专题8 统计与概率压轴小题-2023年新高考数学压轴小题分类专项训练（新高考地区适用）

专题8 统计与概率压轴小题 一、单选题1．（2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）设集合，集合是集合的非空子集，中最大元素和最小元素的差称为集合的长度，那么集合所有长度为的子集的元素个数之和为（    ）A． B． C． D．2．（2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）小林同学喜欢吃4种坚果：核桃､腰果､杏仁､榛子，他有5种颜色的“每日坚果”袋.每个袋子中至少装1种坚果，至多装4种坚果.小林同学希望五个袋子中所装坚果种类各不相同，且每一种坚果在袋子中出现的总次数均为偶数，那么不同的方案数为（    ）A．20160 B．20220 C．20280 D．203403．（2022·全国·高三专题练习）设是离散型随机变量的期望，则下列不等式中不可能成立的是（    ）A． B．C． D．4．（2022·江苏·高三专题练习）已知，，其中为展开式中项系数，，则下列说法不正确的有（    ）A．，B．C．D．是，，，…，是最大值5．（2022·内蒙古赤峰·高三开学考试（理））已知数列的前项和为，且或的概率均为，设能被整除的概率为．有下述四个结论：①；②；③；④当时，．其中所有正确结论的编号是（    ）A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④6．（2022·浙江·高三开学考试）互不相等的正实数是的任意顺序排列，设随机变量满足：则（    ）A． B．C． D．7．（2022·全国·高三专题练习）伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题．当时，，又根据泰勒展开式可以得到，根据以上两式可求得（    ）A． B． C． D．8．（2022·全国·高三专题练习（理））在卡方独立性检验中，，其中为列联表中第行列的实际频数，为假定独立情况下由每行､每列的总频率乘以总频数得到的理论频数，取时，如表所示，则有：，因此：与课本公式等价，故以下列联表的最小值为（    ）123430302545A． B． C． D．9．（2022·四川·成都七中高三开学考试（理））某医院分配3名医生6名护士紧急前往三个小区协助社区做核酸检测.要求每个小区至少一名医生和至少一名护士.问共有多少种分配方案？（    ）A．3180 B．3240 C．3600 D．366010．（2022·全国·高三专题练习（文））设函数，若是从三个数中任取一个，是从五个数中任取一个，那么恒成立的概率是（    ）A． B． C． D．11．（2022·全国·高三专题练习）如图，在某城市中，､两地之间有整齐的方格形道路网，其中､､､是道路网中位于一条对角线上的个交汇处.今在道路网､处的甲､乙两人分别要到､处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达､处为止.则下列说法正确的是（    ）A．甲从到达处的方法有种B．甲从必须经过到达处的方法有种C．甲､乙两人在处相遇的概率为D．甲､乙两人相遇的概率为二、多选题12．（2022·山东济南·三模）如图，已知正方体顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为，则下列说法正确的是（    ）A．B．C．点Q移动4次后恰好位于点的概率为0D．点Q移动10次后仍在底面ABCD上的概率为13．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）已知，则下列结论正确的是（    ）A．若，，则B．与都是正整数C．是的小数部分D．设，，则14．（2022·江苏南通·模拟预测）若，则（    ）A． B．C． D．15．（2022·广东·深圳市第七高级中学高三阶段练习）已知数列中，，且，设，则下列结论正确的是（    ）A．B．数列单调递增C．D．若为偶数，则正整数n的最小值为816．（2022·重庆八中模拟预测）如图，一只蚂蚁从正方形的顶点A出发，每一次行动顺时针或逆时针经过一条边到达另一顶点，其中顺时针的概率为，逆时针的概率为，设蚂蚁经过n步到达B，D两点的概率分别为．下列说法正确的有（    ）A． B．C． D．17．（2022·湖北·高三开学考试）甲乙两人进行围棋比赛，共比赛局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为，则（    ）A． B．C． D．的最小值为18．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知某商场销售一种商品的单件销售利润为，a，2，根据以往销售经验可得，随机变量X的分布列为X0a2Pb其中结论正确的是（    ）A．B．若该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为C．D．当最小时，19．（2022·全国·模拟预测）计算机显示的数字图像是由一个个小像素点组合而成的．处理图像时，常会通过批量调整各像素点的亮度，间接调整图像的对比度、饱和度等物理量，让图像更加美观．特别地，当图像像素点规模为1行列时，设第i列像素点的亮度为，则该图像对比度计算公式为．已知某像素点规模为1行列的图像第i列像素点的亮度，现对该图像进行调整，有2种调整方案：①；②，则（    ）A．使用方案①调整，当时，B．使用方案②调整，当时，C．使用方案①调整，当时，D．使用方案②调整，当，时，20．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）甲､乙两人进行局羽毛球比赛(无平局)，每局甲获胜的概率均为.规定：比赛结束时获胜局数多的人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为，假设每局比赛互不影响，则(    )A． B． C． D．单调递增21．（2022·江苏泰州·模拟预测）设一组样本的统计数据为：，其中n∈N*，．已知该样本的统计数据的平均数为，方差为，设函数，x∈R．则下列说法正确的是（    ）A．设b∈R，则的平均数为B．设a∈R，则的方差为C．当x＝时，函数有最小值D．22．（2022·江苏省昆山中学高三阶段练习）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．假设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，且p是关于x的方程：的一个最小正实根，则下列说法正确的是（    ）A．1是方程：的根B．当时，C．当时，D．当时，23．（2022·江苏南京·高三开学考试）设，，，则下列结论中正确的是（    ）A．B．当时，C．若，，则D．当，时，24．（2022·福建省连城县第一中学高三阶段练习）为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测．现有两种检测方式：（1）逐份检测：（2）混合检测：将其中k份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k份核酸全为阴性，因而这k份核酸只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k份核酸再逐份检测，此时，这k份核酸的检测次数总共为次．假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为，若，运用概率统计的知识判断下列哪些p值能使得混合检测方式优于逐份检测方式．（参考数据：）（    ）A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.125．（2022·福建泉州·高三开学考试）若数列的通项公式为，记在数列的前项中任取两项都是正数的概率为，则（    ）A．B．C．D．.26．（2022·江苏·高三专题练习）下列说法不正确的是（    ）A．随机变量，则B．某人在10次射击中，击中目标的次数为且，则当时概率最大；C．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件D．从个红球和个白球颜色外完全相同中，一次摸出个球，则摸到红球的个数服从超几何分布；三、填空题27．（2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）已知为正整数，.其中的系数为10，则的系数的最大可能值与最小可能值之和为___________.28．（2022·浙江·模拟预测）“迎冬奥，跨新年，向未来”，水球中学将开展自由式滑雪接力赛．自由式滑雪接力赛设有空中技巧、雪上技巧和雪上芭蕾三个项目，参赛选手每人展示其中一个项目．现安排两名男生和两名女生组队参赛，若要求相邻出场选手展示不同项目，女生中至少一人展示雪上芭蕾项目，且三个项目均有所展示，则共有___种出场顺序与项目展示方案．（用数字作答）29．（2022·上海·高三专题练习）对于n∈N*，将n表示为n=a0×2k+a1×2k﹣1+a2×2k﹣2+…+ak﹣1×21+ak×20，i=0时，ai=1，当1≤i≤k时，ai为0或1，记I（n）为上述表示中ai为0的个数；例如4=1×22+0×21+0×20，11=1×23+0×22+1×21+1×20，故I（4）=2，I（11）=1；则2I（1）+2I（2）+…+2I（254）+2I（255）=_____．30．（2022·上海奉贤·二模）设项数为的数列满足：，且对任意，，都有，则这样的数列共有_____个.31．（2022·全国·高三专题练习）某商场经销A，B两种生活消耗品，顾客每次必买且只买其中一种，经过统计分析发现:顾客第一次购买时购买A的概率为.前一次购买A的顾客下一次购买A的概率为，前一次购买B的顾客下一次购买A的概率为那么某顾客第次来购买时购买A产品的概率为______32．（2022·广东·东莞四中高三阶段练习）有一种投掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第10站，共10站，设棋子跳到第n站的概率为，若一枚棋子开始在第1站，棋手每次投掷骰子一次，棋子向前跳动一次．若骰子点数小于等于3，棋子向前跳一站；否则，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第9站（失败）或者第10站（获胜）时，游戏结束．则_________；该棋手获胜的概率为__________．33．（2022·江苏省滨海中学模拟预测）设a、b、m为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为；已知，，则满足条件的正整数b中，最小的两位数是______．34．（2022·山西吕梁·二模（文））在一次新兵射击能力检测中，每人都可打5枪，只要击中靶标就停止射击，合格通过；5次全不中，则不合格．新兵A参加射击能力检测，假设他每次射击相互独立，且击中靶标的概率均为，若当时，他至少射击4次合格通过的概率最大，则___________．35．（2022·上海市青浦高级中学模拟预测）如图，由个边长为1个单位的小正方形组成一个大正方形．某机器人从C点出发，沿若小正方形的边走到D点，每次可以向右走一个单位或者向上走一个单位．如果要求机器人不能接触到线段，那么不同的走法共有______种．36．（2022·浙江浙江·高三阶段练习）一个袋中共有5个大小形状完全相同的红球、白球和黑球，其中红球有1个.每次从袋中拿一个小球，不放回，拿出红球即停.记拿出的黑球个数为，且，则随机变量的数学期望______.37．（2022·全国·高三专题练习（理））有一道楼梯共10阶，小王同学要登上这道楼梯，登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，小王同学7步登完楼梯的概率为___________.38．（2022·全国·高三专题练习）设随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是______.（填序号）①；②；③；④.39．（2022·全国·高三专题练习）如图，将一个大等边三角形分成三个全等三角形与中间的一个小等边三角形，设.若在大等边三角形内任取一点P，则该点取自小等边三角形内的概率为___________.40．（2022·全国·高三专题练习（文））将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可以看出：，令，是的前项和，则______.41．（2022·全国·高三专题练习）考查等式：(*)，其中，且.某同学用概率论方法证明等式(*)如下：设一批产品共有件，其中件是次品，其余为正品.现从中随机取出件产品，记事件{取到的件产品中恰有件次品}，则，，1，2，…，.显然，，…，为互斥事件，且(必然事件)，因此，所以，即等式(*)成立.对此，有的同学认为上述证明是正确的，体现了偶然性与必然性的统一；但有的同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑.现有以下四个判断：①等式(*)成立，②等式(*)不成立，③证明正确，④证明不正确，试写出所有正确判断的序号___________.42．（2022·浙江·高三专题练习）已知关于的方程有且仅有一个实数根，其中互不相同的实数、、、，且，则、、、的可能取值共有________种．（请用数字作答）43．（2022·全国·高三专题练习）如图，在的点阵中，依次随机地选出，，三个点，则选出的三点满足的概率是___________.44．（2022·全国·高三专题练习）对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9545，至少要测量_____次（若，则）．45．（2022·全国·高三专题练习（文））杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就出现了，在数学史上具有重要的地位．现将杨辉三角中的每一个数都换成，就得到一个如下表所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，比如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和．如果，那么下面关于莱布尼茨三角形的性质描述正确的是__________．①当n是偶数时，中间的一项取得最小值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值；②；③；④．第0行               第1行              第2行              第3行             ……                  ……第n行       ……  46．（2022·上海市进才中学高三期中）定义域为集合上的函数满足：①；②（）；③、、成等比数列；这样的不同函数的个数为________47．（2022·全国·高三专题练习（理））新冠疫情期间，甲､乙､丙三个家庭在某医院等候区等待核酸检测结果.等候区是6（列）×2（行）的座位.甲､乙家庭各有三人，且乙家庭有一个小孩，丙家庭有两人.现有相关规定：同一家庭的人需坐在同一行上，不同家庭的人之间不能太接近（左右不相邻），小孩至少坐在其一位家长身边(左右相邻).则共有______种坐法.48．（2022·重庆·高三阶段练习）验证码就是将一串随机产生的数字或符号，生成一幅图片，图片里加上一些干扰象素（防止），由用户肉眼识别其中的验证码信息，输入表单提交网站验证，验证成功后才能使用某项功能.很多网站利用验证码技术来防止恶意登录，以提升网络安全.在抗疫期间，某居民小区电子出入证的登录验证码由0，1，2，…，9中的五个数字随机组成.将中间数字最大，然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”（例如：如14532，12543），已知某人收到了一个“钟型验证码”，则该验证码的中间数字是7的概率为__________.49．（2022·全国·高三专题练习）2019年暑假期间，河南有一新开发的景区在各大媒体循环播放广告，观众甲首次看到该景区的广告后，不来此景区的概率为，从第二次看到广告起，若前一次不来此景区，则这次来此景区的概率是，若前一次来此景区，则这次来此景区的概率是.记观众甲第n次看到广告后不来此景区的概率为，若当时，恒成立，则M的最小值为__________.50．（2022·上海·高三专题练习）某人有两盒火柴,每盒都有根火柴,每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根,求他发现用完一盒时另一盒还有根()的概率_____.四、双空题51．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是p，随机变量X表示最终的比赛局数，若，则的最大值是_________；的取值范围是___________．52．（2022·天津五十七中模拟预测）第24届冬奥会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，中国邮政陆续发行了多款纪念邮票，其图案包括“冬梦”、“冰墩墩”、“雪容融”等．小王有3张“冬梦”，2张“冰墩墩”和2张“雪容融”邮票；小李有“冬梦”、“冰墩墩”、"雪容融”邮票各1张．小王现随机取出一张邮票送给小李，分别以表示小王取出的是“冬梦”、“冰墩墩”和“雪容融”的事件；小李再随机取出一张邮票，以B表示他取出的邮票是“冰墩墩”的事件，则____________，___________．53．（2022·全国·高三专题练习）某盒中有9个大小相同的球，分别标号为1，2，…，9，从盒中任取3个球，则取出的3个球的标号之和能被3整除的概率是______；记为取出的3个球的标号之和被3除的余数，则随机变量的数学期望______．