考点23 多边形与平行四边形（精练）

 23多边形与平行四边形


一．选择题
1．（2022春•肥东县期末）下列长度的四条线段，能作为四边形四边的是（　　）
A．1，1，1，3 B．2，2，2，3 C．1，3，2，6 D．2，2，2，7
2．（2022春•宽城区期末）一个正方形水池的四周恰好被4个完全相同的正n边形地砖铺满，其部分示意图如图所示，则n的值为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
3．（2022秋•昭阳区校级月考）过凸十边形的一个顶点发出的对角线有（　　）
A．10条 B．9条 C．8条 D．7条
4．（2022秋•大兴区期中）若从n边形的一个顶点出发，可以画出4条对角线，则n的值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2022春•南关区校级期中）从正多边形一个顶点出发共有7条对角线，则这个正多边形每个外角的度数为（　　）
A．36° B．40° C．45° D．60°
6．（2021秋•历城区期末）过六边形的某一个顶点能画的对角线条数是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
7．（2022•七星关区二模）若一个正多边形的每个内角都是120°，则这个正多边形是（　　）
A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形
8．（2022•五华区三模）一个正多边形的一个内角为90°，则这个正多边形的边数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．（2022•南充）如图，在正五边形ABCDE中，以AB为边向内作正△ABF，则下列结论错误的是（　　）

A．AE＝AF B．∠EAF＝∠CBF C．∠F＝∠EAF D．∠C＝∠E
10．（2022•高邮市模拟）已知正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是（　　）
A．九 B．八 C．七 D．六
11．（2022春•萍乡期末）如图，六边形ABCDEF的每个内角相等，若∠1＝58°，则∠2的度数为（　　）

A．58° B．59° C．60° D．61°
12．（2022春•二道区期末）下列正多边形中和正三角形组合，不能铺满地面的是（　　）
A．正方形 B．正八边形 C．正十二边形 D．正六边形
13．（2022春•南关区校级期中）选择两种正多边形铺设地面，若其中一种是正十二边形，那么另一种是（　　）
A．正六边形 B．正五边形 C．正四边形 D．正三角形
14．（2022春•东坡区期末）用下列某种正多边形瓷砖铺设地面，不能密铺的是（　　）
A．正九边形 B．正六边形 C．正四边形 D．正三角形
15．（2022春•蜀山区期末）用边长相等的两种正多边形地砖铺设地面，要求图形间既无缝隙又不重叠（平面镶嵌），下面选项中的两种正多边形不可以用来平面镶嵌的是（　　）
A．正三角形、正四边形 B．正三角形、正六边形
C．正四边形、正六边形 D．正四边形、正八边形
16．（2022春•淇滨区期末）小飞家房屋装修时，选中了一种漂亮的正八边形地砖，后来发现，只用一种正八边形地砖是不能铺满地面的，但可以与另外一种形状的地砖混合使用，要使地面铺满，小飞选择的另一种地砖的形状应是（　　）
A．正方形 B．正六边形 C．正十边形 D．正十二边形
17．（2022•南京模拟）在▱ABCD中，∠A﹣∠B＝40°，则∠A的度数是（　　）
A．110° B．70° C．70°或110° D．140°
18．（2022春•富平县期末）如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD的中点O作EF⊥BD，且EF＝4，分别交AB、CD于F、E，点K为DE的中点，连接OK，若∠ODK＝30°，则OK的长为（　　）

A．3 B．52 C．2 D．32
19．（2022春•平桂区 期末）如图在▱ABCD中，已知AC＝5cm，若△ACD的周长为16cm，则▱ABCD的周长为（　　）

A．22cm B．23cm C．24cm D．25cm
20．（2022春•丹江口市期末）▱ABCD中，∠A+∠C＝140°，则∠B的度数为（　　）
A．110° B．70° C．50° D．40°
21．（2022春•滨江区期末）已知四边形ABCD，有以下四个条件：①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD．从这四个条件中选两个，下列不能确定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
22．（2022春•金牛区期末）如图，在下列给出的条件中，可以判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（　　）

A．AD＝BC，∠B＝∠D B．AD∥BC，AB＝CD
C．AB＝CD，AD＝BC D．AB∥CD，∠A＝∠B
23．（2022春•茌平区期末）下列选项中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB∥CD，AD＝BC B．AB∥CD，AB＝CD
C．AB＝AD，AB＝CD D．∠A＝∠C，∠B+∠D＝180°
24．（2022春•阜新县期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC与BD交于点O，AF⊥BD于点F．CE⊥BD于点E．连接AE，CF．若DE＝BF，则下列结论：
①CF＝AE；
②OE＝OF；
③四边形ABCD是平行四边形；
④图中共有四对全等三角形．
其中正确结论有（　　）

A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④
25．（2022春•武威期末）在四边形ABCD中，AD∥BC，分别添加下列条件：①AB∥CD；②AB＝CD；③AD＝BC；④∠B＝∠D；⑤∠A＝∠C，其中能使四边形ABCD成为平行四边形的条件有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．9个
二．填空题
26．（2022春•临沭县期末）由于四边形具有不稳定性，如图，将边长为2正方形ABCD向下挤压变形后得到菱形A′B′CD．若∠ADA′＝30°，则菱形A′B′CD的面积为 　 　．

27．（2022秋•香洲区校级月考）把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的边数可能是 　 　．
28．（2022春•莱州市期末）从九边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将九边形分成n个三角形．则m+n的值为 　 　．
29．（2022秋•东莞市校级月考）从一个多边形的某个顶点出发，可以作4条对角线，该多边形的边数是 　 　．
30．（2022•永嘉县模拟）如图，若∠1+∠2+∠3+∠4＝278°，则∠5+∠6+∠7+∠8＝　 　．

31．（2022春•苏州月考）如图，在四边形ABCD中，∠A+∠B＝210°，作∠ADC、∠BCD的平分线交于点O1，再作∠O1DC、∠O1CD的平分线交于点O2，则∠O2的度数为 　 　．

32．（2022春•洋县期末）如果一个多边形的每一个内角都是144°，那么这个多边形是 　 　边形．
33．（2022秋•海淀区校级期中）如图图1所示用地砖铺地，要求砖与砖严丝合缝，不留空隙，把地面全部覆盖．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题．任意剪出一些形状、大小相同的三角形纸板（如图2），它们能镶嵌成平面图案，依据是 　 　．


34．（2022秋•东城区期中）当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就能拼成一个既不留空隙，又不相互重叠的平面图形，我们称之为镶嵌．用一种或几种正多边形镶嵌平面有多种方案，如：6个正三角形，记作（3，3，3，3，3，3）；3个正三角形和两个正方形，记作（3，3，3，4，4）；请你写出一种同时使用正三角形和正六边形的镶嵌方案 　 　．
35．（2022春•郏县期末）我们知道，正五边形不能进行平面镶嵌．如图，将三个全等的正五边形拼接在一起，则∠1度数是 　 　．

36．（2022春•中山市期末）如图，平行四边形ABCD的周长为20cm，AB＝4cm，BE平分∠ABC，则DE＝　 　cm．

37．（2022春•嵊州市期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，AC＝10，则平行四边形ABCD的面积为 　 　．

38．（2022春•温州期中）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝25，AC=5，点D在AB上，AD＝1，现将一个足够大的三角板的直角顶点与点D重合，并绕着点D转动，三角板的两直角边分别与AC、BC交于点E、F，连结EF，以ED、EF为邻边作平行四边形DEFG，在转动过程中，当线段EF的长度最小时，平行四边形DEFG的面积为 　 　．

39．（2021秋•肇源县期末）在四边形ABCD中，若AB∥CD，BC　 　AD，则四边形ABCD为平行四边形．
40．（2022春•镇江月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，BC＝12cm，点E为BC上一点，EC＝7，点P从A出发以1cm/s的速度向D运动，点Q从C出发以2cm/s的速度向B运动，两点同时出发，当点P运动到点D时，点Q也随之停止运动．当运动时间为t秒时，以A、P、Q、E四个点为顶点的四边形为平行四边形，则t的值是 　 　．

41．（2022春•绥棱县期末）四边形ABCD中，如果AB＝DC，当AB　 　DC时，四边形ABCD是平行四边形．
42．（2022春•太原期末）如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE并延长至F．使EF＝DE，连接CF．若∠B＝45°，则∠F的度数为 　 　．

43．（2022春•泰和县期末）如图，在▱ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以4cm/s的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动）．设运动t（s）（其中t＞0）时，以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形，则t的所有可能取值为 　 　．

三．解答题
44．（2021秋•南关区校级期末）勾股定理是数学史上非常重要的一个定理．早在2000多年以前，人们就开始对它进行研究，至今已有几百种证明方法．在欧几里得编的《原本》中证明勾股定理的方法如下，请同学们仔细阅读并解答相关问题：
如图，分别以Rt△ABC的三边为边长，向外作正方形ABDE、BCFG、ACHI．
（1）连接BI、CE，求证：△ABI≌△AEC；
（2）过点B作AC的垂线，交AC于点M，交IH于点N．请利用（1）的结论，直接写出图中与正方形ABDE的面积相等的四边形，它是四边形 　 　．
（3）应用：若MN＝4，NH＝3，正方形ABDE的边长是 　 　．

45．（2021秋•辛集市期末）探究归纳题：

（1）试验分析：
如图1，经过A点可以做 　 　条对角线；同样，经过B点可以做 　 　条对角线；经过C点可以做 　 　条对角线；经过D点可以做 　 　条对角线．通过以上分析和总结，图1共有 　 　条对角线
（2）拓展延伸：
运用1的分析方法，可得：
图2共有 　 　条对角线；
图3共有 　 　条对角线；
（3）探索归纳：对于n边形（n＞3），共有 　 　条对角线．（用含n的式子表示）
（4）特例验证：十边形有 　 　对角线．

46．（2022春•榆树市期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ADC＝110°．
（1）求∠ABE的度数；
（2）求证：DF∥BE．

47．（2021秋•抚州期末）【探究】（1）观察下列算式，并完成填空：
1＝12
1+3＝4＝22
1+3+5＝9＝32
1+3+5+7＝16＝42；
1+3+5．…+（2n﹣1）＝　 　.（n是正整数）
（2）如图是某市一广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正六边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖；第二层包括6块正方形和18块正三角形地板砖；以此递推．
①第3层中分别含有 　 　块正方形和 　 　块正三角形地板砖；
②第n层中分别含有　 　块正方形和　 　块正三角形地板砖（用含n的代数式表示）．
【应用】
该市打算在一个新建广场中央，采用如图样式的图案铺设地面，现有1块正六边形、150块正方形地板砖，问：铺设这样的图案，还需要多少块正三角形地板砖？请说明理由．

48．（2022春•三原县期末）如图1，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC交BC于点E，连接ED，且ED平分∠AEC．
（1）求证：AE＝BC；
（2）如图2，过点C作CF⊥DE交DE于点F，连接AF，BF，猜想△ABF的形状并证明．

49．（2022春•荣昌区期末）已知，如图，在▱ABCD中，点F是▱ABCD内一点，AB⊥BF，AB＝BF，过点F作FE⊥AD，垂足为点E．
（1）如图1，若BF＝3EF＝6，求四边形ABFE的面积；
（2）如图2，连接BE、CE，若BE＝CE，求证：AE+EF＝BC．




一．选择题
1．【解答】解：A．因为1+1+1＝3，所以不能组成四边形，故本选项不符合题意；
B．因为2+2+2＞3，所以能组成四边形，故本选项符合题意；
C．因为1+3+2＝6，所以不能组成四边形，故本选项不符合题意；
D．因为2+2+2＜7，所以不能组成四边形，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．【解答】解：正n边形的一个内角＝（360°﹣90°）÷2＝135°，则
135°n＝（n﹣2）180°，
解得n＝8．
故选：B．
3．【解答】解：由题意得10﹣3＝7，
过凸十边形的一个顶点发出的对角线有7条．
故选：D．
4．【解答】解：设多边形有n条边，
则n﹣3＝4，
解得n＝7，
故选：D．
5．【解答】解：∵经过多边形的一个顶点有7条对角线，
∴这个多边形有7+3＝10条边，
∴此正多边形的每个外角度数为360°÷10＝36°，
故选：A．
6．【解答】解：由n边形的一个顶点可以引（n﹣3）条对角线，
故过六边形的一个顶点可以画对角线的条数是3，
故选：D．
7．【解答】解：解法一：设所求正多边形边数为n，
则120°n＝（n﹣2）•180°，
解得n＝6，∴这个正多边形是正六边形．
解法二：∵正多边形的每个内角都等于120°，
∴正多边形的每个外角都等于180°﹣120°＝60°，
又∵多边形的外角和为360°，
∴这个正多边形边数＝360°÷60°＝6．
故选：A．
8．【解答】解：正多边形的一个外角度数为180°﹣90°＝90°，
由于360°÷90°＝4，
则这个正多边形的边数为4．
故选：A．
9．【解答】解：在正五边形ABCDE中内角和：180°×3＝540°，
∴∠C＝∠D＝∠E＝∠EAB＝∠ABC＝540°÷5＝108°，
∴D不符合题意；
∵以AB为边向内作正△ABF，
∴∠FAB＝∠ABF＝∠F＝60°，AF＝AB＝FB，
∵AE＝AB，
∴AE＝AF，∠EAF＝∠FBC＝48°，
∴A、B不符合题意；
∴∠F≠∠EAF，
∴C符合题意；
故选：C．
10．【解答】解：根据题意可得，
这个正多边形的边数是360°40°=9．
故选：A．
11．【解答】解：∵六边形ABCDEF的每个内角相等，
∴∠B＝∠C＝∠CDE＝120°，
∴∠CDA＝360°﹣58°﹣120°﹣120°＝62°，
∴∠2＝∠CDE﹣∠CDA＝58°，
故选：A．
12．【解答】解：A选项，正方形的每个内角等于90°，90°×2+60°×3＝360°，故该选项不符合题意；
B选项，正八边形的每个内角等于135°，与正三角形不能铺满地面，故该选项符合题意；
C选项，正十二边形的每个内角等于150°，150°×2+60°＝360°，故该选项不符合题意；
D选项，正六边形的每个内角等于120°，120°×2+60°×2＝360°，故该选项不符合题意；
故选：B．
13．【解答】解：正十二边形每个内角是150°，
A、正六边形每个内角是120°，120°与150°无论怎样也不能组成360°的角，不能密铺，不符合题意；
B、正五边形每个内角是108°，108° 与150°无论怎样也不能组成360°的角，不能密铺，不符合题意；
C、正四边形每个内角是90°，90° 与150°无论怎样也不能组成360°的角，不能密铺，不符合题意；
D、正三角形每个内角是60°，150°×2+60°＝360°，能密铺，符合题意；
故选：D．
14．【解答】解：A、正九边形的一个内角度数为180﹣360÷9＝140°，不是360°的约数，不能密铺平面，符合题意；
B、正六边形的一个内角度数为180﹣360÷6＝120°，是360°的约数，能密铺平面，不符合题意；
C、正四边形的一个内角度数为180﹣360÷4＝90°，是360°的约数，能密铺平面，不符合题意；
D、正三角形的一个内角为60°，是360°的约数，能密铺平面，不符合题意．
故选：A．
15．【解答】解：A选项，正三角形的每个内角是60°，正四边形的每个内角是90°，60°×3+90°×2＝360°，能镶嵌，故该选项不符合题意；
B选项，正三角形的每个内角是60°，正六边形的每个内角是120°，60°×2+120°×2＝360°，能镶嵌，故该选项不符合题意；
C选项，正四边形的每个内角是90°，正六边形的每个内角是120°，不能镶嵌，故该选项符合题意；
D选项，正四边形的每个内角是90°，正八边形的每个内角是135°，90°+135°×2＝360°，能镶嵌，故该选项不符合题意；
故选：C．
16．【解答】解：A、正方形、八边形内角分别为90°、135°，由于135°×2+90°＝360°，故能铺满；
B、正六边形和正八边形内角分别为120°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
C、正八边形、正十边形内角分别为135°、144°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
D、正八边形的内角为135°，正十二边形的内角为150°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满．
故选：A．
17．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A﹣∠B＝40°，
∴2∠A＝220°，
∴∠A＝110°．
故选：A．
18．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，
∴∠FBO＝∠EDO，∠BFO＝∠DEO，
∵O为BD的中点，
∴BO＝DO，
在△BOF和△DOE中，
∠BFO=∠DEO∠FBO=∠EDOBO=DO，
∴△BOF≌△DOE（AAS），
∴EO＝FO＝2，
∵EF⊥BD，∠ODK＝30°，
∴DE＝2EO＝4，
∵点K为DE的中点，
∴OK=12DE＝2，
故选：C．
19．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵△ACD的周长为16cm，AC＝5cm，
∴AD+CD＝16﹣5＝11cm，
∴▱ABCD的周长＝2（AD+CD）＝22cm．
故选：A．
20．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A+∠C＝140°，
∴∠A＝70°，
∴∠B＝110°，
故选：A．
21．【解答】解：依题意得有四种组合方式：
（1）①③，利用两组对边平行的四边形是平行四边形判定；
（2）②④，利用两组对边相等的四边形是平行四边形判定；
（3）①②或③④，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定．
故选：C．
22．【解答】解：可以判定四边形ABCD为平行四边形的条件是AB＝CD，AD＝BC，理由如下：
∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，
故选：C．
23．【解答】解：能判定四边形ABCD是平行四边形的是AB∥CD，AB＝CD，理由如下：
∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选：B．
24．【解答】解：∵DE＝BF，
∴DE﹣EF＝BF﹣EF，即DF＝BE，
在Rt△DCF和Rt△BAE中，
CD=ABDF=BE，
∴Rt△DCF≌Rt△BAE（HL），
∴CF＝AE，故①正确；
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴AE∥FC，
∵CF＝AE，
∴四边形CFAE是平行四边形，
∴OE＝OF，故②正确；
∵Rt△DCF≌Rt△BAE，
∴∠CDF＝∠ABE，
∴CD∥AB，
∵CD＝AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，故③正确；
由以上可得出：△DCF≌△BAE，△CDO≌△ABO，△CDE≌△ABF，△CFO≌△AEO，△CEO≌△AFO，△ADF≌△CBE，△DOA≌△BOC等，故④错误；
∴正确的结论有①②③，
故选：C．

25．【解答】解：①∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
②由AD∥BC，AD＝BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形；
③∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
④∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠B＝∠D，
∴∠A+∠D＝180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
⑤∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠C+∠B＝180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
其中能使四边形ABCD成为平行四边形的条件有①③④⑤，共4个，
故选：B．

二．填空题
26．【解答】解：如图，过作A'H⊥DC，
∵正方形ABCD，
∴∠ADC＝90°，A'D＝2
∵∠ADA′＝30°，
∴∠A'DC＝60°，
∴A'H=3，
∴菱形A′B′CD的面积＝23．
故答案为：23．

27．【解答】解：

故答案为：三角形，四边形，五边形．
28．【解答】解：对角线的数量m＝9﹣3＝6（条）；
分成的三角形的数量为n＝9﹣2＝7（个）；
∴m+n＝6+7＝13．
故答案为：13．
29．【解答】解：设这个多边形的边数是n．
由题意得，n﹣3＝4．
∴n＝7．
∴该多边形的边数是7．
故答案为：7．
30．【解答】解：如图，

∵∠1+∠2+∠3+∠4＝278°，
∴∠9+∠DCE＝180°+180°﹣278°＝82°，
∴∠CAB+∠ACB＝∠9+∠DCE＝82°，
∴∠NBM＝∠ABC＝180°﹣82°＝98°，
∴∠5+∠6+∠7+∠8＝（5﹣2）×180°﹣98°＝442°，
故答案为：442°．
31．【解答】解：∵四边形的内角和是360°，∠A+∠B＝210°，
∴∠ACD+∠BCD＝150°，
∵∠ADC、∠BCD的平分线交于点O1，∠O1DC、∠O1CD的平分线交于点O2，
∴∠CDO2=12∠CDO1=14∠ADC，∠DCO2=12∠DCO1=14∠BCD，
∴∠CDO2+∠DCO2=14（∠ADC+∠BCD）＝37.5°，
∴∠O2＝180°﹣37.5°＝142.5°．
故答案为：142.5°．
32．【解答】解：∵一个多边形的每个内角都是144°，
∴这个多边形的每个外角都是（180°﹣144°）＝36°，
∴这个多边形的边数＝360°÷36°＝10．
故答案为：十．
33．【解答】解：∵三角形ABC的内角和为180°，
在每个公共顶点处，每个角用2次，6个角的和是360°，
∴形状、大小相同的三角形纸板可以做平面镶嵌，
故答案为：三角形的内角和为180°．
34．【解答】解：正三角形的一个内角度数为60°，正六边形的一个内角度数为120°，那么4个正三角形，一个正六边形能组成镶嵌，记做（3，3，3，3，6），
故答案为：（3，3，3，3，6）（答案不唯一）．
35．【解答】解：∵正五边形的每个内角＝（5﹣2）•180°÷5＝108°，
∴∠1＝360°﹣108°×3＝36°，
故答案为：36°．
36．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠CBE＝∠AEB，
∵平行四边形ABCD的周长为20cm，
∴AB+AD＝10cm，
∵AB＝4cm，
∴AD＝6cm，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AB＝AE＝4cm，
∴DE＝AD﹣AE＝6﹣4＝2（cm），
故答案为：2．
37．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CE=12AC＝5，BD＝2BE，
∵∠CBD＝90°，BC＝4，
∴BE=CE2−BC2=52−42=3，
∴BD＝6，
∴平行四边形ABCD的面积为BC•BD＝4×6＝24，
故答案为：24．
38．【解答】解：如图，连接CD，
∵∠EDF＝90°，
∴EF2＝DE2+DF2，
∵∠C＝90°，
∴当且仅当DE⊥AC时，线段EF的长度最小，
∵此时，DE⊥AC，DF⊥BC，DE、DF均取得最小值，
∴线段EF的长度最小，
在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝25，AC=5，
∴S△ABC=12AC•BC=12×5×25=5，
AB=AC2+BC2=(5)2+(25)2=5，
∵AD＝1，
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣1＝4，
∴S△ACD=15S△ABC＝1，S△BCD=45S△ABC＝4，
∵12×AC×DE＝S△ACD，12×BC×DF＝S△BCD，
∴12×5DE＝1，12×25DF＝4，
∴DE=255，DF=455，
∴S▱DEFG＝DE•DF=255×455=85，
故答案为：85．

39．【解答】解：根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可知：
∵AB∥CD，BC∥AD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
故答案为：∥．
40．【解答】解：①当点Q在线段CE上，AP＝QE时，以A、P、Q、E为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝7﹣2t，解得t=73，
②当Q在线段BE上，AP＝QE时，以A、P、Q、E为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝2t﹣7，解得t＝7＞6（不合题意舍去），
综上所述，t=73时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为：73．
41．【解答】解：当AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形，
理由如下：∵AB＝DC，AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：∥．
42．【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE=12BC，DE∥BC，
又EF＝DE，
∴DF＝DE+EF＝BC，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∵∠B＝45°，
∴∠F＝45°，
故答案为：45°．
43．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝12cm，AD∥BC，
∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∴DP＝BQ，
①点Q的运动路线是C﹣B，
则12﹣4t＝12﹣t，
解得：t＝0，不符合题意；
②点Q的运动路线是C﹣B﹣C，
则4t﹣12＝12﹣t，
解得：t＝4.8；
③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，
则12﹣（4t﹣24）＝12﹣t，
解得：t＝8；
④点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，
则4t﹣36＝12﹣t，
解得：t＝9.6；
综上所述，t＝4.8s或8s或9.6s时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，
故答案为：4.8或8或9.6．
三．解答题
44．【解答】解：（1）∵四边形ABDE、四边形ACHI是正方形，
∴∠BAE＝∠CAI＝90°，AE＝AB，AC＝AI，
∴∠EAC＝∠BAI，
在△ABI和△AEC中，
AB=AE∠EAC=∠BAI，AC=AI
∴△ABI≌△AEC（SAS）；
（2）∵BM⊥AC，
∴BM∥AI，
∴四边形AMNI的面积＝△ABI的面积的2倍，
同理，正方形ABDE的面积＝△AEC的面积的2倍，
又∵△ABI≌△AEC，
∴四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等．
（3）∵正方形ACHI中，NM＝4，NH＝3，
∴IN＝HI﹣NI＝4﹣3＝1，
∴四边形AMHI的面积是AI×IN＝4，
根据（2）的结论，正方形ABDE的面积等于四边形AMNI的面积，
∴AB2＝4，
∴AB＝2．
故答案为：（2）AMNI，（3）2；
45．【解答】解：经过A点可以做 1条对角线；同样，经过B点可以做 1条；经过C点可以做 1条；经过D点可以做 1条对角线．
通过以上分析和总结，图1共有 2条对角线．
（2）拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：
图2共有 5条对角线；
图3共有 9条对角线；
（3）探索归纳：
对于n边形（n＞3），共有n(n−3)2条对角线．
（4）特例验证：
十边形有10×(10−3)2=35对角线．
故答案为：（1）1、1、1、1、2；（2）5、9；（3）n(n−3)2；（4）35．
46．【解答】（1）解：∵∠A+∠C+∠ADC+∠ABC＝360°，∠A＝∠C＝90°，∠ADC＝110°．
∴∠ABC＝70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=12∠ABC=12×70°＝35°；
（2）证明：∵∠A＝∠C＝90°，四边形ABCD的内角和为360°，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠FDC+∠EBC＝90°，
又∵∠C＝90°，
∴∠BEC+∠EBC＝90°，
∴∠FDC＝∠BEC，
∴BE∥DF．
47．【解答】解：（1）观察算式规律可得，1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2，
故答案为：n2；
（2）①∵第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖，
第二层包括6块正方形和6+12＝18块正三角形地板砖，
∴第三层包括6块正方形和18+12＝30块正三角形地板砖．
故答案为：6，30；
②∵每一层中正方形地板砖块数不变；
正三角形地板砖的块数分别为：
第一层6＝6×1＝6×（2×1﹣1）块，
第二层18＝6×3＝6×（2×2﹣1）块，
第三层30＝6×5＝6×（2×3﹣1）块，
∴第n层6（2n﹣1）块正三角形地板砖．
故答案为：6，6（2n﹣1）；
【应用】铺设这样的图案，还需要3750块正三角形地板砖．理由如下：
∵150÷6＝25（层），
∴150块正方形地板砖可以铺设这样的图案25层；
∵铺设n层需要正三角形地板砖的数量为：6[1+3+5+⋯+（2n﹣1）]＝6n2，
∴当n＝25时，6×252＝3750．
故铺设这样的图案，还需要3750块正三角形地板砖．
48．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
又∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
又∵ED平分∠AEC，
∴∠ADE＝∠CED＝45°，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AE＝AD，
∴AE＝BC；
（2）△ABF是等腰直角三角形，
证明：∵CF⊥DE，
∴∠CFE＝90°，
又∵∠CEF＝45°，
∴∠ECF＝45°，
∴∠FEC＝∠FCE＝∠AEF，
∴EF＝CF，
在△AEF和△BCF中，
AE=BC∠AEF=∠BCFEF=CF，
∴△AEF≌△BCF（SAS），
∴AF＝BF，∠AFE＝∠BFC，
∴∠AFE﹣∠BFE＝∠BFC﹣∠BFE，
即∠AFB＝∠EFC＝90°，
∴△ABF是等腰直角三角形．

49．【解答】（1）解：∵AB⊥BF，
∴∠ABF＝90°，
∵AB＝BF，
∴AF=2BF＝62，
∵BF＝3EF＝6，
∴EF＝2，
∵FE⊥AD，
∴∠AEF＝90°，
∴AE=AF2−EF2=(62)2−22=217，
∴四边形ABFE的面积＝△ABF的面积+△AEF的面积
=12AB•BF+12AE•EF
=12×6×6+12×217×2
＝18+217，
∴四边形ABFE的面积为：18+217；
（2）证明：延长EF交BC于点G，

∵AB＝BF，∠ABF＝90°，
∴∠BAF＝∠AFB＝45°，
∵∠ABF＝∠AEF＝90°，
∴A、B、F、E四点共圆，
∴∠BEF＝∠BAF＝45°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠EGC＝∠AEF＝90°，
∵BE＝EC，
∴∠BEF＝∠CEG＝45°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEC＝∠DEF﹣∠CEG＝45°，
∴∠BEF＝∠CED，
∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠D＝180°，
∵∠ABF＝∠AEF＝90°，
∴∠BAD+∠BFE＝180°，
∴∠BFE＝∠D，
∴△BFE≌△CDE（AAS），
∴EF＝DE，
∴AE+EF＝AE+DE＝AD，
∴AE+EF＝BC．