2022-2023学年四川省凉山州宁南中学高二上学期期末考试数学（理）试题含解析

这是一份2022-2023学年四川省凉山州宁南中学高二上学期期末考试数学（理）试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．某单位职工老年人有30人，中年人有50人，青年人有20人，为了了解职工的建康状况，用分层抽样的方法从中抽取10人进行体检，则应抽查的老年人的人数为
A．3B．5C．2D．1
【答案】A
【分析】先由题意确定抽样比，进而可求出结果.
【详解】由题意该单位共有职工人，
用分层抽样的方法从中抽取10人进行体检，抽样比为，
所以应抽查的老年人的人数为.
故选A
【点睛】本题主要考查分层抽样，会由题意求抽样比即可，属于基础题型.
2．已知R，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】若，则，则成立．
而当且时，满足，但不成立；
“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
3．下列说法中错误的是（ ）
A．对于命题p：存在，使得，则：任意，均有
B．两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近1
C．在线性回归方程中，当变量x每增加一个单位时，平均减少0.5个单位
D．某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变
【答案】D
【分析】A选项，存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定；
B选项，相关系数就越接近1，则两个变量线性相关性越强；
C选项，根据线性回归方程的解析式中的系数得到结论；
D选项，计算出添加新数据4后的方程，作出判断.
【详解】存在，使得，的否定是：任意，均有，A正确；
两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近1，B正确；
在线性回归方程中的系数为，当变量x每增加一个单位时，平均减少0.5个单位，C正确；
某7个数的平均数为4，方差为2，则，
现加入一个新数据4，则平均数不变，仍为4，此时这8个数的方差变为，故D错误.
故选：D
4．如图的程序框图的算法思路源于欧几里得在公元前300年左右提出的“辗转相除法”．执行该程序框图，若输入，则输出的值为（ ）
A．4B．37C．148D．333
【答案】B
【分析】利用辗转相除法求1813和333的最大公约数.
【详解】题中程序框图为辗转相除法求1813和333的最大公约数.
因为，，，
所以1813和333的最大公约数为37.
故选：B.
5．圆x2+y2-2x-3=0与圆x2+y2-4x+2y+3=0的位置关系是（ ）
A．相离B．内含C．相切D．相交
【答案】D
【分析】求出圆心和半径，再根据两个圆的圆心距与半径之差和半径和的关系，可得两个圆相交．
【详解】由于圆x2+y2﹣2x﹣3＝0的圆心为（1，0），半径等于2，
而圆x2+y2﹣4x+2y+3＝0即（x﹣2）2+（y+1）2＝2，表示以（2，﹣1）为圆心，半径等于的圆．
由于两个圆的圆心距为：，2，
故两个圆相交，
故选D．
【点睛】本题主要考查圆的标准方程，两个圆的位置关系的判定方法，属于中档题．
6．已知抛物线上一点到轴的距离是2，则点到焦点的距离为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】B
【分析】有题意可知,由焦点则可求出点到焦点的距离.
【详解】到轴的距离是2，可得，焦点
则点到焦点的距离为2.
故选:B.
7．已知，为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上且满足，那么点P到x轴的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，由双曲线的性质可得的值，再由，根据勾股定理可得的值，进而求得，最后利用等面积法，即可求解
【详解】设，，为双曲线的两个焦点，
设焦距为，，点P在双曲线上，，，
，，
，的面积为，
利用等面积法，设的高为，则为点P到x轴的距离，
则，
故选：D
【点睛】本题考查双曲线的性质，难度不大.
8．椭圆上的点到一个焦点的距离为，是的中点，则点到椭圆中心的距离为．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由三角形的中位线的性质得，再由椭圆的定义得，由此可求得答案.
【详解】∵椭圆方程为，∴，得，
∵中，、分别为和的中点，∴，
∵点在椭圆上，得，
∴，
由此得，
故选：．
9．已知直线y=x+m和圆x2+y2=1交于A、B两点，O为坐标原点，若，则实数m=（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】联立，得2x2+2mx+m2﹣1＝0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积能求出m．
【详解】联立 ，得2x2+2mx+m2-1=0，
∵直线y=x+m和圆x2+y2=1交于A、B两点，O为坐标原点，
∴△=4m2+8m2-8=12m2-8＞0，解得m＞或m＜-，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-m， ，
y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2，=（-x1，-y1），=（x2-x1，y2-y1），
∵+y12-y1y2=1+m2-m2=2-m2=，
解得m=．
故选C．
【点睛】本题考查根的判别式、韦达定理、向量的数量积的应用，考查了运算能力，是中档题．
10．已知，，直线：，：，且，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．8D．9
【答案】C
【分析】由，可求得，再由，利用基本不等式求出最小值即可.
【详解】因为，所以，即，
因为，，所以，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为8.
故选：C.
【点睛】本题考查垂直直线的性质，考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
11．已知为坐标原点，，是双曲线：（，）的左、右焦点，双曲线上一点满足，且，则双曲线的离心率为
A．B．2C．D．
【答案】D
【详解】设P为双曲线右支上一点,=m,=n,|F1F2|=2c，
由双曲线的定义可得m−n=2a，
点P满足,可得m2+n2=4c2，
即有(m−n)2+2mn=4c2，
又mn=2a2，
可得4a2+4a2=4c2，
即有c=a，
则离心率e=
故选D .
12．已知圆，直线为上的动点，过点作圆的切线，切点为，当四边形面积最小时，直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据 可知，当直线时，最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程．
【详解】解：圆的方程可化为，点到直线的距离为，所以直线 与圆相离．
依圆的知识可知，四点四点共圆，且，
所以，而 ，
当直线时，， ，此时最小．
∴，即 ，由，解得．
所以以为直径的圆的方程为，
即，
两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．
故选：A .
【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．
二、填空题
13．某校调查了200名学生每周的自习时间（单位:小时），制成了如图所示的的频率分布直方图，根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为：_____．
【答案】140
【分析】求出这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率，即可求得答案.
【详解】由频率分布直方图得：这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率为:
,
这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为：，
故答案为：140.
14．从800名同学中，用系统抽样的方法抽取一个20人的样本，将这800名同学按进行随机编号，若第一组抽取的号码为3，则第五组抽取的号码为__________.
【答案】163
【分析】根据系统抽样的知识求得正确答案.
【详解】组距为，
所以第五组抽取的号码是.
故答案为：
15．抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，定点，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】根据抛物线的定义，将转化为到准线的距离，再结合图形可求出结果.
【详解】由，得，准线方程为：，
过作准线的垂线，垂足为，
则，
当且仅当三点共线时，等号成立.
故答案为：
16．数学中有许多美丽的曲线，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.如曲线，（如图所示），给出下列三个结论
①曲线关于直线对称；
②曲线上任意一点到原点的距离都小于；
③曲线围成的图形的面积是.
其中，正确结论的序号是_________.
【答案】①③
【分析】根据点的对称性可判断①，由曲线方程知曲线关于原点，，轴对称，当，时，可得，可得，所以可得曲线为为圆心，为半径的半圆，由此可作出曲线的图象，从而通过运算可判断命题②③的真假．
【详解】设点在曲线上，则，关于直线对称的点，将代入曲线中得，因此在曲线上，故①正确，
曲线可知曲线关于原点，，轴对称，
当，时，可得，可得，所以可得曲线为为圆心，为半径的半圆，曲线上任意点到原点的距离的最大值为，曲线上任意一点到原点的距离都小于或等于，故命题②错误；
根据对称性可知曲线围成的图形的面积为4个半圆的面积加上边长为的正方形的面积，即，故命题③正确；
故答案为：①③
三、解答题
17．已知直线.
（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
（2）当点到直线l距离最大时，求直线l的方程.
【答案】（1）或（2）
【解析】（1）先求出直线l在两坐标轴上的截距，根据题意，列出方程，解方程即可；
（2）根据直线的点斜式方程可以确定直线恒过的定点，然后根据直线l与垂直时，点到直线l距离最大，最后求出的值，进而求出直线的方程.
【详解】（1）直线，取，
取，
即，解得或，
故直线方程为或
（2）变换得到，
故过定点
当直线l与垂直时，距离最大.
，故，解得，
故所求直线方程为
【点睛】本题考查了直线的截距的定义，考查了直线过定点的判断，考查了已知点到直线的距离的最大值求参数问题，考查了数学运算能力.
18．已知命题； 命题.
(1)若p是q的充分条件，求m的取值范围；
(2)当时，已知是假命题，是真命题，求x的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）解不等式组即得解；
（2）由题得p、q一真一假，分两种情况讨论得解.
【详解】（1）解：由题意知p是q的充分条件，即p集合包含于q集合，
有；
（2）解：当时，有，
由题意知，p、q一真一假，
当p真q假时，，
当p假q真时，，
综上，x的取值范围为
19．已知某绿豆新品种发芽的适宜温度在6℃~22℃之间，一农学实验室研究人员为研究温度（℃）与绿豆新品种发芽数（颗）之间的关系，每组选取了成熟种子50颗，分别在对应的8℃~14℃的温度环境下进行实验，得到如下散点图：
(1)由折线统计图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立关于的回归方程，并预测在19℃的温度下，种子发芽的颗数.
参考数据：，，，.
参考公式：相关系数，回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，.
【答案】(1)答案见解析；
(2)44.
【分析】（1）直接套公式求出系数r，即可判断；（2）套公式求出回归方程，把代入，即可求解.
【详解】（1）由题意可知：.
.又，所以相关系数.
因为相关系数，所以与的线性相关性较高，可以利用线性回归模型拟合与的关系.
（2）由（1）知，，，.
所以,
所以.
所以与的回归直线为.
当时，.即在19℃的温度下，种子发芽的颗数为44.
20．圆心在上的圆与轴相切，且被直线截得的弦长为．
(1)求圆的方程；
(2)求过点且与该圆相切的直线方程．
【答案】(1)
(2)和
【分析】（1）设圆心，求出圆心到直线的距离，由勾股定理计算弦长求得参数，得圆标准方程；
（2）分类讨论，斜率不存在的直线直接验证，斜率存在的直线设出直线方程（用点斜式），由圆心到切线距离等于半径求得参数值，得直线方程．
【详解】（1）设圆心，则
到直线的距离为
∴∴
圆的方程为
（2）①当切线斜率不存在时，：满足题意
②设：，即
圆心到直线的距离为，∴
综上得过与圆相切的直线方程为和
21．已知抛物线的顶点是坐标原点，而焦点是双曲线的右顶点.
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线与抛物线相交于A、B两点，则直线OA与OB的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.
【答案】(1)
(2)是定值，
【分析】（1）将双曲线的方程化为标准形式，求得右顶点坐标，根据抛物线的焦点与双曲线的右顶点重合得到抛物线的方程；
（2）联立直线与抛物线方程，结合韦达定理求得弦长及两点连线的斜率公式即可求解.
【详解】（1）双曲线化为标准形式：，，右顶点A，
设抛物线的方程为，焦点坐标为，
由于抛物线的焦点是双曲线的右顶点，所以，
所以抛物线的方程；
（2）联立，整理得，
设，则，
，
综上，抛物线的方程，OA，OB斜率的乘积为-1.
22．已知椭圆的左、右两个焦点，，离心率，短轴长为2．
1求椭圆的方程；
2如图，点A为椭圆上一动点非长轴端点，的延长线与椭圆交于B点，AO的延长线与椭圆交于C点，求面积的最大值．
【答案】（1）椭圆的标准方程为 （2）面积的最大值为
【详解】试题分析：（1） 由题意得，再由， 标准方程为；（2）①当的斜率不存在时，不妨取
； ②当的斜率存在时，设的方程为，联立方程组
，又直线的距离 点到直线的距离为 面积的最大值为.
试题解析：（1） 由题意得，解得，
∵，∴，，
故椭圆的标准方程为
（2）①当直线的斜率不存在时，不妨取
，
故；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，
联立方程组，
化简得，
设
点到直线的距离
因为是线段的中点，所以点到直线的距离为，
∴
综上，面积的最大值为.
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质、点到直线的距离、弦长公式和三角形面积公式等知识，涉及函数与方程思想、数形结合思想分类与整合、转化与化归等思想，并考查运算求解能力和逻辑推理能力，属于较难题型. 第一小题由题意由方程思想建立方程组求得标准方程为；（2）利用分类与整合思想分当的斜率不存在与存在两种情况求解，在斜率存在时，由舍而不求法求得 ，再求得点到直线的距离为 面积的最大值为.