最大的是12。

④48个相同的圆锥铁块，可以熔铸成16个与它等底等高的圆柱铁块。

A．1 B．2 C．3

【答案】B

【规范解答】解：①一个不是0的数不是正数就是负数；原来说法错误；
②把一个长方形木框拉成平行四边形后，它的周长不变，面积变小了。原来说法错误；
③三个连续偶数的和是30，这三个偶数中最大的是12。原来说法正确；
④48个相同的圆锥铁块，可以熔铸成16个与它等底等高的圆柱铁块。原来说法正确。
故答案为：B。

【思路点拨】①0不是正数也不是负数，所以应该是0除外；
②把一个长方形木框拉成平行四边形后，它的四条边的长度不变，所以周长不变。长方形的长就是平行四边形的底，长方形的宽大于平行四边形的高，所以面积变小；
③用三个偶数的和除以3就是中间的哪个偶数，再加上2就是最大的偶数；
④等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，所以3个相同的圆锥铁块就可以熔铸成1个与它等底等高的圆柱铁块。

4．（2分）（2022·滁州）王军玩骰子（6个面分别表示1﹣6），任意投掷一次，两个骰子上的点数乘积（　　）

A．一定是奇数 B．一定是偶数

C．一定是合数 D．可能是奇数，也可能是偶数

【答案】D

【规范解答】解：王军玩骰子（6个面分别表示1﹣6），任意投掷一次，两个骰子上的点数乘积可能是奇数，也可能是偶数。
故答案为：D。

【思路点拨】骰子上的点数是1、2、3、4、5、6，所以两个点数的乘积可能是奇数也可能是偶数，不一定都是合数，例如1×2=2。

5．（2分）（2020·鸡西）一本100多页的书，被人撕掉了4张．剩下的页码总和为8037。则该书最多有多少页？（　　）  

A．134 B．136 C．138 D．140

【答案】A

【规范解答】8037是奇数，撕掉四张页码之和为偶数。
A选项，页码总和：（1+134）×134÷2=9045（页），9045是奇数；假设被人撕掉了4张是最后后4张，这4张页码之和：（127+134 ）×8÷2=1044（页），9045-1044=8001（页），8001＜8037，符合题意。
B选项，页码总和：（1+136）×136÷2=9316（页），9316是偶数，排除；
C选项，页码总和：（1+138）×138÷2=9591（页），9591是奇数；假设被人撕掉了4张是最后后4张， 这4张页码之和：（131+138）×8÷2=1076（页），9591-1076=8515（页），8515＞8037，不合理，排除。
D选项，页码总和：（1+140）×140÷2=9870（页），9870是偶数，排除。
故答案为：A.
【思路点拨】页码总和=n×（n+1）÷2（n为页数），奇数+偶数=奇数，剩余页码之和≤页码总和-撕掉四张页码之和。

二、判断正误(共5题；每题2分，共10分)

6．（2分）（2022·开平）100以内的任意两个质数的和都是偶数。（　　）

【答案】（1）错误

【规范解答】解：100以内的任意两个质数的和不一定都是偶数。
故答案为：错误。
【思路点拨】质数中除了2是偶数，剩下的都是奇数；
奇数+偶数=奇数；奇数+奇数=偶数。

7．（2分）（2022六下·龙陵期末）一个数的倍数比它的因数大。（　　）

【答案】（1）错误

【规范解答】解：一个数的倍数不一定比它的因数大。
故答案为：错误。

【思路点拨】一个数最小的倍数是它本身，最大的因数也是它本身。

8．（2分）（2022六下·拜泉期末）在两位数中，同时是3和5的倍数的最大偶数是90。（　　）

【答案】（1）正确

【规范解答】解：在两位数中，同时是3和5的倍数的最大偶数是90，原题干说法正确。
故答案为：正确。
【思路点拨】个位上是0或5，并且各个数位上的数的和是3的倍数，这个数同时是3和5的倍数。

9．（2分）（2022六下·成武期中）一个非0自然数的最大因数和最小倍数都是它本身。（　　）

【答案】（1）正确

【规范解答】解：一个非0自然数的最大因数和最小倍数都是它本身。说法正确。
故答案为：正确。

【思路点拨】一个数的最小因数是1，最大因数是它本身；一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数；1是所有非0自然数的因数。

10．（2分）3.6÷0.4=9，可以说0.4是3.6的因数。

【答案】（1）错误

【规范解答】解：3.6÷0.4=9，不可以说0.4是3.6的因数。
故答案为：错误。
【思路点拨】因数和倍数关系的问题只存在于整数中，不能用去小数。

三、仔细想，认真填(共7题；每空1分，共12分)

11．（2分）（2022·阳朔）从9，0，5，3这四个数中任选三个数组成一个三位数，使它同时被2，3，5整除，这个数最小是 　     　，最大是 　     　。

【答案】390；930

【规范解答】解：这个数最小是390，最大是930。
故答案为：390；930。
【思路点拨】个位上是0，并且各个数位上的数的和是3的倍数，这个数同时是2、3和5的倍数。

12．（2分）（2022·木兰）甲数＝2×3×5，乙数＝2×3×3，甲数和乙数的最大公约数是　     　．最小公倍数是　     　。

【答案】6；90

【规范解答】解：甲数和乙数的最大公约数是2×3=6，最小公倍数是2×3×3×5=90。
故答案为：6；90。

【思路点拨】两个数的最大公约数就是把这两个数公有的质因数乘起来即可；
两个数的最小公倍数就是把两个数公有的和各自有的质因数乘起来即可。

13．（2分）（2022·荔湾）如果A÷B＝C（A、B、C均为自然数，且A、B≠0），那么A和B的最大公因数是　     　，最小公倍数是　     　。

【答案】B；A

【规范解答】解：A和B的最大公因数是B，最小公倍数是A。
故答案为：B；A。
【思路点拨】已知一个数是另一个数的整数倍，那么这两个数的最大公因数是较小的那个数，最小公倍数是较大的那个数。

14．（1分）（2022·殷都）有一张长方形纸，长60cm，宽50cm．如果要剪成若干同样大小的正方形而没有剩余，剪出的正方形的边长最大　     　cm。

【答案】10

【规范解答】解：

60和50的最大公因数是2×5=10，则剪出的正方形的边长最大是10厘米。
故答案为：10。
【思路点拨】剪出的正方形的边长最大是60和50的最大公因数，用短除法求出。

15．（2分）（2022·罗源）3路车每隔8分钟发一次车，9路车每隔20分钟发一次车，早上6时，3路车和9路车第1次同时发车，这两路车第2次同时发车是在　     　时　     　分。

【答案】6；40

【规范解答】解：8和20的最小公倍数是40，所以第2次同时发车是在6时40分。
故答案为：6；40。

【思路点拨】第二次发车间隔的时间是8和20的最小公倍数，由此确定8和20的最小公倍数，再确定第二次同时发车的时间。

16．（1分）（2022六上·雨花台期中）书架上放着一些书，书的本数在200～250本之间，其中是科技书，是连环画，书架上最多放着　     　本书。

【答案】225

【规范解答】解：5×9×5
=45×5
=225（本）
故答案为：225。
【思路点拨】书架上最多放书的本数=5和9的最小公倍数数×5。

17．（2分）（2022六上·达川期中）六一儿童节，一批小朋友决定分乘若干辆至多可乘32人的大巴前去东辰，如果打算每辆车座22个人，就会有1个人没有座位；如果少开一辆车，那么这批小朋友刚好平均分乘余下的大巴。那么有　     　个人，原有　     　辆大巴。

【答案】529；24

【规范解答】解：22＋1=23（人）
23＋1=24（辆）
24×22＋1
=528＋1
=529（人）。
故答案为：529；24。

【思路点拨】22＋1=23（人），因为23是质数，所以把这23人，只能平均分到23个车里，则原来车的辆数是23＋1=24（辆），小朋友的人数=平均每辆车乘坐的人数×车的辆数＋1人。

四、解答问题(共12题；共68分)

18．（5分）（2022·罗湖）学校为做好防疫准备，买进了一批口罩，其中儿童口罩2850个，比成人口罩的4倍多250个，学校买了多少个成人口罩？

【答案】解：（2850-250）÷4

＝2600÷4

＝650（个）

答：学校买了650个成人口罩。

【思路点拨】学校买成人口罩的个数=（儿童口罩的个数-多出的个数）÷儿童口罩是成人口罩的倍数，据此代入数值作答即可。

19．（5分）（2022·惠州）2022年北京冬奥会，中国体育代表团一共有387人，中国体育代表团的总人数比运动员人数的2倍多33人，中国参赛的运动员共有多少人？

【答案】解：（387﹣33）÷2

＝354÷2

＝177（人）

答：中国参赛的运动员共有177人。

【思路点拨】中国参赛的运动员共有的人数=（中国体育代表团一共有的人数-多出的人数）÷中国体育代表团的总人数是运动员人数的倍数，据此代入数值作答即可。

20．（5分）（2022六下·上思月考）每个大瓶比每个小瓶多装油3千克。每个大瓶和每个小瓶各装油多少千克？

【答案】解：3×4=12（千克）
47-12=35（千克）
4+3=7（个）
35÷7=5（千克）
5+3=8（千克）
答：每个大瓶装油8千克，每个小瓶装油5千克。

【思路点拨】一共有4个大瓶，假设全部看成小瓶，就多出了4×每个大瓶比每个小瓶多装油的质量，那么全部看成小瓶后，一共装油的质量=一共装油的质量-全部看成小瓶多出的质量，所以每个小瓶装油的质量=全部看成小瓶后一共装油的质量÷一共有瓶的个数，每个大瓶装油的质量=每个小瓶装油的质量+每个大瓶比每个小瓶多装油的质量。

21．（5分）有9，7，2，1，0五个数字，用其中的四个数字组成能同时被2，3，5整除的最小的四位数是多少？

【答案】解：能同时被2，5整除，说明这个数末尾数字是0；
求最小的四位数，这个数千位上的数字是1；
这个数百位上的数字最小是2；
因为要求能被3整除，十位上的数字是只能是9；
答：这个最小的四位数是1290。

【思路点拨】同时是2，3，5的倍数的数的特征是这个数个位上的数字是0，所有数位上的数字之和是3的倍数。

22．（6分）开心幼儿园买了42个橘子，162块饼干，122块糖，平均分给大班的小朋友，结果橘子剩余2个，饼干剩余2块，糖剩余2块，大班的小朋友最多有多少人？

【答案】解：42-2=40（个）
162-2=160（块）
122-2=120（块）

40、160、120的最大公因数是：2×2×2×5
=4×2×5
=8×5
=40
答：大班的小朋友最多有40人。

【思路点拨】大班小朋友最多的人数=橘子、饼干、糖的数量分别-2，然后用短除法求出它们的最大公因数。

23．（6分）（2020·遵义）用长20 cm、宽8 cm的瓷砖贴一块正方形墙面，如果这块正方形墙面刚好由完整的这样的瓷砖贴成，这块正方形墙面边长最小是多少厘米？需要几块这样的瓷砖才能贴成？  

【答案】解：20=2×2×5，8=2×2×2，20和8的最小公倍数是：2×2×2×5=40，
（40×40）÷（20×8）
=1600÷160
=10（块）
答：这块正方形墙面边长最小是40厘米，需要10块这样的瓷砖才能贴成。

【思路点拨】要使这块正方形墙面的边长最小，边长最小是20厘米和8厘米的最小公倍数。用正方形墙面的面积除以长方形瓷砖的面积即可求出需要的块数。

24．（6分）（2019六下·竞赛）有甲、乙、丙3人，甲每分钟行走120米，乙每分钟行走100米，丙每分钟行走70米.如果3个人同时同向，从同地出发，沿周长是300米的圆形跑道行走，那么多少分钟之后，3人又可以相聚在跑道上同一处?  

【答案】解：由题意知道：甲走完一周需要时间为300÷120= （分）；乙走完一周需要时间为300÷100=3（分）丙走完一周需要时间为300÷700= ，那么三个人想再次相聚在跑道同一处需要时间为：

【思路点拨】由题意可知，3人又可以相聚在跑道上同一处，也就是说在这个时间三个人同时相遇，那么经过的时间就是三个人各自走完一周组要的时间的最小公倍数。

25．（6分）某快递公司为客户托运200箱玻璃，按合同规定每箱运费30元，若损坏一箱不给运费并赔偿200元，运到后结算时共得运费4160元。求损坏了多少箱玻璃?

【答案】解：(200×30-4160)÷(200+30)=8(箱)

【思路点拨】如果成功托运200箱收取200×30=6000元，6000-4160=1840元表示没有托运成功的损失，每箱损失30+200=230元。损坏玻璃的箱数：1840÷230=8箱。因为每箱都按30元收费，所以这里前提假设了每箱都托运成功。再去掉托运损坏费用每箱为200+30而不是200。

26．（6分）甲乙两数的积是90168，已知乙数比甲数少187，问甲数是多少，乙数是多少？ 

【答案】解：90168=2×2×2×3×13×17×17=221×408， 

221+187=408

所以甲数是408，乙数是221

【思路点拨】把90168分解质因数为2×2×2×3×13×17×17，再把这些因数分成两个相差187的数相乘，找出221与408即可．本题考查了分解因数，关键是把90168分解质因数为2×2×2×3×13×17×17． 

27．（6分）（2022六上·竞赛）两个四位数相加，第一个四位数每个数码都小于5，第二个四位数仅仅是第一个四位数的四个数码调换了位置，两个数的和可能是7356吗？为什么？

【答案】解：不能。7＋3＋5＋6=21，7356的数码和是奇数，所以两个数的和不可能是7356。

【思路点拨】因为四位数每个数码都小于5，所以两个四位数相加不会产生进位，如果这两个四位数的数码和等于7356的数码和，并且第二个四位数仅仅是第一个四位数的四个数码调换了位置，所以两个四位数的数码和为偶数，而7536的数码和是奇数，所以不能。

28．（6分）（2022六上·竞赛）在8个房间中，有7个房间开着灯，1个房间关着灯。如果每次拨动4个不同房间的开关，能不能把全部房间的灯都关上？为什么？

【答案】解：奇数个奇数＋一个偶数=奇数，而4是偶数，所以不能把全部房间的灯关上。

【思路点拨】按要求每次拨动4个不同房间的开关，而4是偶数，所以，这样的一次操作，拨动房间开关次数是偶数。那么经过有限次拨动后，拨动各房间开关次数总和是偶数。可是，要使7个房间的灯由开变为关，需要拨动各个房间开关奇数次；第8个房间的开关仍为关，需要这个房间拨动开关偶数次。这样，需要拨动开关的总次数是奇数个奇数与一个偶数的和，是奇数。所以按照要求不能把全部房间的灯关上。

29．（6分）（2022六上·竞赛）甲同学一手握有写着23的纸片，另一只手握有写着32的纸片。乙同学请甲回答如下一个问题：“请将左手中的数乘以3，右手中的数乘以2，再将这两个积相加，这个和是奇数还是偶数？”当甲说出和为奇数时，乙马上就猜出写有23的纸片握在甲的左手中。你能说出是什么道理吗？

【答案】解：写有23的纸片握在甲的左手中。

【思路点拨】甲的两张纸片，23是奇数，32是偶数。因此，只要能判断出甲的左手中握的是奇数，即可知左手的是23。设甲左手握的数为a，右手握的数为b，乙同学请甲计算所得结果为c ，则3×a＋2×b=c。① 若c为奇数，则3×a为奇数，所以左手握的数a是奇数；②若c为偶数，则3×a为偶数，所以左手握的数a是偶数。因此，从c的奇偶性就可以断定左手握的数a的奇偶性，从而确定左手握的数是23还是32。在本题中， c为奇数，因此合于第①种情况，a是奇数，即左手中握的是23。