高考数学一轮复习策略

1、揣摩例题。

课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。

2、精练习题

复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。

3、加强审题的规范性

每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。

4、重视错题

“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。

专题9.3   椭圆

1.（浙江高考真题）椭圆的离心率是（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】，选B．

2.（2019·北京高考真题）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则(      )

A．a2=2b2 B．3a2=4b2 C．a=2b D．3a=4b

【答案】B

【解析】

椭圆的离心率,化简得,

故选B.

3．（上海高考真题）设是椭圆上的点．若是椭圆的两个焦点，则等于( )

A.4 B.5 C.8 D.10

【答案】D

【解析】

因为椭圆的方程为，所以，由椭圆的的定义知，

故选D．

4．（2020·四川资阳�高三其他（理））已知椭圆：经过点，且的离心率为，则的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

依题意，可得，解得，故的方程是.

故选：A

5.（2020·河北枣强中学高三月考（文））已知椭圆C的方程为，焦距为，直线与椭圆C相交于A，B两点，若，则椭圆C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

设直线与椭圆在第一象限内的交点为，则

由，可知，即，解得，

所以

把点代入椭圆方程得到，

整理得，即，

因，所以可得

故选A项.

6．（2021·全国高三专题练习）已知，分别是椭圆的上、下焦点，在椭圆上是否存在点P，使，，成等差数列？若存在求出和的值；若不存在，请说明理由．

【答案】不存在；理由见解析．

【分析】

假设存在点P满足题设，解方程组得和的值，再检验即得解.

【详解】

解：假设存在点P满足题设，则由及题设条件有

，即，

解得，或．

由，得，．

则，．

∵，，

∴不存在满足题设要求的点P．

7．（2021·全国高三专题练习）设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点（，2，…），使，，，…组成公差为d的等差数列，求a的取值范围．

【答案】

【分析】

分情况讨论等差数列是递增，还是递减，分别列出不等式求解范围.

【详解】

解：注意到椭圆的对称性及最多只能两两相等，可知题中的等差数列可能是递增的，也可能是递减的，但不可能为常数列，即．先考虑一般情形，由等差数列的通项公式有

，（），因此．

对于椭圆（），其焦半径的最大值是，最小值是（其中）．

当等差数列递增时，有，．

从而．

再由题设知，且，故，因此．

同理，当等差数列递减时，可解得，

故所求d的取值范围为．

8．（2021·全国高三专题练习）已知定点，点为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动时，求的最大值；

【答案】

【分析】

由椭圆定义，转化，即得解

【详解】

如图所示，设是左焦点，则，

，

而．

∴,当点F1在线段AM上时，等号成立，

即的最大值为．

9．（2021·云南师大附中高三月考（理））椭圆C: 的离心率是，且点A(2，1)在椭圆C上，O是坐标原点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线l过原点，且l⊥OA，若l与椭圆C交于B， D两点，求弦BD的长度.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）利用离心率和点在椭圆上可求出椭圆的标准方程；（2）先利用直线垂直的判定得到直线的斜率和方程，联立直线和椭圆的方程，消元得到关于的一元二次方程，进而求出交点坐标，再利用两点间的距离公式进行求解.

【详解】

（1）由，

得：，

又点在椭圆上，

所以，

得，，

所以椭圆的方程是．

（2）直线的方程是，

因为，且过点，

所以直线的方程是，

与椭圆联立，得：，

即，

所以，

则．

10．（2021·南昌大学附属中学高二月考）已知是椭圆两个焦点，且.

（1）求此椭圆的方程；

（2）设点在椭圆上，且，求的面积.

【答案】（1）此椭圆的方程为；（2）的面积为.

【分析】

（1）由已知条件求出椭圆中即可得到椭圆方程；（2）结合椭圆的定义以及余弦定理的知识求出的值，运用三角形面积公式即可求解.

【详解】

（1）因为是椭圆两个焦点，

所以，①

又因为，②

所以由①②可得，

所以此椭圆的方程为.

（2）设，

由椭圆定义可知，③

在中，由余弦定理得，即，④

由③④式可得，，

所以.

即的面积为.

1．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点，使得过点所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

若长轴端点，由椭圆性质：过的两条切线互相垂直可得，结合求椭圆离心率的范围.

【详解】

在椭圆的长轴端点处向圆引两条切线，，

若椭圆上存在点，使过的两条切线互相垂直，则只需，即，

∴，得，

∴，又，

∴，即．

故选：C

2．（2020·湖北黄州�黄冈中学高三其他（文））已知椭圆：（）的左焦点为，经过原点的直线与交于，两点，总有，则椭圆离心率的取值范围为______.

【答案】

【解析】

如图，设椭圆右焦点为，由对称性知是平行四边形，，

∵，∴，

设，，由椭圆定义知，则，当且仅当时等号成立，

在中，由余弦定理得，

又，，∴，解得．

故答案为：．

3.（2019·浙江高三月考）已知、分别为椭圆的左、右焦点，点关于直线对称的点Q在椭圆上，则椭圆的离心率为______；若过且斜率为的直线与椭圆相交于AB两点，且，则___.

【答案】       

【解析】

由于点关于直线对称的点Q在椭圆上，由于的倾斜角为,画出图像如下图所示，由于是坐标原点，根据对称性和中位线的知识可知为等腰直角三角形，且为短轴的端点，故离心率.不妨设，则椭圆方程化为，设直线的方程为，代入椭圆方程并化简得.设，则①，②.由于，故③.解由①②③组成的方程组得，即.

故填：（1）；（2）.

4．（2019·浙江温州中学高三月考）已知点在圆上，点在椭圆上，且的最大值等于，则椭圆的离心率的最大值等于__________，当椭圆的离心率取到最大值时，记椭圆的右焦点为，则的最大值等于__________．

【答案】       

【解析】

化简为，圆心.

的最大值为5等价于的最大值为4

设，即，又

化简得到

当时，验证等号成立

对称轴为满足故

故离心率最大值为

当时，离心率有最大值，此时椭圆方程为，设左焦点为

当共线时取等号.

故答案为和

5．（2020·浙江高三月考）已知是椭圆（）和双曲线（）的一个交点，是椭圆和双曲线的公共焦点，分别为椭圆和双曲线的离心率，若，则的最小值为________．

【答案】.

【解析】

根据椭圆与双曲线的对称性，不妨设点在第一象限，那么，

因为椭圆与双曲线有公共焦点，设椭圆与双曲线的半焦距为，

根据椭圆与双曲线的定义，有：

，，

解得，，

在中，由余弦定理，可得：

，

即，

整理得，

所以，

又，

所以.

故答案为

6．（2020·浙江高三其他）已知当动点P到定点F（焦点）和到定直线的距离之比为离心率时，该直线便是椭圆的准线.过椭圆上任意一点P，做椭圆的右准线的垂线PH（H为垂足），并延长PH到Q，使得HQ=λPH(λ≥1).当点P在椭圆上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围是___.

【答案】

【解析】

由题可知：椭圆的右准线方程为

设，所以点

由，所以

，

又，所以

所以

由，所以

则点的轨迹方程为

设点Q的轨迹的离心率

则

由，所以

所以，则，又

所以

故答案为：

7．（2021·全国高三专题练习）设椭圆的中心在坐标原点.长轴在z轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是，求椭圆方程，并求椭圆上到点O的距离为的点的坐标.

【答案】;，.

【分析】

设以P点为圆心的圆与椭圆相切，结合判别式等于零，参数值可确定，符合条件的两个点的坐标也可求得.

【详解】

∵，∴，∴.

∵，∴，，

∴设椭圆方程为①

又∵到椭圆上的最远距离为，

则可构造圆. ②

此圆必与椭圆相切，如图所示，由①②整理得.

∵椭圆与圆相切，

∴，③  ∴，则.

则所求椭圆方程为. ④

把代入方程③可得，把代入④得.

∴椭圆上到点P的距离等于的点的坐标为，.

8．（2021·全国高三专题练习）椭圆的焦点为、，点P为其上动点，当为钝角时，求点P横坐标的取值范围.

【答案】

【分析】

当为直角时，作以原点为圆心，为半径的圆，若该圆与已知椭圆相交，则圆内的椭圆弧所对应的x的取值范围即为所求点P横坐标的取值范围.

【详解】

的焦点为、，

如图所示：

以原点为圆心，为半径作圆与椭圆相交于A、B、C、D四点，

此时、、、都为直角，

所以当角的顶点P在圆内部的椭圆弧上时，为钝角，

由，解得.

因为椭圆和圆都关于坐标轴对称，

所以点P横坐标的取值范围是.

9．（2021·全国）（1）已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，求的最大值；

（2）已知，是椭圆的左焦点，点是椭圆上的动点，求的最大值和最小值．

【答案】（1）100；（2）的最大值为，最小值为．

【分析】

（1）利用椭圆定义和基本不等式求的最值；（2）求的最值时，利用椭圆的定义将其转化为求的最值，显然当，，三点共线时取得最值．

【详解】

（1）∵，，当且仅当时取等号，

∴，当且仅当时取等号，

∴的最大值为100．

（2）设为椭圆的右焦点，可化为，

由已知，得，∴，

∴．

①当时，有，等号成立时，最大，此时点是射线与椭圆的交点，的最大值是．

②当时，有，等号成立时，最小，此时点是射线与椭圆的交点，的最小值是．

综上，可知的最大值为，最小值为．

10．（2021·贵州高三月考（文））已知椭圆C：的离心率为，直线l经过椭圆C的右焦点F与上顶点，原点O到直线l的距离为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）斜率不为0的直线n过点F，与椭圆C交于M，N两点，若椭圆C上一点P满足，求直线n的斜率.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）由已知条件可得再结合，可求出，从而可求得椭圆方程，

（2）设直线n的方程为，设点，将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，利用根与系数的关系，结合表示出点的坐标，再将其坐标代入椭圆方程中可求得直线n的斜率

【详解】

（1）由题意可得椭圆C的右焦点与上顶点，

所以直线为，即，

因为椭圆C的离心率为，原点O到直线的距离为，

所以且，解得，，

所以椭圆C的方程为. 

（2）因为直线n的斜率不为0，所以可设直线n的方程为. 

设点，联立方程得

，

则. 

因为，所以，

将点P的坐标代入椭圆方程得，

即，

解得，  

故直线n的斜率为.

1．（2021·全国高考真题（理））设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

设，由，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．

【详解】

设，由，因为 ，，所以

，

因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ；

当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立．

故选：C．

2.（2018·全国高考真题（理））已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,

由斜率为得，，

由正弦定理得,

所以，故选D.

3.（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为（    ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．

所求椭圆方程为，故选B．

法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B．

4.（2019·全国高考真题（文））设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为___________.

【答案】

【解析】

由已知可得，

．∴．

设点的坐标为，则，

又，解得，

，解得（舍去），

的坐标为．

5．（2021·江苏高考真题）已知椭圆的离心率为.

（1）证明：；

（2）若点在椭圆的内部，过点的直线交椭圆于、两点，为线段的中点，且.

①求直线的方程；

②求椭圆的标准方程.

【答案】（1）证明见解析；（2）①；②.

【分析】

（1）由可证得结论成立；

（2）①设点、，利用点差法可求得直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；

②将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由可得出，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，可求出的值，即可得出椭圆的方程.

【详解】

（1），，因此，；

（2）①由（1）知，椭圆的方程为，即，

当在椭圆的内部时，，可得.

设点、，则，所以，，

由已知可得，两式作差得，

所以，

所以，直线方程为，即.

所以，直线的方程为；

②联立，消去可得.

，

由韦达定理可得，，

又，而，，

，

解得合乎题意，故，

因此，椭圆的方程为.

6. （2020·天津高考真题）已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），或．

【解析】

（Ⅰ）椭圆的一个顶点为，

，

由，得，

又由，得，

所以，椭圆的方程为；

（Ⅱ）直线与以为圆心的圆相切于点，所以，

根据题意可知，直线和直线的斜率均存在，

设直线的斜率为，则直线的方程为，即，

，消去，可得，解得或.

将代入，得，

所以，点的坐标为，

因为为线段的中点，点的坐标为，

所以点的坐标为，

由，得点的坐标为，

所以，直线的斜率为，

又因为，所以，

整理得，解得或.

所以，直线的方程为或.