2023年北京石景山区高三一模数学试题及答案

2023 年北京市石景山区高三一模数学试卷

本试卷共 9 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题：共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
B =
1. 已知集合 A ={x -2 £ x £ 2} ， B = {x x2 + x - 2 £ 0}，则 A


A.[-2, 2]
B.[-2,1]
C.[0,1] D. [0, 2]



2. 在复平面内，复数 z 对应的点的坐标为(-2, -1) ，则 z =
i

A. -1- 2i
B. -2 - i
C. -1+ 2i
D. 2 -i




2
3. 已知双曲线 x
3
4
- y2
b2
= 1 (b > 0) 的离心率是2 ，则b =


3
A.12 B. 2

C.
D. 3
2



4. 下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是


A. f (x) = sin x

C. f (x) = x3 + x
B. f (x) = 2|x|

D. f (x) = 1 (e-x - ex ) 2



5. 设 x > 0 ， y > 0 ，则“ x + y = 2 ”是“ xy £ 1 ”的
A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件


6. 已知数列{a } 满足：对任意的 m, n Î N* ，都有 a a = a ，且 a = 3 ，则 a =
n m n m+n 2 10

A. 34
B. 35
C. 36
D. 310

7. 若函数 f (x) = Asin(w x + j) ( A > 0,w > 0, 0 < j < π) 的部分图像如图所示，则j 的值是
2
A. π
3
B. π
6
C. π
4
D. π 12




8. 在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位：km / s ）与燃料的质量 M（单位：
kg ），火箭（除燃料外）的质量 m （单位： kg ）的函数关系是v = 2000ln(1 + M ) . 当燃料质
m

量与火箭质量的比值为t0 时，火箭的最大速度可达到v0 km / s . 若要使火箭的最大速度达到

2v0 km / s ，则燃料质量与火箭质量的比值应为


A. 2t 2
B. t 2 + t
C. 2t D. t 2 + 2t

0 0 0 0 0 0



9. 已知直线l : kx - y - 2k + 2 = 0 被圆C : x2 + ( y + 1)2 = 25 所截得的弦长为整数，则满足条件

的直线l 有

A. 6 条 B. 7 条 C. 8 条 D. 9 条


10. 已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为2 ，点 P 为正方形 ABCD 所在平面内一动点，给出下列三个命题：
①若点 P 总满足 PD1 ^ DC1 ，则动点 P 的轨迹是一条直线；

②若点 P 到直线 BB1 与到平面CDD1C1 的距离相等，则动点 P 的轨迹是抛物线；
③若点 P 到直线 DD1 的距离与到点C 的距离之和为2 ，则动点 P 的轨迹是椭圆.其中正确的命题个数是

A. 0 B.1 C. 2 D. 3

第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11. 向量a = (2sinq , cosq ) ， b = (1,1) ，若a // b ，则tanq = .


12. 抛物线C : x2 = 4 y 的焦点坐标为 ，若抛物线C 上一点 M 的纵坐标为 2 ，则点

M 到抛物线焦点的距离为 .



x
13. 若(x +
1 )n 的展开式中含有常数项，则正整数 n 的一个取值为 .




ìx3 - 3x, x £ a

î
14. 设函数 f (x) = í-x,
x > a


①若 a = 0 ，则 f (x) 的最大值为 ；
②若 f (x) 无最大值，则实数 a 的取值范围是 .


n
15. 项数为k (k Î N* , k ³ 2) 的有限数列{a } 的各项均不小于-1的整数，


满足 a × 2k -1 + a × 2k -2 + a
× 2k -3 + × × × + a
× 2 + a = 0 ，其中 a ¹ 0 . 给出下列四个结论：

1 2 3
k -1 k 1


①若 k = 2 ，则 a2 = 2 ；

②若 k = 3 ，则满足条件的数列{an} 有4 个；
③存在 a1 = 1 的数列{an} ；
④所有满足条件的数列{an} 中，首项相同.其中所有正确结论的序号是 .

三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16.（本小题 13 分）
2
如图，在△ABC 中， AC = 4 ， C = π ，点 D 在 BC 边上， cosÐADB = 1 .
6 3
（I） 求 AD 的长；

（II） 若△ABD 的面积为2 2 ，求 AB 的长.



17.（本小题 13 分）

株高增量（单位：厘米）
(4, 7]
(7,10]
(10,13]
(13,16]
第 1 组鸡冠花株数
9
20
9
2
第 2 组鸡冠花株数
4
16
16
4
第 3 组鸡冠花株数
13
12
13
2

某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况. 其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1, 2,3 三组.观察一段时间后，分别从1, 2,3 三组随机抽取 40 株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表.







假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立.
（I） 从第 1 组所有鸡冠花中各随机选取 1 株，估计株高增量为(7,10] 厘米的概率；

（II） 分别从第 1 组，第 2 组，第 3 组的所有鸡冠花中各随机选取 1 株，记这 3 株鸡冠花中恰有 X 株的株高增量为(7,10] 厘米，求 X 的分布列和数学期望 EX ；
（III） 用“ xk = 1”表示第 k 组鸡冠花的株高增量为(4,10] ，“ xk = 0 ”表示第 k 组鸡冠花的株

x x x
高增量为(10,16] 厘米，k = 1, 2,3 ，直接写出方差 D , D , D 的大小关系.（结论不要求证明）
1 2 3

18.（本小题 14 分）
如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是边长为2 的正方形，侧面 PAD 为等腰直角
三角形，且ÐPAD = π ，点 F 为棱 PC 上的点，平面 ADF 与棱 PB 交于点 E .
2
（I） 求证： EF // AD ；

（II） 从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面 PCD 与平面 ADFE 所成锐二面角的大小.
2
条件①： AE = ；

条件②：平面 PAD ^ 平面 ABCD ；条件③： PB ^ FD .
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

19.（本小题 15 分）
x2
已知椭圆C : a2
y2 1
+ = 1 (a > b >
b2 0) 过点(0, 3) ，且离心率为 2 .

（I） 求椭圆C 的方程；

（II） 过点 P(-1,1) 且互相垂直的直线l1, l2 分别交椭圆C 于 M , N 两点及 S,T 两点.
求| PM || PN | 的取值范围.
| PS || PT |

20.（本小题 15 分）

已知函数 f (x) = ex - 1 - m sin x (m Î R) .

（Ⅰ）当 m = 1时，
（i） 求曲线 y = f (x) 在点(0, f (0)) 处的切线方程；


（ii） 求证： "x Î
π
(0, )
2

， f (x) > 0 .

（Ⅱ）若 f (x) 在(0, π) 上恰有一个极值点，求 m 的取值范围.
2

21.（本小题 15 分）

若无穷数列{an} 满足以下两个条件，则称该数列为t 数列.


① a1 = 1 ，当 n ³ 2 时， | an - 2 |=| an-1 + 2 | ；

②若存在某一项 a £ -5 ，则存在 k Î{1, 2,× × ×, m - 1} ，使得 a = a


+ 4 (m ³ 2且m Î N* ) .

m k m

（I） 若 a2 < 0 ，写出所有t 数列的前四项；

（II） 若 a2 > 0 ，判断t 数列是否为等差数列，请说明理由；

（III） 在所有的t 数列中，求满足 am = -2021的 m 的最小值.

石景山区 2023 年高三统一练习
数学试卷答案及评分参考
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
（1）A （2）C （3）B （4）D （5）A
（6）B （7）A （8）D （9）B （10）C
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）

（11） 1
2
（14） 2 (-¥, -

（12） (0,1) 3 （13）3（只要是3 正整数倍即可）

2) （15）①②④


三、解答题（共 6 小题，共 85 分）

（16）(本小题满分 13 分)
解：（Ⅰ）因为ÐADB + ÐADC = p ，所以cosÐADC = -cosÐADB = - 1
3
在△ADC 中，因为ÐADC Î (0, p) ，

1 - cos 2 Ð ADC
2 2
3
所以sin Ð ADC = = ．



在△ABD 中，由正弦定理得，

4 2 ´ 1
AD


sin C
AC ．
=
sin ÐADC

所以 AD = AC × sin C =
sin ÐADC


2 = 3 ．
2 2
3


（Ⅱ） △ABD 的面积为 2
，得 1 DB × DAsin ÐADB = 2 ，
2
2
2


2 2
3
因为ÐADB + ÐADC = p ，所以sin Ð ADC = sin Ð ADB =

又因为 AD = 3 ，所以 BD = 2 ．在△ABD 中，由余弦定理得
AB2 = DA2 + DB2 - 2DA × DB × cosÐADB
= 32 + 22 - 2 ´ 3 ´ 2 ´ 1 = 9 ．所以 AB = 3 ．
2

（17）(本小题满分 13 分)
解：（Ⅰ）设事件 A 为“从第1 组所有鸡冠花中各随机选取1 株，株高增量为(7, 10]
厘米”，根据题中数据，第1 组所有鸡冠花中，有 20 株鸡冠花增量为(7, 10] 厘米．
所以 P( A) 估计为 20 = 1
40 2
（II） 设事件 B 为“从第 2 组所有鸡冠花中各随机选取1 株，株高增量为(7, 10] 厘米”，设事件C 为“从第3 组所有鸡冠花中各随机选取1 株，株高增量为(7, 10] 厘米”，根
据题中数据， P(B) 估计为 16 = 2 ， P(C) 估计为 12 = 3
40 5 40 10
根据题意，随机变量 X 的所有可能取值为0, 1, 2, 3 ，且

P( X = 0) = P( ABC ) = P( A)P(B)P(C ) ，

P( X = 1) = P( ABC + ABC + ABC)

= P( A)P(B)P(C ) + P( A)P(B)P(C ) + P( A)P(B)P(C)
P( X = 3) = P( ABC) = P( A)P(B)P(C)
P( X = 2) = 1 - P( X = 0) - P( X = 1) - P( X = 3) ．
所以， P( X = 0) 估计为 21 ； P( X = 1) 估计为 11 ；


P( X = 3) 估计为 3
50
所以 X 的分布列为
100 25
； P( X = 2) 估计为 29 ．
100


X
0
1
2
3
P
21

100
11

25
29

100
3

50
所以 EX 估计为0 ´ 21 + 1´ 11 + 2 ´ 29 + 3 ´ 3 = 6 ．
100 25 100 50 5
（III） Dx1 < Dx3 < Dx2 ．

（18）(本小题满分 14 分)
解：（Ⅰ）证明：因为底面 ABCD 是正方形，所以 AD // BC ，
BC Ì 平面 PBC ， AD Ë 平面 PBC ,
所以 AD // 平面 PBC
又因为平面 ADF 与 PB 交于点 E .
AD Ì 平面 ADFE ，平面 PBC ∩ 平面 ADFE = EF ,
所以 EF // AD .
（Ⅱ）选条件①②
侧面 PAD 为等腰直角三角形，且ÐPAD = p ,
2
即 PA = AD = 2 ， PA ^ AD
平面 PAD ^ 平面 ABCD ，
平面 PAD ∩ 平面 ABCD = AD ， PA Ì 平面 PAD ,
则 PA ^ 平面 ABCD ，又 ABCD 为正方形，所以 PA ^ AB, PA ^ AD, AB ^ AD .
以点 A 为坐标原点， AB, AD, AP 方向分别为 x 轴, y 轴, z 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系 A - xyz ，
则 A(0, 0, 0), P(0, 0, 2),C(2, 2, 0), B(2, 0, 0), D(0, 2, 0)

2
因为 AE = ，所以点 E 为 PB 的中点，则 E(1, 0,1)

¾¾® ¾¾® ¾¾®
从而： PC = (2, 2, -2), AD = (0, 2, 0), AE = (1, 0,1) ，
设平面 ADFE 的法向量为： n = (x, y, z) ，
ì ¾¾®
í
则ïn × AE = x + z = 0 ，
ïn × ¾¾®
î AD = 2 y = 0
令 x = 1 ，可得 n = (1, 0, - 1)
（方法 2：因为 PAB 为等腰三角形，则 PB ^ AE, PB ^ AD, AE ∩ AD = A

¾¾®
PB ^ 平面 ADFE ，则 PB = (2, 0, - 2) 平面 ADFE 的法向量）
设平面 PCD 的法向量为： n = (a, b, c) ，则

ì ¾¾®
ïn × PD = 2y - 2z = 0
í ，
ïn × ¾¾®
î PC = 2x + 2y - 2z = 0
令 y = 1 ，可得 n = (0,1,1)



¾¾®
所以| cos <
¾¾®
| PB × n | 1

PB , n >|= =
¾¾® 2
| PB || n |
则两平面所成的锐二面角为 p
3

选条件①③
侧面 PAD 为等腰直角三角形，且ÐPAD = p ,
2


即 PA = AD = 2, PA ^ AD

AD ^ AB, PA ∩ AB = A ，可得 AD ^ 平面 PAB ， PB Ì 平面 PAB ，则 AD ^ PB .
又因为 PB ^ FD, AD ∩ FD = D,
则 PB ^ 平面 ADFE , AE Ì 平面 ADFE, 则 PB ^ AE
2
因为 PA = AB ，所以△PAB 为等腰三角形，所以点 E 为 PB 的中点又因为 AE = ，所以△PAB 为等腰直角三角形，
下面同①②
选条件②③
侧面 PAD 为等腰直角三角形，且ÐPAD = p ，
2
即 PA = AD = 2, PA ^ AD
平面 PAD ^ 平面 ABCD ，
平面 PAD ∩ 平面 ABCD = AD ， PA Ì 平面 PAD ,
则 PA ^ 平面 ABCD, ABCD 为正方形，所以 PA ^ AB, PA ^ AD, AB ^ AD .
又因为 PB ^ FD, AD ∩ FD = D, 则 PB ^ 平面 ADFE ， AE Ì 平面 ADFE,
则 PB ^ AE
因为 PA = AB ，所以△PAB 为等腰三角形，所以点 E 为 PB 的中点.下面同①②

（19）(本小题满分 15 分)
3
解：（Ⅰ）因为椭圆过点(0，3) ，故b = ，
e = c = 1 ， a2 = b2 + c2 ，则 a = 2 ，
a 2
x2 y2

故椭圆的标准方程为：
+ = 1.
4 3

（Ⅱ）当直线l1 斜率不存在
l1 : x = -1, l2 : y = 1
分别代入椭圆方程得： M (- 3


-1, - 3), S (- 2 6 ,1),T ( 2 6 ,1)

1, ), N (
2 2 3 3
所以： | PM |= 3 - 1 = 1 ,| PN |= 3 + 1 = 5 ,
2 2 2 2

2 6
3
2 6
3
| PS |= -1,| PT |= + 1,

可得： | PM || PN | = 3 ，
| PS || PT | 4
当直线l 斜率不存在时，同理可得， | PM || PN | = 4
2 | PS || PT | 3
当l , l 斜率均存在且不为0 时，设直线l 斜率为 k ，则直线l 斜率为- 1
1 2 1 2 k

设直线l1 的方程为： y - 1 = k (x + 1) ， M (x1 , y1 ), N (x2 , y2 )
ì y - 1 = k (x + 1)
由
ï
1
í x2 + y2 = ，
ïî 4 3
得(3 + 4k 2 ) x2 + (8k 2 + 8k) x + 4k 2 + 8k - 8 = 0
ì
ïD > 0
ï
ï 8k 2 + 8k
ï
í x1 + x2 = - 3 + 4k 2 ，

ï
ïx1 × x2 =
î
(x1 + 1)2 + ( y1 - 1)2
| PM |=

(x2 + 1)2 + ( y2 - 1)2
| PN |=
4k 2 + 8k - 8


3 + 4k 2
=

=


| x1 + 1| ，

1 + k 2
1 + k 2
| x2 + 1| ，

同理可知：
设直线l 的方程为： y - 1 = - 1 (x + 1) ， S (x , y ),T (x , y )



x + x
2


= - 8 - 8k

k
= 8k - 8 ，

3 3 4 4


3 4 3k 2 + 4 3k 2 + 4
4 - 8k - 8k 2

x3 × x4 =

(x3 + 1)2 + ( y3 - 1)2
| PS |=
，
3k 2 + 4


=


1 + 1
k 2
|x3


+ 1| ，



(x4 + 1)2 + ( y4 - 1)2
| PT |=

| PM || PN |
=
| x4 + 1| ，

1 + 1
k 2
(1 + k 2 ) x1 + 1 x2 + 1
|x x + x + x + 1|

则
| PS || PT |
=
(1 +
1 ) x

+ 1 x
= k 2 × 1 2 1 2
+ 1 |x 3x 4 + x 3 + x 4 +1|

-5
3 + 4k 2
-5k 2
3k 2 + 4

k 2


3k 2 + 4
4k 2 + 3
k
×
=
= 2
3 4


3 (4k 2 + 3) + 7
= Î ( , )
4 4 3 4


4k 2 + 3 4 3

[ , ]
综上所述： | PM || PN | 的取值范围是 3 4
| PS || PT | 4 3


（20）(本小题满分 15 分)
解：（Ⅰ）当 m = 1时， f ¢(x) = ex - cos x ,
（ⅰ） f ¢(0) = 0 ，又 f (0) = 0 ，所以切线l 方程为 y = 0 ．

（ⅱ） f (x) = ex - 1 - sin x

解法一： f ¢(x) = ex - cos x ，因为 x Î


π
(0, )
2


，所以ex > 1 ， - cos x > -1 ,

所以ex - cos x > 0 ，所以 f ¢(x) = ex - cos x > 0
所以 f (x) 在(0, π) 单调递增，所以 f (x) > f (0) = 0
2
解法二：令 g(x) = ex - 1 - x ， x Î (0, π) ，则 g¢(x) = ex - 1 > 0
2

(0, )
所以，函数 g(x) = ex -1 - x 在 π
2

单调递增．

所以 g(x) > g(0) = 0 ，即ex -1 - x > 0 ．


令 h(x) = x - sin x ， x Î
π
(0, )
2

，则 h¢(x) = 1 - cos x > 0 ．

(0, )
所以，函数 h(x) = x - sin x 在 π
2

单调递增．

所以 h(x) > h(0) = 0 ，即 x - sin x > 0 ．所以 f (x) = ex -1 - sin x > 0 ．
（Ⅱ） f (x) = ex - 1 - m sin x ， f ¢(x) = ex - m cos x ，
当 m ≤1 时，所以-m cos x ≥ - cos x ，
f ¢(x) = ex - m cos x ≥ex - cos x ，由（Ⅰ）知， f ¢(x) > 0 ，

[0, ]
所以 f (x) 在 π 2
上单调递增．

所以当 m ≤1 时， f (x) = ex -1 - m sin x 没有极值点．当 m > 1时， f ¢(x) = ex - m cos x ，

[0, ]
因为 y = ex 与 y = -m cos x 在 π
2
单调递增．

[0, ]
所以 f ¢(x) 在 π
2

单调递增．

π π

所以 f ¢(0) = 1 - m < 0 ， f ¢( ) = e 2 > 0 ．
2


所以$x0

π
Î (0, ) 2
使得 f ¢(x0 ) = 0 ．

所以当0 < x < x0 时， f ¢(x) < 0 ，因此 f (x) 在区间(0, x0 ) 上单调递减．


当 x0
< x < π 时， f ¢(x) > 0 ，因此 f (x) 在区间
2
π (x0 , 2 )

上单调递增．

(0, )
故函数 f (x) 在 π
2

上恰有一个极小值点， m 的取值范围是(1, +¥) .

（21）(本小题满分 15 分)
解：（Ⅰ）由条件①知，当 n ≥ 2 时， an = -an-1 或 an = an-1 + 4 .
因为 a2 < 0 ，由条件①知 a2 = -1.
所以t数列的前四项为：1, -1,1, -1 ；1, -1,1,5 ；1, -1,3, -3 ；1, -1,3, 7 .
（II） 若 a2 > 0 ，t数列是等差数列.
由条件①知，当 n ≥ 2 时， an = -an-1 或 an = an-1 + 4 .
因为 a2 > 0 ，所以 a2 = 5 .
假设t数列中存在最小的正整数i （ i ≥ 3 ），使得 ai = -ai-1 .
由条件①知， a1, a2 ,L, ai-1 单调递增，即均为正数，且 ai-1 ≥ a2 = 5 .
所以 ai = -ai-1 ≤ -5 .由条件②知，则存在 k Î{1, 2,L,i - 1} ，使得 ak = ai + 4 ≤ -1 .
此时与 a1 , a2 ,L, ai-1 均为正数矛盾，
所以不存在整数i （ i ≥ 3 ），使得 ai = -ai-1 ，即 an = an-1 + 4 .
所以t数列为首项为1 公差为 4 的等差数列.
（III） 由 am = -2021 及条件②，

可得-1 ， -5 ， -9 ，…， -2017 ， -2021 必为数列{an }
记该数列为{bn} ，有bn = -4n + 3(1≤ n ≤ 506) .
中的项，

不妨令bn = a j ，由条件①， a j +1 = -a j = 4n - 3 或 a j +1 = a j + 4 = -4n + 7 ，均不为bn+1 = -4n - 1 ；
此时 aj+2 = -4n + 3 或4n + 1 或 4n - 7 或-4n + 11 ，均不为bn+1 = -4n - 1.
上述情况中，当 a j +1 = 4n - 3 ， a j +2 = 4n + 1时， a j +3 = -aj +2 = -4n - 1 = bn+1 ，结合 a1 = 1，则有 a3n-1 = bn .
由b506 = -2021 ，得 m = 3 ´ 506 - 1 = 1517 即为所求．

（以上解答题，若用其它方法，请酌情给分）