2023年福建省南平市中考数学一检试卷（含解析）

这是一份2023年福建省南平市中考数学一检试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. “翻开人教版《数学》九年级上册课本恰好翻到第56页”这个事件是( )
A. 随机事件B. 确定事件C. 不可能事件D. 必然事件
2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史.以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3. 下列函数中，是二次函数的是( )
A. y=xB. y=3xC. y=x2D. y=x−2
4. 已知x=1是关于x的一元二次方程x2+x−m=0的一个根，则m的值是( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
5. 如图，点A，B，C，D是⊙O上的点，若∠BCA=50°，则∠BDA等于( )
A. 30°
B. 40°
C. 50°
D. 60°
6. 用配方法解一元二次方程x2−4x+1=0，变形后的结果正确的是( )
A. (x+2)2=3B. (x−2)2=3C. (x+2)2=5D. (x−2)2=5
7. 对于二次函数y=(x−1)2+1的图象，下列说法正确的是( )
A. 开口向下B. 对称轴是直线x=−1
C. 顶点坐标是(1,1)D. 当x=1时，y有最大值是1
8. 我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知大小，用锯子去锯这个木材，锯口深DE=1寸，锯道AB=1尺(1尺=10寸)，则这根圆柱形木材的直径是( )
A. 12寸B. 13寸C. 24寸D. 26寸
9. 如图，在△ABC中，∠BAC=135°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E.当点A、D、E在同一条直线上时，下列结论不正确的是( )
A. △ABC≌△DECB. AE=AB+CD
C. AD=2ACD. AB⊥AE
10. 二次函数y=x2的图象上有两个不同的点A(x1,y1)，B(x2,y2)，给出下列推断：
①对任意的x1②对任意的x1+x2=0，都有y1=y2；
③存在x1，x2，满足x1+x2=0，且y1+y2=0；
④对于任意的正实数t，存在x1，x2，满足|x1−x2|=1，且|y1−y2|=t．
以上推断中正确的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 点A(3,4)关于原点的对称点的坐标为______．
12. 写出一个关于x的一元二次方程，此方程可以为 ．
13. 在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的锁率稳定在0.5附近，则袋子中红球约有 个.
14. 某科技有限公司为了鼓励员工创新，计划逐年增加研发资金投入，已知该公司2020年全年投入的研发资金为200万元，2022年全年投入的研发资金为288万元，设平均每年增长的百分率为x，可列方程为 ．
15. 如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为120°，AB长为30cm，贴纸部分BD长为20cm，则贴纸部分面积是 .(结果保留π)
16. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A在反比例函数y=12x第一象限的图象上，点B在x轴的正半轴上，若△OAB是等腰三角形，且腰OA长为5，则AB的长为多少？现给出以下四个结论：①AB=5；②AB=25；③AB=10；④AB=23，其中正确的是 .(只填正确的序号)
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
解方程：x2−2x=0
18. (本小题8.0分)
如图，△OBC的顶点坐标分别为O(0,0)，B(3,3)，C(1,3).将△OBC绕原点O逆时针旋转90°的图形得到△OB1C1．
(1)画出△OB1C1的图形．
(2)将点P(m,2)绕原点O逆时针旋转90°，求点P旋转后对应点P1的坐标.(用含m的式子表示)
19. (本小题8.0分)
某校开展经典诵读活动，章老师推荐了4种不同的名著A，B，C，D.甲，乙两位同学分别从中任意选一种阅读，假设选任意一种都是等可能的．
(1)甲同学选中名著A的概率是 ；
(2)请你利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位恰好选同一种名著的概率．
20. (本小题8.0分)
如图，一次函数y=x+b与反比例函数y=kx的图象相交于点A，B两点，点B的坐标为(−4,−2)．
(1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式；
(2)已知点C坐标为(2,0)，求△ABC的面积．
21. (本小题8.0分)
某商场销售一款商品，每件成本为50元，现在的售价为每件100元，每月可卖出50件.销售人员经调查发现：如调整价格，每降价1元，则每月可多卖出5件．
(1)求出该商品每月的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的函数关系式；(不需要求自变量取值范围)
(2)若该商品每月的销售利润为4000元，为了让顾客获得更多的实惠，应如何定价．
22. (本小题10.0分)
已知关于x的一元二次方程x2−(k−1)x+14k2+1=0．
(1)当k为何值时，方程有两个实数根；
(2)若方程两个根m，n，满足(m−1)(n−1)=11，则k的值为多少？
23. (本小题10.0分)
如图，AB为圆O的直径，在直径AB的同侧的圆上有两点C，D，AD=CD，弦CE平分∠ACB交BD于点F．
(1)已知AC=2CB,AB=6，求BC的长；(结果保留π)
(2)求证：EF=EB．
24. (本小题12.0分)
在五边形ABCDE中，四边形ABCD是矩形，△ADE是以E为直角顶点的等腰直角三角形.CE与AD交于点G，将直线EC绕点E顺时针旋转45°交AD于点F．
(1)求证：∠AEF=∠DCE；
(2)判断线段AB，AF，FC之间的数量关系，并说明理由；
(3)若FG=CG，且AB=2，求线段BC的长．
25. (本小题14.0分)
如图1，抛物线y=x2−4x与x轴相交于原点O和点A，直线y=x与抛物线在第一象限的交点为B点，抛物线的顶点为C点．

(1)求点B和点C的坐标；
(2)抛物线上是否存在点D，使得∠DOB=∠OBC？若存在，求出所有点D的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，点E是点B关于抛物线对称轴的对称点，点F是直线OB下方的抛物线上的动点，EF与直线OB交于点G.设△BFG和△BEG的面积分别为S1和S2，求S1S2的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：“翻开人教版《数学》九年级上册课本恰好翻到第56页”这个事件是随机事件，
故选：A．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2.【答案】C
【解析】解：∵在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形，
∴C选项中的图形为中心对称图形，
故选：C．
根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形判断即可．
本题主要考查中心对称图形的知识，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、y=x，是正比例函数，故本选项不符合题意；
B、y=3x，是反比例函数，故本选项不符合题意；
C、y=x2，符合定义，故本选项符合题意；
D、y=x−2，是一次函数，故本选项不符合题意；
故选C．
根据二次函数的定义求解，二次函数的一般式是y=ax2+bx+c，其中a≠0．
此题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义及一般形式是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵x=1是关于x的一元二次方程x2+x−m=0的一个根，
∴2−m=0，
∴m=2，
故选：D．
将x=1代入x2+x−m=0求解即可．
此题考查了一元二次方程的根的定义，熟记定义是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵∠BCA和∠BDA是AB所对的圆周角，且∠BCA=50°，
∴∠BDA=∠BCA=50°，
故选：C．
直接根据圆周角定理进行解答即可．
本题主要考查了圆周角定理，理解同弧所对圆周角相等是解答关键．
6.【答案】B
【解析】解：x2−4x+1=0，
x2−4x=−1，
x2−4x+4=−1+4，
(x−2)2=3，
故选：B．
利用解一元二次方程−配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握解一元二次方程−配方法是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：由y=(x−1)2+1得，开口向上，
故选项A不符合题意；
对称轴为直线x=1，
故选项B不符合题意；
顶点坐标为(1,1)，
故选项C符合题意；
当x=1时，y有最小值为1，
故选项D不符合题意，
故选：C．
直接由顶点式得到对称轴、开口方向、顶点坐标和最值．
本题考查了二次函数顶点式的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：延长DE，交⊙O于点E，连接OA，

由题意知DE过点O，且OD⊥AB，
∵OD为⊙O半径，
∴AE=BE=12AB=12尺=5寸，
设半径OA=OD=r，
∵DE=1寸，
∴OE=(r−1)寸，
在Rt△OAE中，根据勾股定理可得：
(r−1)2+52=r．
解得：r=13，
∴木材直径为26寸；
故选：D．
延长DE，交⊙O于点E，连接OA，由题意知DE过点O，且OD⊥AB，由垂径定理可得AE=BE=12AB=12尺=5寸，设半径OA=OD=r，则OE=r−1，在Rt△OAE中，根据勾股定理可得：(r−1)2+52=r2，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径．
本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧及勾股定理是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：由旋转的性质可知，△ABC≌△DEC，
故A选项不符合题意；
则∠EDC=∠BAC=135°，且A、D、E三点在同一直线上，
∴∠ADC=45°，
由旋转的性质知CA=CD，
∴∠CAD=∠ADC=45°，
则∠BAD=∠BAC−∠CAD=135°−45°=90°，
∴AB⊥AE，
故D选项不符合题意；
∴△ADC中，∠ACD=180°−45°−45°=90°，
∴AD=2AC=2CD，
故C选项不符合题意；
∵△ABC≌△DEC，
∴AB=DE，
∴AE=AD+DE=2CD+AB，
故B选项符合题意；
故选：B．
根据图形旋转的性质，以及全等图形的基本性质进行逐项分析即可．
本题考查旋转的性质，全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质等，掌握基本图形的性质是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：①∵二次函数y=x2的图象开口向上，对称轴为y轴，
∴当x>0时，y随x的增大而增大，
∴0②若x1+x2=0，则点A(x1,y1)，B(x2,y2)关于y轴对称，
∴y1=y2；故②正确；
③∵x1≠x2，
由②知：不存在x1，x2，满足x1+x2=0，且y1+y2=0；
故③错误；
④∵点A(x1,y1)，B(x2,y2)在二次函数y=x2的图象上，x1≠x2，
∴|y1−y2|=|x12−x22|=|(x1−x2)(x1+x2)|，
∵|x1−x2|=1，
假设x1>x2，则x1=1+x2，
分三种情况：
i)当x1>x2>0时，
∴|y1−y2|=|x1+x2|=|2x2+1|=t，
∵t>0，
∴2x2+1>0，
∴2x2>−1，不符合题意，舍去；
ii)当x1>0>x2时，
∴|y1−y2|=|x1+x2|=|2x2+1|=t，
∵t>0，
∴2x2+1>0，
∴2x2>−1，
∴−12iii)当0>x1>x2时，
∴|y1−y2|=|x1+x2|=|2x2+1|=t，
∵t>0，
∴2x2+1>0，x1=1+x2<0，
此种情况不存在，
∴对于任意的正实数t，存在x1，x2其中一个大于−12小于0时，满足|x1−x2|=1，且|y1−y2|=t．
故④正确．
故选：B．
①根据二次函数的增减性可知此选项错误；
②根据对称点的性质可作判断；
③由x1+x2=0，可知x1和x2互为相反数，此时y1=y2，由此作判断；
④因为点A(x1,y1)，B(x2,y2)在二次函数y=x2的图象上，所以可以化简|y1−y2|=|x1+x2|=t，根据t的取值分情况讨论可解答．
本题主要考查了二次函数图象上的坐标特征，是一道综合性比较强的题目，解决本题的关键是综合利用二次函数图象与性质．
11.【答案】(−3,−4)
【解析】解：点A(3,4)关于原点的对称点的坐标为(−3,−4)．
故答案为：(−3,−4)．
根据点A关于原点的对称点与点A的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数直接求解即可．
本题主要考查基础运算知识，熟练掌握点关于坐标轴的对称点的求法是解答此题的关键．
12.【答案】x2−1=0
【解析】解：此方程可以为x2−1=0．
故答案为：x2−1=0(答案不唯一)．
根据一元二次方程的定义，写出方程，即可求解．
本题主要考查了一元二次方程，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．
13.【答案】3
【解析】解：设袋中红球有x个，
根据题意，得：x3+x=0.5，
解得：x=3，
经检验：x=3是分式方程的解，
所以袋中红球有3个，
故答案为：3．
根据口袋中有3个白球和若干个红球，利用红球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．
此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等是解决问题的关键．
14.【答案】200×(1+x)2=288．
【解析】解：由题意得：200×(1+x)2=280，
故答案为：200×(1+x)2=288．
根据题意列方程即可．
本题考查了列一元二次方程，解题关键是根据题意列出方程．
15.【答案】800π3cm2
【解析】解：AD=30−20=10cm，
则贴纸部分的面积是：120π×302360−120π×102360=120π×800360=800π3(cm2).
故答案是：800π3cm2．
贴纸部分的面积可看作是扇形BAC的面积减去小扇形的面积．
本题考查了扇形的面积公式，求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．
16.【答案】①②③
【解析】解：由题意，分以下两种情况：
(1)当OA=AB=5时，△OAB是等腰三角形，符合题意；
(2)当OA=OB=5时，△OAB是等腰三角形，符合题意；
∴B(5,0)，
设点A的坐标为A(a,12a)(a>0)，
∵OA=5，
∴a2+(12a)2=5，
解得a2=16或a2=9，
∴a=4或a=−4<0(舍去)或a=3或a=−3<0(舍去)，
当a=4时，A(4,3)，则AB=(5−4)2+(0−3)2=10，
当a=3时，A(3,4)，则AB=(5−3)2+(0−4)2=25，
综上，AB=5或AB=25或AB=10，
故答案为：①②③．
分两种情况：(1)OA=AB和(2)OA=OB，先根据反比例函数的解析式、两点之间的距离公式可求出点A的坐标，再利用两点之间的距离公式即可得．
本题考查了反比例函数的几何应用、等腰三角形的定义、两点之间的距离公式、一元二次方程的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
17.【答案】解：x(x−2)=0
∴x=0或x−2=0
∴x1=0，x2=2．
【解析】原方程有公因式x，先提取公因式，然后再分解因式求解．
只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．
18.【答案】解：(1)如图所示，△OB1C1即为所求；

(2)由(1)可得点B(3,3)绕原点O逆时针旋转90°得到点B1(−3,3)，C(1,3)绕原点O逆时针旋转90°得到点C1(−3,1)，
∴将点P(m,2)绕原点O逆时针旋转90°后对应点P1的坐标为(−2,m)．
【解析】(1)分别作出点B(3,3)，C(1,3)绕原点O逆时针旋转90°的对应点B1(−3,3)，C1(−3,1)，顺次连接O、B1、C1即可；
(2)按照(1)中点的旋转规律，即可写出点P旋转后对应点P1的坐标．
此题考查了旋转作图和坐标系中绕原点旋转90°的坐标规律，根据题意准确作图是解题的关键．
19.【答案】14
【解析】解：(1)∵共有4种不同的名著A，B，C，D，
∴其名著A的概率是：14；
故答案为：14；
(2)根据题意画图如下：

共有16中等可能的情况数，其中恰好选中同一种名著的有4种，
则恰好选中同一种名著的概率为：416=14．
(1)直接根据概率公式求解即可；
(2)根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】解：(1)∵将(−4,−2)分别代入y=x+b与y=kx中，
得：−2=−4+b，−2=k−4，
解得：b=2，k=8，
∴一次函数和反比例函数的解析式分别为：y=x+2，y=8x；
(2)把y=0代入y=x+2得，x=−2，
∴D(−2,0)，则CD=4，
联立y=x+2y=8x，
解得：x=−4y=−2或x=2y=4，即A(2,4)，

∴S△ABC=S△ADC+S△BDC=12⋅CD⋅|yA|+12⋅CD⋅|yB|=12×4×(2+4)=12．
【解析】(1)利用待定系数法即可求得；
(2)求得直线与x轴的交点D的坐标，一次函数和反比例函数的交点A的坐标，然后根据S△ABC=S△ADC+S△BDC求得即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，熟知待定系数法是解题的关键．
21.【答案】解：(1)根据题意得：y=50+5(100−x)=−5x+550，
∴每月的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的函数关系式为y=−5x+550；
(2)根据题意得：y(x−50)=4000，
即(−5x+550)(x−50)=4000，
整理得：x2−160x+6300=0，
解得：x1=70，x2=90，
∵为了让顾客获得更多的实惠，
∴x=70，
答：销售单价应为70元．
【解析】(1)利用该商品每月的销售量=50+5×降低的价格，即可找出y与x之间的函数关系式；
(2)利用该商品每月的销售利润等于每件的销售利润乘以每月的销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要让顾客得到更多的实惠，即可．
本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，找出y与x的函数关系式；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
22.【答案】解：(1)∵Δ=[−(k−1)]2−4(14k2+1)=k2−2k+1−k2−4=−2k−3，
又∵原方程有两个实数根，
∴−2k−3≥0，
解得k≤−32，
即实数k的取值范围是k≤−32；
(2)根据根与系数的关系得到m+n=k−1，mn=14k2+1，
∵(m−1)(n−1)=11，
∴mn−(m+n)+1=11，即14k2+1−(k−1)+1=11，
整理得：k2−4k−32=0，
∴k1=−4，k2=8，
由(1)知，k≤−32，
∴k2=8应舍去，
即：k=−4．
【解析】(1)方程有两个实数根，必须满足Δ=b2−4ac≥0，由此可以得到关于k的不等式，然后解不等式即可求出实数k的取值范围；
(2)根据根与系数的关系得到m+n=k−1，mn=14k2+1，而(m−1)(n−1)=11，所以mn−(m+n)+1=11，代入，然后解关于k的方程即可．
此题考查一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)Δ<0⇔方程没有实数根．和考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
23.【答案】(1)解：∵AB为圆O的直径，
∴AD+CD+BC=180°，
∵AD=CD，AC=2CB，
∴AD=CD=BC=60°，
∴∠BOC=60°，
连接OC，
∵OB=12AB=3，
∴lBC=60π×3180=π；

(2)证明：∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵弦CE平分∠ACB交BD于点F．
∴∠ACE=∠BCE=12∠ACB=45°，
∴∠ABE=∠ACE=45°，
∵AD=CD，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠EBF=∠ABE+∠ABD，∠BFE=∠BCE+∠CBD，
∴∠BFE=∠EBF，
∴EF=EB．
【解析】(1)根据AD=CD，AC=2CB，求出AD=CD=BC=60°，连接OC，根据弧长公式计算即可；
(2)根据圆周角定理得到∠ACB=90°，利用弦CE平分∠ACB求出∠ACE=∠BCE=12∠ACB=45°，得到∠ABE=∠ACE=45°，根据AD=CD，推出∠ABD=∠CBD，进而推出∠BFE=∠EBF，即可证得结论．
此题考查了圆周角定理，弧长公式，熟记圆周角定理是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵△ADE是以E为直角顶点的等腰直角三角形，
∴AE=DE，∠AED=90°，∠ADE=∠DAE=45°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，DC=AB，
∴∠CDE=∠ADC+∠ADE=135°，
∴∠DCE+∠CED=45°，
∵将直线EC绕点E顺时针旋转45°交AD于点F，
∴∠CEF=45°，从而∠AEF+∠CED=45°，
∴∠AEF=∠DCE；
(2)解：线段AB，AF，FC之间的数量关系为：AB+AF=FC，理由如下：
将△AEF绕点E旋转90°得到△DEM，如图：

则EM=EF，DM=AF，∠EDM=∠EAF=45°，∠DEM=∠AEF，
∴∠CDE+∠EDM=180°，∠CEM=∠DEM+∠CED=∠AEF+∠CED=45°，
∴M点在直线CD上，∠CEM=∠CEF，
在△CEM和△CEF中，
EM=EF∠CEM=∠CEFCE=CE，
∴△CEM≌△CEF(SAS)，
∴CM=CF，
而CM=AB+DM=CD+AF，
∴AB+AF=FC；
(3)解：若FG=CG，且AB=2，则CD=AB=2，
连接GM，如图：

在△EGM和△EGF中，
EM=EF∠GEM=∠GEFGE=GE，
∴△EGM≌△EGF(SAS)，
∴MG=FG，
而FG=CG，
∴MG=CG，
∵GD⊥DC，
∴DM=DC=2，
由(2)可知，AF=DM=2，CF=CM=CD+DM=4，
在Rt△CDF中，由勾股定理，
得：DF=CF2−CD2=42−22=23，
∴BC=AD=AF+DF=2+23．
【解析】(1)由题意知：∠AED=90°，∠ADE=∠DAE=45°，∠ADC=90°，从而得知∠CDE=135°，由三角形的内角和定理得知∠DCE+∠CED=45°，由旋转得知∠CEF=45°，从而∠AEF+∠CED=45°，进而可得结论；
(2)将△AEF绕点E旋转90°得到△DEM，则已知和旋转的性质可以得出：EM=EF，DM=AF，M点在直线CD上，∠CEM=∠CEF，证明△CEM≌△CEF，得到CM=CF，等量代换可得结论；
(3)连接GM，证明△EGM≌△EGF，得到MG=FG，从而得到MG=CG，由等腰三角形三线合一知：DM=DC=2，由(2)可知，AF=DM=2，CF=CM=CD+DM=4，在Rt△CDF中，由勾股定理求出DF，从而得出线段BC的长．
本题属于四边形综合，考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质及勾股定理，熟练掌握相关知识和构造辅助线是解决问题的关键．
25.【答案】解：(1)∵抛物线y=x2−4x=(x−2)2−4，
∵a=1>0，
∴当x=2时，y有最小值−4，
∴C(2,−4)．
∵直线y=x与抛物线在第一象限的交点为B点，
∴联立y=xy=x2−4x，
解得x=5y=5或x=0y=0(舍去)，
∴B(5,5)．
故点B和点C的坐标分别为(5,5)和(2,−4)；
(2)设直线BC的解析式为：y=kx+b，
则将B(5,5)，C(2,−4)代入y=kx+b得，
5k+b=52k+b=−4，
解得k=3b=−10，
∴直线BC的解析式为：y=3x−10．
①当点D在直线OB的下方时，过点B作BF⊥x轴，交x轴于点F，延长OD，交BF于G，

∵B(5,5)，
∴OF=BF，即∠BOF=∠OBF=45°，∠OFG=∠BFE=90°，
∵∠DOB=∠OBC，
∴∠GOF=∠EBF，
∴△OFG≌△BFE(ASA)，
∴EF=GF．
当y=0时，3x−10=0，得：x=103，
∴E(103,0)，
则GF=EF=OF−OE=5−103=53，
∴G(5,53)，
易知直线OG的解析式为：y=13x，
联立：y=13xy=x2−4x，
解得x=133y=139或x=0y=0(舍去)，
∴D(133,139)；
②当点D在直线OB的上方时，

∵∠DOB=∠OBC，
∴OD//BC，
∵直线BC的解析式为：y=3x−10，
∴直线OD的解析式为：y=3x，
联立：y=3xy=x2−4x，解得：x=7y=21或x=0y=0(舍去)，
∴D(7,21)．
综上，当点D的坐标为(133,139)或(7,21)时，使得∠DOB=∠OBC；
(3)∵点B(5,5)与点E关于对称轴x=2对称，
∴E(−1,5)，
如图，分别过点E，F作y轴的平行线，交直线OB于点M，N，

∴M(−1,−1)，EM=6，
设F(m,m2−4m)，则N(m,m)，
∴FN=m−(m2−4m)=−m2+5m，
∵S1=12FN(xB−xG)，S2=12EM(xB−xG)，
∴S1S2=FNEM=−m2+5m6=−16(m2−5m)=−16(m−52)2+2524，
∴当m=52时，S1S2的最大值为2524．
【解析】(1)将函数y=x2−4x化作顶点式可得出点C的坐标，联立y=x2−4x与y=x可得出点B的坐标；
(2)分点D在直线OB下方、上方两种情况，分别求解即可；
(3)如图，分别过点E，F作y轴的平行线，交直线OB于点M，N，则S1=12FN(xB−xG)，S2=12EM(xB−xG)，设F(m,m2−4m)，可表达S1S2，再利用二次函数的性质可得出结论．
本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，二次函数上的坐标特征，三角形的面积和全等三角形的判定及性质，解题的关键正确表达两个三角形面积的比．