2020-2021学年河南省郑州外国语中学八年级（下）期中数学试卷(1)

这是一份2020-2021学年河南省郑州外国语中学八年级（下）期中数学试卷(1)，共26页。

A．B．C．D．
2．（3分）已知x＞y，则下列不等式不成立的是（ ）
A．x﹣2＞y﹣2B．2x＞2y
C．﹣3x＜﹣3yD．﹣3x+2＞﹣3y+2
3．（3分）下列选项中a，b的取值，可以说明“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题的反例为（ ）
A．a＝﹣5 b＝﹣6B．a＝6 b＝5C．a＝﹣6 b＝5D．a＝6 b＝﹣5
4．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．2x2﹣2＝2（x2﹣1）B．﹣x2﹣y2＝﹣（x+y）（x﹣y）
C．x2﹣2xy+4y2＝（x﹣2y）2D．﹣x2﹣2xy﹣y2＝﹣（x+y）2
5．（3分）下列用数轴表示不等式组的解集正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠ADE的大小为（ ）
A．60°B．50°C．45°D．40°
7．（3分）如图，已知△ABC，AB＝5，∠ABC＝60°，D为BC边上的点，AD＝AC，BD＝2，则DC＝（ ）
A．0.5B．1C．1.5D．2
8．（3分）如图，函数y＝kx﹣2b的图象经过点（3，0），则关于x的不等式k（x﹣1）＞2b的解集是（ ）
A．x＞3B．x＜3C．x＞4D．x＜4
9．（3分）若多项式5x2+17x﹣12可因式分解为（x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，则a﹣c的值是（ ）
A．1B．7C．11D．13
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D是边BC上一点（点D不与点B，点C重合），将AC绕点A顺时针旋转至AC1，AC1交BC于点H，且AD平分∠CAC1，若DC1∥AB，则点B到线段AD的距离为（ ）
A．2B．C．4D．3
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）如图，△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，连接AE，若AC＝2cm，BC＝5cm，则△AEC的周长是 cm．
12．（3分）平面直角坐标系中，将点A（3，﹣2）向右平移2个单位长度，那么平移后对应的点A'的坐标是 ．
13．（3分）关于x的不等式组的解集在数轴上如图表示，则a的值为 ．
14．（3分）若a2+a﹣1＝0，则a4+a3﹣2a2﹣a+2021的值为 ．
15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝16，点P是AC边上的一个动点，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ，则在点P运动过程中，线段CQ的最小值为 ．
三.解答飓（共55分）
16．（5分）求当x为何值时，代数式的值不小于代数式4x+1的值？在数轴上表示其解集，并求出满足条件的最大整数x的值．
17．（7分）如图，三角形A′B′C′是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A′，点B与点B'，点C与点C′分别对应，且这六个点都在格点上，请解答下列问题：
（1）分别写出点B和点B'的坐标，并说明三角形A′B′C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到的．
（2）连接BC'，直接写出∠CBC′与∠B′C′O之间的数量关系；
（3）若点M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为点N（2a﹣7，4﹣b）．求a和b的值．
18．（8分）直线y1＝﹣x+3和直线y2＝kx﹣2分别交y轴于点A，B，两直线交于点C（2，m）．
（1）求m，k的值；
（2）求△ABC的面积；
（3）根据图象直接写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围．
19．（8分）对于二次三项式a2+6a+9，可以用公式法将它分解成（a+3）2的形式，但对于二次三项式a2+6a+8，就不能直接应用完全平方式了，我们可以在二次三项式中先加上一项9，使其成为完全平方式，再减去9这项，使整个式子的值保持不变，于是有：
a2+6a+8＝a2+6a+9﹣9+8＝（a+3）2﹣1＝[（a+3）+1][（a+3）﹣1]＝（a+4）（a+2）
请仿照上面的做法，将下列各式因式分解：
（1）x2﹣6x﹣16；
（2）x2+2ax﹣3a2．
20．（8分）求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半．根据条件和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”．
已知：在△ABC中，∠A为锐角，AB＝AC， ．
求证： ．
证明： ．
21．（8分）某班对期中考试进步的同学进行表彰，若购买百乐笔15支，晨光笔20支，需花费250元；若购买百乐笔10支，晨光笔25支，需花费225元．
（1）求百乐笔、晨光笔的单价；
（2）如果再次购买百乐笔、晨光笔共35支，并且购买两种笔的总费用不超过300元，求至多购买多少支百乐笔？
22．（11分）综合与实践﹣﹣探究特殊三角形中的相关问题
问题情境：
某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置，且Rt△ABC的较短直角边AB为2，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．
（1）初步探究：
勤思小组的同学提出：当旋转角α＝ 时，△AMC是等腰三角形；
（2）深入探究：
敏学小组的同学提出在旋转过程中．如果连接AP，CE，那么AP所在的直线是线段CE的垂直平分线，请帮他们证明；
（3）再探究：
在旋转过程中，当旋转角α＝30°时，求△ABC与△AFE重叠的面积；
（4）拓展延伸：
在旋转过程中，△CPN是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角α的度数；若不能，说明理由．
2020-2021学年河南省郑州外国语中学八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）已知x＞y，则下列不等式不成立的是（ ）
A．x﹣2＞y﹣2B．2x＞2y
C．﹣3x＜﹣3yD．﹣3x+2＞﹣3y+2
【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可．
【解答】解：∵x＞y，
∴x﹣2＞y﹣2，
∴选项A不符合题意；
∵x＞y，
∴2x＞2y，
∴选项B不符合题意；
∵x＞y，
∴﹣3x＜﹣3y，
∴﹣3x+6＜﹣3y+6，
∴选项C不符合题意；
∵﹣3x＜﹣3y，
∴﹣3x﹣2＜﹣3y﹣2，
∴选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
3．（3分）下列选项中a，b的取值，可以说明“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题的反例为（ ）
A．a＝﹣5 b＝﹣6B．a＝6 b＝5C．a＝﹣6 b＝5D．a＝6 b＝﹣5
【分析】根据有理数的大小比较法则、绝对值的性质判断即可．
【解答】解：当a＝﹣5，b＝﹣6时，a＞b，但|a|＜|b|，
∴“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题，
故选：A．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
4．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．2x2﹣2＝2（x2﹣1）B．﹣x2﹣y2＝﹣（x+y）（x﹣y）
C．x2﹣2xy+4y2＝（x﹣2y）2D．﹣x2﹣2xy﹣y2＝﹣（x+y）2
【分析】直接利用提取公因式以及公式法分解因式得出答案．
【解答】解：A、2x2﹣2＝2（x2﹣1）＝2（x+1）（x﹣1），故此选项错误；
B、﹣x2﹣y2＝﹣（x2+y2），无法分解因式，故此选项错误；
C、x2﹣2xy+4y2，无法直接利用公式法分解因式，故此选项错误；
D、﹣x2﹣2xy﹣y2＝﹣（x+y）2，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
5．（3分）下列用数轴表示不等式组的解集正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】选项A根据“同大取大”判断即可；
选项B根据“同小取小”判断即可；
选项C根据“大小小大中间找”，包含实心圆点2，不包含空心圆点1；
选项D根据“大小小大中间找”，包含实心圆点1，不包含空心圆点2．
【解答】解：A、不等式组的解集为x≥2，故本选项不合题意；
B、不等式组的解集为x＜1，故本选项不合题意；
C、不等式组的解集为1＜x≤2，故本选项符合题意；
D、不等式组的解集为1≤x＜2，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠ADE的大小为（ ）
A．60°B．50°C．45°D．40°
【分析】根据旋转的性质可得出AB＝AD、∠BAD＝100°，再根据等腰三角形的性质可求出∠B的度数，进而可得∠ADE的大小．
【解答】解：如图，点D在线段BC的延长线上，
根据旋转的性质可知：
AB＝AD，∠BAD＝100°，
∴∠B＝∠ADB＝×（180°﹣100°）＝40°．
∴∠ADE＝∠B＝40°．
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质是解题的关键．
7．（3分）如图，已知△ABC，AB＝5，∠ABC＝60°，D为BC边上的点，AD＝AC，BD＝2，则DC＝（ ）
A．0.5B．1C．1.5D．2
【分析】过点A作AE⊥BC，得到E是CD的中点，在Rt△ABE中，AB＝5，∠ABC＝60°，求出BE＝，进而求出DE＝﹣2＝，即可求CD．
【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵AD＝AC，
∴E是CD的中点，
在Rt△ABE中，AB＝5，∠ABC＝60°，
∴BE＝，
∵BD＝2，
∴DE＝﹣2＝，
∴CD＝1，
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形与直角三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
8．（3分）如图，函数y＝kx﹣2b的图象经过点（3，0），则关于x的不等式k（x﹣1）＞2b的解集是（ ）
A．x＞3B．x＜3C．x＞4D．x＜4
【分析】观察函数图象得到即可．
【解答】解：由图象可得：当x＜3时，kx﹣2b＞0，
所以关于x的不等式kx﹣2b＞0的解集是x＜3，
所以关于x的不等式k（x﹣1）＞2b的解集为x﹣1＜3，
即：x＜4，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
9．（3分）若多项式5x2+17x﹣12可因式分解为（x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，则a﹣c的值是（ ）
A．1B．7C．11D．13
【分析】根据“十字相乘法”将多项式5x2+17x﹣12进行因式分解后，确定a、b、c的值即可．
【解答】解：因为5x2+17x﹣12＝（x+4）（5x﹣3）＝（x+a）（bx+c），
所以a＝4，b＝5，c＝﹣3，
所以a﹣c＝4﹣（﹣3）＝7，
故选：B．
【点评】本题考查十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法是正确分解因式的前提，确定a、b、c的值是得出正确答案的关键．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D是边BC上一点（点D不与点B，点C重合），将AC绕点A顺时针旋转至AC1，AC1交BC于点H，且AD平分∠CAC1，若DC1∥AB，则点B到线段AD的距离为（ ）
A．2B．C．4D．3
【分析】过点B作BF⊥AD于F，过点A作AE⊥BC于E，由等腰三角形的性质可得CE＝BE＝8，∠C＝∠ABC，由勾股定理可求AE的长，由“SAS”可证△ACD≌△AC1D，可得∠C＝∠C1，可求AB＝DB＝10，由面积法可求解．
【解答】解：如图，过点B作BF⊥AD于F，过点A作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC＝10，BC＝16，AE⊥BC，
∴CE＝BE＝8，∠C＝∠ABC，
∴AE＝＝＝6，
∵将AC绕点A顺时针旋转至AC1，
∴AC＝AC1，
∵AD平分∠CAC1，
∴∠CAD＝∠C1AD，
在△ACD和△AC1D中，
，
∴△ACD≌△AC1D（SAS），
∴∠C＝∠C1，
∵DC1∥AB，
∴∠C1＝∠HAB，
∵∠ADB＝∠C+∠CAD，∠DAB＝∠DAC1+∠HAB，
∴∠DAB＝∠ADB，
∴AB＝DB＝10，
∴DE＝BD﹣BE＝2，
∴AD＝＝＝2，
∵S△ABD＝×BD×AE＝×AD×BF，
∴10×6＝2×BF，
∴BF＝3，
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，求出AD的长是本题的关键．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）如图，△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，连接AE，若AC＝2cm，BC＝5cm，则△AEC的周长是 7 cm．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴△AEC的周长＝AC+EC+EA＝AC+EC+EB＝AC+BC＝7（cm），
故答案为：7．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
12．（3分）平面直角坐标系中，将点A（3，﹣2）向右平移2个单位长度，那么平移后对应的点A'的坐标是 （5，﹣2） ．
【分析】根据平移时，点的坐标变化规律“左减右加”进行计算即可．
【解答】解：根据题意，从点A平移到点A′，点A′的纵坐标不变，横坐标是3+2＝5，
故点A′的坐标是（5，﹣2）．
故答案为：（5，﹣2）．
【点评】此题考查了点的坐标变化和平移之间的联系，平移时点的坐标变化规律是“上加下减，左减右加”．
13．（3分）关于x的不等式组的解集在数轴上如图表示，则a的值为 3 ．
【分析】根据数轴解第二个方程，利用已知不等式组的解集得出关于a的等式，进而得出答案．
【解答】解：，
解②得x＜，
由数轴可知＝3，
解得a＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确得出关于a的等式是解题关键．
14．（3分）若a2+a﹣1＝0，则a4+a3﹣2a2﹣a+2021的值为 2020 ．
【分析】根据a2+a﹣1＝0，得到a2+a＝1，然后整体代入求值即可．
【解答】解：∵a2+a﹣1＝0，
∴a2+a＝1，
∴原式＝a2（a2+a）﹣2a2﹣a+2021
＝a2﹣2a2﹣a+2021
＝﹣a2﹣a+2021
＝﹣（a2+1）+2021
＝﹣1+2021
＝2020．
故答案为：2020．
【点评】本题考查了提公因式法，把a2+a＝1整体代入求值是解题的关键．
15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝16，点P是AC边上的一个动点，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ，则在点P运动过程中，线段CQ的最小值为 4 ．
【分析】将Rt△ABC绕点B顺时针旋转60°得到Rt△EBD，则此时E，C，B三点在同一直线上，得出Q的运动轨迹为线段ED，当CQ⊥ED时，CQ的长度最小，由直角三角形的性质及三角形中位线定理可得出答案．
【解答】解：将Rt△ABC绕点B顺时针旋转60°得到Rt△EBD，
则此时E，C，B三点在同一直线上，
∵∠ABC＝60°，∠PBQ＝60°，
∴∠ABP＝∠EBQ，
随着P点运动，总有AB＝EB，PB＝QB，
∴总有△APB≌△EQB（SAS），即E，Q，D三点在同一直线上，
∴Q的运动轨迹为线段ED，
∴当CQ⊥ED时，CQ的长度最小，
Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝16，
∴BC＝BD＝8，EC＝8，即C为EB的中点，
∵CQ⊥ED，∠D＝90°，
∴CQ∥BD，CQ为△EBD的中位线，
∴CQ＝BD＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
三.解答飓（共55分）
16．（5分）求当x为何值时，代数式的值不小于代数式4x+1的值？在数轴上表示其解集，并求出满足条件的最大整数x的值．
【分析】根据题意列出关于x的不等式，再根据解不等式的基本步骤求解可得．
【解答】解：根据题意，得：≥4x+1，
去分母，得：4x﹣11≥20x+5，
移项、合并，得：﹣16x≥16，
系数化为1，得：x≤﹣1，
将解集表示在数轴上如下：
．
则满足条件的最大整数为﹣1．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
17．（7分）如图，三角形A′B′C′是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A′，点B与点B'，点C与点C′分别对应，且这六个点都在格点上，请解答下列问题：
（1）分别写出点B和点B'的坐标，并说明三角形A′B′C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到的．
（2）连接BC'，直接写出∠CBC′与∠B′C′O之间的数量关系；
（3）若点M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为点N（2a﹣7，4﹣b）．求a和b的值．
【分析】（1）根据图形，可以直接写出点B和点B'的坐标，然后即可写出三角形A′B′C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到的；
（2）根据图形，通过变换，可以得到∠CBC′与∠B′C′O之间的数量关系；
（3）根据（1）中的结果和题目中的条件，可以得到a和b的二元一次方程组，从而可以求得a、b的值．
【解答】解：（1）由图可得，
点B的坐标为（2，1），点B'的坐标是（﹣1，﹣2），
三角形A′B′C'是由三角形ABC先向下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度得到的；
（2）∠CBC′＝90°+∠B′C′O，
理由：由图可知，
∠CBC′+∠CBD＝180°，∠B′C′O＝∠BCD，
∵∠CBD＝90°﹣∠BCD，
∴∠CBD＝90°﹣∠B′C′O，
∴∠CBC′+（90°﹣∠B′C′O）＝180°，
∴∠CBC′＝90°+∠B′C′O；
（3）由（1）知，三角形A′B′C'是由三角形ABC先向下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度得到的，
∵点M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为点N（2a﹣7，4﹣b），
∴，
解得，
即a和b的值分别为3，4．
【点评】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18．（8分）直线y1＝﹣x+3和直线y2＝kx﹣2分别交y轴于点A，B，两直线交于点C（2，m）．
（1）求m，k的值；
（2）求△ABC的面积；
（3）根据图象直接写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围．
【分析】（1）先把C（2，m）代入y1＝﹣x+3可求出m的值，从而确定C点坐标，然后把C点坐标代入y2＝kx﹣2即可求出k的值；
（2）先确定A点和B点坐标，然后根据三角形面积公式求解；
（3）观察函数图象得到当x＜2时，直线y1＝﹣x+3都在直线y2＝kx﹣2的上方．
【解答】解：（1）把C（2，m）代入y1＝﹣x+3得m＝﹣2+3＝1，
所以C点坐标为（2，1），
把C（2，1）代入y2＝kx﹣2得2k﹣2＝1，解得k＝．
综上所述，m＝1，k＝．
（2）当x＝0时，y＝﹣0+3＝3，则A（0，3）；
当x＝0时，y2＝×0﹣2＝﹣2，则B（0，﹣2），
所以△ABC的面积＝×（3+2）×2＝5；
（3）如图所示，当x＜2时，y1＞y2．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，即k值相同．
19．（8分）对于二次三项式a2+6a+9，可以用公式法将它分解成（a+3）2的形式，但对于二次三项式a2+6a+8，就不能直接应用完全平方式了，我们可以在二次三项式中先加上一项9，使其成为完全平方式，再减去9这项，使整个式子的值保持不变，于是有：
a2+6a+8＝a2+6a+9﹣9+8＝（a+3）2﹣1＝[（a+3）+1][（a+3）﹣1]＝（a+4）（a+2）
请仿照上面的做法，将下列各式因式分解：
（1）x2﹣6x﹣16；
（2）x2+2ax﹣3a2．
【分析】根据完全平方公式的结构特征是两数的平方和加上或减去它们乘积的2倍，因此对一些不完全符合完全平方公式的代数式，可在保证代数式不变的情况下通过加项或减项的方法配成完全平方公式，据此解答即可．
【解答】解：（1）x2﹣6x﹣16
＝x2﹣6x+9﹣9﹣16
＝（x﹣3）2﹣25
＝（x﹣3+5）（x﹣3﹣5）
＝（x+2）（x﹣8）；
（2）x2+2ax﹣3a2
＝x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2
＝（x+a）2﹣（2a）2
＝（x+a+2a）（x+a﹣2a）
＝（x+3a）（x﹣a）．
【点评】本题考查了公式法因式分解，熟记完全平方公式和平方差公式，并能灵活运用是解题的关键．因此要牢记完全平方公式和平方差公式的结构特征．
20．（8分）求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半．根据条件和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”．
已知：在△ABC中，∠A为锐角，AB＝AC， CD⊥AB于D ．
求证： ∠BCD＝∠A ．
证明： 过点A作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC，
∴∠BAE＝∠CE＝∠BAC，
∵AE⊥BC，
∴∠BAE+∠B＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠BCD＝∠BAE＝∠BAC ．
【分析】根据题意写出已知和求证；根据等腰三角形三线合一的性质得到∠BAE＝∠CAE＝∠BAC，根据同角的余角相等即可证得∠BCD＝∠BAE＝∠BAC．
【解答】已知：在△ABC中，∠A为锐角，AB＝AC，CD⊥AB于D，
求证：∠BCD＝∠A，
证明：过点A作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC，
∵AE⊥BC，
∴∠BAE+∠B＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠BCD＝∠BAE＝∠BAC．
故答案为：CD⊥AB于D，
∠BCD＝∠A，
过点A作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC，
∴∠BAE＝∠CE＝∠BAC，
∵AE⊥BC，
∴∠BAE+∠B＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠BCD＝∠BAE＝∠BAC．
【点评】本题考查的是命题的证明，掌握等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余是解题的关键．
21．（8分）某班对期中考试进步的同学进行表彰，若购买百乐笔15支，晨光笔20支，需花费250元；若购买百乐笔10支，晨光笔25支，需花费225元．
（1）求百乐笔、晨光笔的单价；
（2）如果再次购买百乐笔、晨光笔共35支，并且购买两种笔的总费用不超过300元，求至多购买多少支百乐笔？
【分析】（1）设百乐笔的单价为x元，晨光笔的单价为y元，由购买百乐笔15支，晨光笔20支，需花费250元；若购买百乐笔10支，晨光笔25支，需花费225元，列出方程组计算即可求解；
（2）设需要购买a支百乐笔，由总费用不超过300元，列出不等式计算即可求解．
【解答】解：（1）设百乐笔的单价为x元，晨光笔的单价为y元，
由题意可得：，
解得：．
答：百乐笔的单价为10元，晨光笔的单价为5元；
（2）设需要购买a支百乐笔，
由题意可得：10a+5（35﹣a）≤300，
解得：a≤25．
答：至多需要购买25支百乐笔．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，分别得出等量关系和不等关系是解题关键．
22．（11分）综合与实践﹣﹣探究特殊三角形中的相关问题
问题情境：
某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置，且Rt△ABC的较短直角边AB为2，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．
（1）初步探究：
勤思小组的同学提出：当旋转角α＝ 60°或15° 时，△AMC是等腰三角形；
（2）深入探究：
敏学小组的同学提出在旋转过程中．如果连接AP，CE，那么AP所在的直线是线段CE的垂直平分线，请帮他们证明；
（3）再探究：
在旋转过程中，当旋转角α＝30°时，求△ABC与△AFE重叠的面积；
（4）拓展延伸：
在旋转过程中，△CPN是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角α的度数；若不能，说明理由．
【分析】（1）根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）由题意可知，AB＝AF，∠B＝∠F，∠E＝∠C，AE＝AC，根据折叠的性质得到∠BAM＝∠FAN，根据全等三角形的性质得到AM＝AN，PE＝PC，由线段垂直平分线的性质即可得到结论；
（3）根据已知条件得到△ABM是直角三角形，求得EM＝，根据全等三角形的性质和三角形的面积公式即可得到结论；
（4）当∠CNP＝90°时，依据对顶角相等可求得∠ANF＝90°，然后依据∠F＝60°可求得∠FAN的度数，由旋转的定义可求得∠α的度数；当∠CPN＝90°时．由∠C＝30°，∠CPN＝90°，可求得∠CNP的度数，然后依据对顶角相等可得到∠ANF的度数，然后由∠F＝60°，依据三角形的内角和定理可求得∠FAN的度数，于是可得到∠α的度数．
【解答】解：（1）当AM＝CM，即∠CAM＝∠C＝30°时，△AMC是等腰三角形；
∵∠BAC＝90°，
∴α＝90°﹣30°＝60°，
当AM＝CM，即∠CAM＝∠CMA时，△AMC是等腰三角形，
∵∠C＝30°，
∴∠CAM＝∠AMC＝75°，
∵∠BAC＝90°，
∴α＝15°，
综上所述，当旋转角α＝60°或15°时，△AMC是等腰三角形，
故答案为：60°或15°；
（2）由题意可知，AB＝AF，∠B＝∠F，∠E＝∠C，AE＝AC，
∵现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），
∴∠BAM＝∠FAN，
在△ABM与△AFN中，
，
∴△ABM≌△AFN（ASA），
∴AM＝AN，
∵AE＝AC，
∴EM＝CN，
∵∠E＝∠C，∠MPE＝∠NPC，
∴△MPE≌△NPC（AAS），
∴PE＝PC，
∴点P在CE的垂直平分线上，
∵AE＝AC，
∴点A在CE的垂直平分线上，
∴AP所在的直线是线段CE的垂直平分线；
（3）∵α＝30°，∠B＝60°，
∴∠AMB＝90°，
∴△ABM是直角三角形，
∵AB＝2，
∴BM＝AB•sin30°＝1，AM＝AB•cs30°＝，
∴S△ABM＝AM•MB＝1×＝，
∵AE＝AC＝AB•tan60°＝2，AM＝，
∴EM＝，
∵∠BAE＝α＝∠E＝30°，∠EMP＝90°，
∴△AMB≌△EPM（ASA），
由（2）可知△ABM≌△AFN，
∴S△AFN＝S△EFM＝S△ABM＝，
∵S△AEF＝AF•AE＝×2×2＝2，
∴△ABC与△AFE重叠的面积＝S△AEF﹣S△AFN﹣S△EPM＝2﹣2×＝；
（4）如答题图1所示：当∠CNP＝90°时．
∵∠CNP＝90°，
∴∠ANF＝90°．
又∵∠AFN＝60°，
∴∠FAN＝180°﹣60°﹣90°＝30°．
∴∠α＝30°．
如答题图2所示：当∠CPN＝90°时．
∵∠C＝30°，∠CPN＝90°，
∴∠CNP＝60°．
∴∠ANF＝60°．
又∵∠F＝60°，
∴∠FAN＝60°．
∴∠α＝60°．
综上所述，∠α＝30°或60°．
【点评】本题主要考查的是几何变换的综合应用，解答本题主要应用了旋转的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
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