【微点·一轮考点】考向01 有理数-2023届中考数学一轮复习考点专题复习大全（全国通用）

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1、有理数的分类: ① ②
2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.
3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；
(2)相反数的和为0  a+b=0 .
4、.绝对值：
(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的几何意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；
(2) 绝对值可表示为：或 ；绝对值的问题经常分类讨论；
5、互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a≠0，那么的倒数是；若ab=1 a、b互为倒数
【题型探究】
题型一：正数和负数
1．（2022·江苏南通·中考真题）若气温零上记作，则气温零下记作（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·广西河池·中考真题）如果将“收入50元”记作“+50元”，那么“支出20元”记作( )
A．+20元B．﹣20元C．+30元D．﹣30元
3．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）下列各数是负数的是（ ）
A．B．C．D．
题型二：有理数的初步认识
4．（2022·陕西·模拟预测）下列实数中，是有理数的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·广东·东莞市光明中学三模）在，，，，，这六个数中，负数的个数有（ ）
A．个B．个C．个D．个
6．（2022·江苏·沭阳县马厂实验学校三模）下列实数中，是无理数的有（ ）
A．－4B．0.101001C．D．cs45°
题型三：相反数
7．（2022·重庆市第三十七中学校二模）的相反数为（ ）
A．B．2022C．D．
8．（2022·广东·深圳市南山外国语学校三模）已知、互为相反数，、互为倒数，则代数式的值为( )
A．B．C．D．
9．（2022·河南商丘·三模）如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面上都有一个实数，且相对面上的两个实数互为相反数，那么代数式的值等于（ ）
A．B．C．1D．4
题型四：数轴化简或者比较大小问题
10．（2022·山东济南·模拟预测）如图，A、B两点在数轴上表示的数分别是a、b，则下列式子中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·北京市三帆中学模拟预测）若实数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示，其中，则正确的结论是（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·四川攀枝花·中考真题）实数a、b在数轴．上的对应点位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
题型五：数轴中的动点问题
13．（2021·河北·二模）如图，边长为单位1的等边三角形，从数轴上的原点沿着数轴无滑动地顺时针滚动，若等边三角形滚动1周到达点，则点表示的数是（ ）
A．1B．4C．2D．3
14．（2021·四川广元·一模）在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示数，2，将点向右平移3个单位长度得到点．若，则的值为（ ）
A．B．C．或D．
15．（2021·广西百色·一模）正方形纸板在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为1和0，若正方形纸板绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，则在数轴上与2020对应的点是（ ）
A．AB．BC．CD．D
题型五：绝对值的化简问题
16．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（ ）
A．1B．2C．2aD．1﹣2a
17．（2022·宁夏·中考真题）已知实数，在数轴上的位置如图所示，则的值是（ ）
A．B．C．D．
18．（2022·河北保定·一模）实数，在数轴上对应的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
题型六：绝对值的非负性问题
19．（2022·广东梅州·一模）若，则（ ）
A．11B．1C．－1D．－11
20．（2022·云南昆明·二模）已知实数x，y，z满足，则以x，y，z的值为边长的三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法判断
21．（2022·广东·潮州市湘桥区城南中英文学校一模）已知a，b满足（a+1）2﹣（b﹣2）+|c﹣3|＝0，则a+b+c的值等于（ ）
A．2B．3C．4D．5
题型七：有理数的综合问题
22．（2022·河北·育华中学三模）如图，数轴上a、b、c三个数所对应的点分别为A、B、C，已知b是最小的正整数，且a、c满足．
(1)①直接写出数a、c的值 ， ；
②求代数式的值；
(2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，求与点B重合的点表示的数；
(3)请在数轴上确定一点D，使得AD＝2BD，则D表示的数是 ．
23．（2022·河北唐山·二模）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．回答下列问题：
(1)数轴上表示﹣3和1两点之间的距离是 ，数轴上表示x和-2的两点之间的距离是 ；
(2)数轴上表示a和1的两点之间的距离为6，则a表示的数为 ；
(3)若x表示一个有理数，则|x+2|+|x-4|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．
24．（2022·河北廊坊·二模）如图，在数轴上点，表示的数分别为－2，1，为点左侧上的一点，它表示的数为．
(1)用含的代数式表示的值．
(2)若以，，的长为边长能构成等腰三角形，请求出符合条件的的值．
【必刷基础】
一、单选题
25．（2022·江苏淮安·中考真题）有理数 的相反数是（ ）
A．2B．C．D．
26．（2022·北京市第十九中学三模）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
27．（2022·河北·顺平县腰山镇第一初级中学一模）如图，现有A、B、C三点，在数轴上分别表示﹣2、0、4，三点在数轴上同时开始运动，点A向左运动，运动速度是2/s，点B、C都是向右运动，运动速度分别是3/s、4/s，甲、乙两名同学提出不同的观点．甲：5AC﹣6AB的值不变；乙：5BC﹣10AB的值不变．则下列选项中，正确的是（ ）
A．甲正确，乙错误B．乙正确，甲错误
C．甲乙均正确D．甲乙均错误
28．（2022·贵州贵阳·三模）如图，在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且a+b＝0，若AB＝8，则点A表示的数为（ ）
A．﹣4B．0C．4D．8
29．（2022·江苏镇江·中考真题）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
30．（2022·江苏·盐城市初级中学三模）若海平面以上2000米，记作+2000米，则海平面以下2022米，记作（ ）
A．﹣2022米B．2022米C．22米D．﹣22米
31．（2022·福建省安溪第一中学九年级阶段练习）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：.
32．（2017·河北·中考真题）在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中，，如图所示．设点A，B，C所对应数的和是p．
（1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，p又是多少？
（2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且，求p．
【必刷培优】
一：选择题
33．（2022·湖南郴州·中考真题）有理数，，0，中，绝对值最大的数是（ ）
A．B．C．0D．
34．（2022·贵州黔东南·中考真题）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数2的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（ ）
A．B．或C．D．
35．（2022·四川内江·中考真题）如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（ ）
A．1﹣2a＞1﹣2bB．﹣a＜﹣bC．a+b＜0D．|a|﹣|b|＞0
36．（2022·台湾·模拟预测）已知，下列关于值的叙述何者正确？（ ）
A．小于0
B．介于0与1两数之间，两数中比较接近0
C．介于0与1两数之间，两数中比较接近1
D．大于1
37．（2022·台湾·模拟预测）如图数线上的、、、四点所表示的数分别为、、、，且为原点．根据图中各点的位置判断，下列何者的值最小？（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
38．（2022·山东济南·模拟预测）已知，则______．
39．（2022·浙江金华·一模）如图所示，数轴上表示1，的点分别为A，B，且（C在A的左侧），则点C所表示的数是________．
40．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）已知，则______．
41．（2022·江苏镇江·中考真题）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的_________倍．
42．（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室三模）已知实数a、b满足，若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为______．
43．（2021·甘肃·模拟预测）定义：数轴上给定两点A、B以及一条线段PQ，当线段AB的中点在线段PQ上时（包含点P、Q），就称点A与点B关于线段PQ径向对称，若A、P、Q三点在数轴上的位置如图所示，点A与点B关于线段PQ径向对称．则点B表示的数x的取值范围是____．
44．（2022·广西贺州·中考真题）若实数m，n满足，则__________．
45．（2022·甘肃定西·模拟预测）若的三边长a，b，c满足，则是____________．
三、解答题
46．（2023·全国·九年级）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示数﹣2，已知点A是数轴上的点，请参照图示，完成下列问题：
(1)如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点表示的数是______；
(2)如果点A表示数3，将点A向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点表示的数是______；
(3)如果点A表示数a，将点A向左移动m（m＞0）个单位长度，再向右移动n（n＞0）个单位长度，那么终点表示数是多少（用含a、m、n的式子表示）？
47．（2020·河北·育华中学一模）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数是最大的负整数，且满足．
（1）a=________，b=________，c=________．
（2）若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数________表示的点重合；
（3）点开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，则________，________．（用含的代数式表示）
（4）的值是否随着时间t的变化而改变?若变化，请说明理由；若不变，请求其值。
48．（2020·四川自贡·中考真题）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．
⑴. 发现问题：代数式的最小值是多少？
⑵. 探究问题：如图，点分别表示的是 ，．
∵的几何意义是线段与的长度之和
∴当点在线段上时，;当点点在点的左侧或点的右侧时
∴的最小值是3．
⑶.解决问题：
①.的最小值是 ；
②.利用上述思想方法解不等式：
③.当为何值时，代数式的最小值是2．
49．（2017·河北·模拟预测）小强早晨跑步，他从自己家出发，向东跑了2km到达小兵家，继续向东跑了1.5km到达小颖家，然后又向西跑了4.5km到达学校，最后又向东跑回到自己家．
（1）以小强家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1km，在图中的数轴上，分别用点A表示出小兵家，用点B表示出小颖家，用点C表示出学校的位置；
（2）求小兵家与学校之间的距离；
（3）如果小强跑步的速度是250，那么小强跑步一共用了多长时间？
参考答案：
1．A
【分析】根据气温是零上2记作＋2，则可以表示出气温是零下3，从而可以解答本题．
【详解】解：∵气温是零上2记作＋2，
∴气温是零下3记作−3．
故选：A．
【点睛】本题考查正数和负数，解题的关键是明确正数和负数在题中表示的含义．
2．B
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【详解】解：“正”和“负”相对，
所以如果+50元表示收入50元，
那么支出20元表示为﹣20元．
故选：B．
【点睛】此题考查的是正数和负数的定义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
3．D
【分析】先将各选项的数进行化简，再根据负数的定义进行作答即可
【详解】解：，是正数，故 A 选项不符合题意；
，是正数，故 B 选项不符合题意；
，是正数，故 C 选项不符合题意；
，是负数，故 D 选项符合题意．
【点睛】本题考查了负数的定义，涉及乘方，绝对值的化简，立方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
4．C
【分析】根据实数的分类逐个判断即可求解．
【详解】解：∵，，是无理数，是有理数．
故选C．
【点睛】本题考查了实数的分类，正确的区分无理数与有理数是解题的关键．
5．D
【分析】先利用相反数、绝对值和乘方的意义计算出，，，然后根据实数的分类求解．
【详解】解：，，，
所以这六个数中，负数为，，．
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的分类，有理数乘方：求个相同因数积的运算，叫做乘方．也考查了绝对值和相反数，熟知相关知识是解题的关键．
6．D
【分析】根据有理数与无理数的分类，特殊角的三角函数值等，进行逐一判断即可得．
【详解】解：A、-4为负整数，是有理数；
B、0.101001为小数，是有理数；
C、为分数，是有理数；
D、，是无理数；
故选：D．
【点睛】题目主要考查有理数与无理数的分类，特殊角的三角函数值，熟练掌握无理数的定义是解题关键．
7．B
【分析】直接根据相反数的定义解答即可．
【详解】解：的相反数为2022．
故选：B．
【点睛】本题考查的是相反数，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键．
8．B
【分析】根据a，b互为相反数，c，d互为倒数，可以得到a+b＝0，cd＝1，然后代入所求式子计算即可．
【详解】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，
∴a+b＝0，cd＝1，
∴5（a+b）﹣2cd
＝5×0﹣2×1
＝0﹣2
＝﹣2，
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数和倒数，有理数的混合运算，解答本题的关键是求出a+b、cd的值．
9．B
【分析】根据平面展开图分析出相对的面，并求出a，b，c的值，将数值代入代数式中计算出结果即可．
【详解】解：由图可知，2与b相对，故b=-2，
a与4相对，故a=-4，
c与-1相对，故c=1，
则，
故选：B．
【点睛】本题考查立体图形的平面展开图，负整数指数幂，拥有良好的空间想象力是解决本题的关键．
10．A
【分析】根据数轴可以得到a、b的正负和范围，利用不等式的性质，即可得到哪个选项是正确的．
【详解】解；由数轴可得，
，，，，
∵，，∴，故选项A正确；
∵，∴，则，故选项B错误；
∵，∴，故选项C错误；
∵，，∴，故选项D错误；
故选：A．
【点睛】本题考查数轴、绝对值，解题的关键是明确数轴的特点，不等式的性质，利用数形结合的思想解答．
11．D
【分析】先确定出原点的位置，根据，判断选项；根据有理数的加法法则判断B选项；根据绝对值的定义判断C选项；根据正数大于负数判断D选项．
【详解】解：如图，，
，互为相反数，原点在这两个点构成的线段的中点处，

A、，，互为相反数，
，
，
，
该选项说法错误，不符合题意；
B、，，
，
该选项说法错误，不符合题意；
C、，，
，
该选项说法错误，不符合题意；
D、，，
，
该选项说法正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了实数与数轴，掌握数轴上互为相反数除外的两个数表示的点在原点的两侧，且到原点的距离相等是解题的关键．
12．B
【分析】利用数轴可知a，b的大小和绝对值，然后判断即可．
【详解】解：由数轴知，，，A错误，
，即B正确，
，即C错误，
，即D错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了数轴，绝对值，实数加减法，实数的大小比较，解题的关键是综合应用以上知识解题．
13．D
【分析】由题意可知等边三角形滚动一周长度是3，然后根据点A的初始位置在原点可得答案．
【详解】解：由图可知，
∵等边三角形边长是1，
∴滚动一周长度是3，
∵初始位置时，等边三角形顶点A在原点，
∴滚动一周后顶点A表示的数是3．
故选：D．
【点睛】本题考查数轴表示数的意义，确定出点A的初始位置是解题关键．
14．C
【分析】根据CO=BO可得点C表示的数为±2，据此可得求得a的数值．
【详解】】解：∵CO=BO，B点表示2，
∴点C表示的数为±2，
∴a=-2-3=-5或a=2-3=-1，
故选：C．
【点睛】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．
15．D
【分析】先翻转一次和两次确认点B、C对应的数，再根据正方形的性质归纳类推出每个顶点对应的数的规律，从而即可得出答案．
【详解】翻转一次可得：点B对应的数为2；再翻转一次可得：点C对应的数为3
在正方形纸板连续翻转的过程中，各顶点对应的数的规律归纳类推如下：
点A对应的数分别为，n为非负整数
点B对应的数分别为，n为非负整数
点C对应的数分别为，n为非负整数
点D对应的数分别为，n为非负整数
由此可知，只有点D对应的数可以为2020，此时为非负整数，符合要求
故选：D．
【点睛】本题考查了数轴的定义的实际应用，读懂题意，归纳类推出规律是解题关键．
16．B
【分析】根据数轴得∶ 0