江苏省南通市2023届高三下学期第二次调研测试数学模拟试题及答案

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选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1. B 2. B 3. A 4. B 5. B 6. B 7. B 8. C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
9. ACD 10. ABD 11. ABC 12. BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 14. 15. 16.
四、解答题：本题共6小题，共70分.
解：证明：，D为AC中点，，
又是等边三角形，，，
，BD，平面PDB，平面PDB，
平面PAC，平面平面PDB；
是等边三角形，，的面积为，
设三棱锥的底面ABC上的高为h，则，解得，
为等腰直角三角形，，，，，
作交于O，则，，
又，是DB的中点，
以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，在平面ABC中过O作BD的垂线为y轴，
OP为z轴，建立空间直角坐标系，
，，，，
，
设是平面PAB的一个法向量，
则，取，得，
设平面PBC的一个法向量，
则，取，得，
，
故二面角的正弦值为
18. 解：，，
又，数列是首项为，公比为的等比数列，
从而，则
证明：，
设，则，
两式相减得，
从而，故
19. 解：可取0，1，2；Y可取0，1，2，
则，，，
，，，
，
故的联合分布列为：
当时，，
于是
，
因此，
设Z服从二项分布，则
20. 证明：由正弦定理，所以，
由余弦定理可得，，
所以由已知可得，即，
因为，所以；
由已知得，，
又由正弦定理可得，，
因为，所以，
由知，，则，
又由正弦定理可得，
，
又，则，
将以及代入可得，，
整理可得，，
因为，，所以，则，令，则，
，则，
当时，恒成立，所以在上单调递减.所以，即
综上所述，
解：由题意得，，，解得，，
所以椭圆E的方程为
由题意得，，显然l的斜率不为0，
设直线l的方程为，，，
联立，消x整理得，
，，，
由题意知，M，N不在x轴上，则分别作E在点M，N上的两条切线的斜率存在，
联立过M，N的切线方程，整理得
相减可得，即，
化简可得，代入，可得，故
设MN的中点为，则，，
故，
因为，，所以，所以O，Q，P三点共线，
又过作平行于l的直线分别交PM，PN于A，B，易得∽，
取AB中点R，根据三角形的性质有R，O，Q，P四点共线，
结合椭圆的对称性有，
当且仅当时取等号，所以
解：定义域为，的导函数，
当时，，故在单调递减;
当时，由得：由得
于是在单调递减，在单调递增，
综上，当时，在单调递减;
当时，在单调递减，在单调递增.
是上的几何上凸函数，证明如下：
由可知，当时，在单调递减，在单调递增.
故，故为连续正值函数，
由于，，
要证是上的几何上凸函数.
需证，即证，
，
则，
需证，
由，且
故只需证，
下面给出证明：设，则，即在上，递减，
而，，所以，
即，
综上，成立，
故，得证.