中考数学一轮复习精品讲义 圆

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 圆
本章小结
小结1 本章概述
本章的主要内容有圆的概念及性质，垂直于弦的直径的性质，弧、弦、圆心角之间的关系及性质，圆周角的概念及性质，点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，正多边形和圆的关系，弧长和扇形的面积，圆锥的侧面积和全面积．
我们在学习直线型图形的有关性质和证明的基础上来探索一种特殊的曲线型图形——圆，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，而且有无数条对称轴，绕圆心旋转任意角度都和它本身重合，学习本章的基础是以前所学过的结论，同时，本章作为几何知识的总结，运用的知识具有综合性．在中考中所涉及的命题大都和圆的基本性质、与圆有关的位置关系、圆中的计算有关．在本章中，主要概念有圆、圆心角、圆周角、弧、弦、相交、相切、相离，正多边形的半径、中心、边心距等，主要公式有弧长公式、扇形面积公式，圆锥侧面积公式等，主要定理有垂径定理，切线的性质定理和判定定理，切线长定理等．
小结2 本章学习重难点
【本章重点】 掌握垂直于弦的直径的性质；掌握圆的切线的判定定理与性质定理的应用，能利用垂直关系进行有关的证明和计算；掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，并会利用图形加以区别；会利用弧长、扇形面积、圆锥侧面积公式进行有关的计算；掌握圆心角、弧、弦之间的关系及圆周角定理，并能运用它们进行有关的计算．
【本章难点】 垂径定理，弧、弦、圆心角的关系定理，圆周角定理；直线和圆相切的性质定理、判定定理的证明及应用，切线长定理的应用；圆与圆的五种位置关系的判断；圆锥的侧面积与母线长和底面半径之间的关系等都是本章的难点．间接证明题目的方法——反证法也是本章的难点．在圆中添加“辅助线”既是本章的重点，也是本章的难点．
小结3 学法指导
1．在本章的学习中，注意通过观察、探索、合作、实践、交流、归纳等数学活动，进行主动的、富有个性的学习，尤其是对于一些结论的得出，更应去探索、总结，通过合情的推理，主动地获取新知，注意“由特殊到一般”“数形结合”“化归”等数学思想方法的运用．
2．学习本章应注意以下几点：
(1)在实际问题中认识圆的有关概念：圆心、半径、直径、弦、弧(优弧、劣弧)、圆心角、圆周角．
(2)通过对实际生活的观察和亲自体验，掌握圆的对称性，并能利用圆的对称性探索圆的一些基本性质，在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系，同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系，垂直于弦的直径平分弦及弦所对的弧等．
(3)通过对点、直线和圆与圆的相对运动的探索、实验、推理、计算等归纳出点与圆、直线与圆、圆与圆之间的位置关系，掌握通过点与圆心的距离、直线与圆心的距离、圆心与圆心之间的距离同圆的半径的大小比较，来判定它们之间的位置关系的方法.
(4)在对直线与圆相对运动的探索过程中掌握切线的概念，并能利用实验探索切线与过切点的半径之间的关系，同时能判断一条直线是否为圆的切线．
(5)在动手操作与观察实验的同时，探索出正多边形与圆的关系、扇形面积及弧长的计算公式，并掌握圆柱及圆锥的侧面积与全面积公式．
(6)在学习本章的过程中，要及时准确地画出示意图形，以帮助解题，化抽象为直观．
知识网络结构图
圆的概念：在同一平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一端点所形成的图形，叫做圆
（1）圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆又是中心对称图形
（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
推论：平分（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
圆的性质 （3）同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其他各组量也相等
（4）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径
点在圆外
点在圆上
（1）点和圆的位置关系 点在圆内
及相关性质 不在同一直线上的三点确定一个圆
相交
相切
相离
切线的判定定理：经过半径外端，并且垂直于半径的直线是圆的切线
（2）直线和圆的位置关系 切线的性质定理：圆的切线垂直于过
及相关性质和定理 切点的半径
圆 切线长定理：从圆外一点引圆的两条
点、直线和圆 切线，它们的切线长相等，这一点和
的位置关系 圆心的连线平分两条切线的夹角
及相关性质 外离
和定理 相离
内含
（3）圆与圆的位置关系 外切
相切
内切
相交
（1）正多边形的顶点都在圆上，圆叫做正多边形的外接圆，正多边形
叫做圆的内接正多边形
正多边形与圆 （2）圆和正多边形的各边都相切，圆叫做正多边形的内切圆，正多边
形叫做圆的外切正多边形
（1）弧长公式：
有关圆的计算 （2）扇形面积公式：
（3）圆锥的侧面积公式：
专题总结及应用
一、知识性专题
专题1 圆的认识及圆的对称性
【专题解读】 对于圆的基本元素、圆的对称性及根据对称性探索出的弧、弦、圆
心角之间的关系、垂直于弦的直径等知识，单独考查时多以填空题、选择题形式出现，在综合题及应用题中常作为被考查的一个方面出现．
例1 “圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图24—191所示，为的直径，弦于，寸，寸，则直径的长为( )
A．12.5寸 B．13寸
C．25寸 D．26寸
分析 因为直径垂直于弦，所以可通过连接 (或)求出半径．根据“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”，可知寸，在
中，即，解得＝13，进而求得＝26寸．故选D．
【解题策略】 在解答有关圆的问题时，常需运用图中条件寻求线段之间、角之间、弧之间的关系，从中探索出诸如等腰三角形、直角三角形等信息，从而达到解决问题目的目的.
专题2 有关圆周角计算
【专题解读】 在有关圆周角的题目中，单独考查时多以选择题、填空题形式出现，在解答时，应从圆周角与其所对的弧、圆心角、弦等方面考虑．
例2 如图24—192所示，△内接于，点是延长线上一点，若，则等于 ( )
A． B．
C． D．
分析 本题可求出的度数，所对的弧是优弧，则该弧所对的圆心角度数为，所以＝＝120，因此＝180一120＝60．故选且B.
例3 如图24—193所示，的内接四边形中，
，则图中和相等的角有 .
分析 由弦，可知，因为同弧或等弧所
对的圆周角相等，所以．故填．
专题3与圆有关的位置关系
【专题解读】 在各地中考试题中，单独考查点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的题目一般以选择题、填空题形式出现，在解答题、探究题中作为主要查目标也常出现，这部分分内容不仅考查基础知识的形式出现，而且还以考查综合运用能力的形式出现.
例4 已知圆的直径为13 cm，圆心到直线的距离为6 cm，那么直线和这个圆的公共点有
个.
分析 直线与圆的位置关系包括：相离、相切、相交．判定方法有两种：一是看它们的公共点的个数；二是比较圆心到直线的距离与圆的半径．实际上这两种方法是等价的，由题意可知圆的半径为6.5 cm，而圆心到直线的距离为6 cm，6 cm