专题6 直线与圆压轴小题-2023年新高考数学压轴小题分类专项训练（新高考地区适用）

专题6 直线与圆压轴小题
一、单选题
1．（2022·上海闵行·二模）已知直线与圆有公共点，且公共点的横､纵坐标均为整数，则满足的有（    ）
A．40条 B．46条 C．52条 D．54条
【答案】A
【解析】圆上的整数点共有12个，分别为，
如图所示，

由题意可知：直线的横、纵截距都不为0，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，
所以关于原点对称的两点所连直线不合题意，有6条，舍去，
关于x轴对称的两点所连直线（不含）不合题意，有4条，舍去，
关于y轴对称的两点所连直线（不含）不合题意，有4条，舍去
其中变形为，
几何意义为原点到直线的距离小于等于，
这12个点所连的直线中，除去以上不合要求的直线外，根据弦长从小到大分为类，
以下为具体情况：①，弦长为的直线有4条，
此时原点到此类直线的距离为，不合要求，舍去
②，弦长为的直线有8条，
此时原点到此直线的距离为，不合要求，舍去
③，弦长为的直线有8条，
此时原点到此直线的距离为，满足要去，
④其他情况弦长均大于，故均满足要求，
由组合知识可知：满足要求的直线条数为：
故选：A
2．（2022·全国·高三专题练习）已知实数满足，其中是自然对数的底数，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】实数满足，
，
点在直线上，点在曲线上，
的几何意义就是直线到曲线上点的距离最小值的平方，
考查曲线平行于直线的切线，
，令，
解得，切点为，
该切点到直线的距离，就是所求的直线与曲线间的最小距离，故的最小值为.
故选：D
3．（2022·全国·高三专题练习（文））在平面直线坐标系中,定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点P及上任意一点Q,称的最小值为点P到直线的“切比雪夫距离”记作给出下列四个命题:（    ）
①对任意三点A、B、C，都有
②已知点P(3,1)和直线则
③到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形；
④定点动点满足则点P的轨迹与直线(为常数)有且仅有2个公共点．
其中真命题的个数是（    ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解析】①对任意三点、、，若它们共线，设，、，，
，，如右图，结合三角形的相似可得，，
为，，，或，，，则，，，；
若，或，对调，可得，，，；

若，，不共线，且三角形中为锐角或钝角，由矩形或矩形，
，，，；
则对任意的三点，，，都有，，，；故①正确；
设点是直线上一点，且，
可得，，
由，解得，即有，
当时，取得最小值；
由，解得或，即有，
的范围是，，，．无最值，
综上可得，，两点的“切比雪夫距离”的最小值为．
故②正确；
③由题意，到原点的“切比雪夫距离” 等于的点设为，则，
若，则；若，则，故所求轨迹是正方形，则③正确；
④定点、，动点
满足，，，
可得不轴上，在线段间成立，
可得，解得，
由对称性可得也成立，即有两点满足条件；
若在第一象限内，满足，，，

即为，为射线，
由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线，
则点的轨迹与直线为常数）有且仅有2个公共点．
故④正确；
综上可得，真命题的个数为4个，
故选:.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（　　）
A．（0，1） B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得，三角形ABC的面积为 1，
由于直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（，0），
由直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，
故0，故点M在射线OA上．
设直线y＝ax+b和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为（，）．
①若点M和点A重合，如图：

则点N为线段BC的中点，故N（，），
把A、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b．
②若点M在点O和点A之间，如图：

此时b，点N在点B和点C之间，
由题意可得三角形NMB的面积等于，
即，即 ，可得a0，求得 b，
故有b．
③若点M在点A的左侧，

则b，由点M的横坐标1，求得b＞a．
设直线y＝ax+b和AC的交点为P，则由 求得点P的坐标为（，），
此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即 •（1﹣b）•|xN﹣xP|，
即（1﹣b）•||，化简可得2（1﹣b）2＝|a2﹣1|．
由于此时 b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2 ．
两边开方可得 （1﹣b）1，∴1﹣b，化简可得 b＞1，
故有1b．
综上可得b的取值范围应是 ，
故选B．
5．（2022·甘肃白银·三模（文））在平面直角坐标系中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆的两条切线，，为切点，满足，则的取值范围是（    ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设，，则，
整理得，，解得（舍去）或，
所以点P的轨迹方程为，
若直线与相切时，，解得或，
当曲线与圆有四个交点时，对应的满足题意，
当时，如图所示，二者一个交点，存在一个点，不符合题意，

当时，如下图所示，此时二者有三个交点，存在三个点，不符合题意，

当时，如图所示，二者有两个交点，存在两个点，不符合题意，

当时，如图所示，二者没有交点，不存在点满足题意，

当时，二者有四个交点，存在四个点，满足题意，

综上，．
故选：B．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若，若点不可能在曲线C上，则曲线C的方程可以是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】函数，显然函数在R上单调递增，
又，即
所以关于点成中心对称，且
故，则，
点不可能在曲线C上，说明曲线C的图像恒在直线的区域，
对于A，表示圆心，半径的圆，圆心在直线上，即直线与圆相交，不符合题意；
对于B，表示圆心，半径的圆，圆心到直线的距离，即直线与圆相交，不符合题意；
对于C，表示圆心，半径的圆，圆心到直线的距离，即直线与圆相切，并且圆的图像恒在直线下方，符合题意；
对于D，表示圆心，半径的圆，圆心到直线的距离，即直线与圆相交，不符合题意；
故选：C
7．（2022·全国·高三专题练习（理））已知直线与椭圆切于点，与圆交于点，圆在点处的切线交于点，为坐标原点，则的面积的最大值为
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【解析】设，，，由，，可得四点，，，共圆，
可得以为直径的圆，方程为，
联立圆，相减可得的方程为，
又与椭圆相切，可得过的切线方程为，即为，
由两直线重合的条件可得，，
由于在椭圆上，可设，，，
即有，，
可得，
且，，
即有，

，当即或或或时，
的面积取得最大值．
故选．

8．（2022·全国·高三专题练习（理））中，，，，中，，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题，以点B为坐标原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立直角坐标系；
设点，因为，所以由题易知点D可能在直线AB的上方，也可能在AB的下方；
当点D可能在直线AB的上方；
直线BD的斜率；直线AD的斜率
由两直线的夹角公式可得：
化简整理的
可得点D的轨迹是以点为圆心，半径的圆，且点D在AB的上方，所以是圆在AB上方的劣弧部分；
此时CD的最短距离为：
当当点D可能在直线AB的下方；
同理可得点D的轨迹方程：
此时点D的轨迹是以点为圆心，半径的圆，且点D在AB的下方，所以是圆在AB下方的劣弧部分；
此时CD的最大距离为：
所以CD的取值范围为
9．（2022·辽宁·沈阳市第三十一中学高三阶段练习）已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，圆心为，设点的坐标为，由两点间距离公式得，设，，令解得，由于，可知当时，递增，时，，递减，故当时取得极大值也是最大值为，故，故时，且，所以，函数单调递减.当时，，，当时，，即单调递增，且，即，单调递增，而，故当时，函数单调递增，故函数在处取得极小值也是最小值为，故的最小值为，此时.故选A.

10．（2022·山西·高三阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，为圆上两动点，点，且，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，要使最大只需到中点距离最大，
又且，
令，则，整理得，
所以轨迹是以为圆心，为半径的圆，又，即在圆内，
故，而，故.

故选：D
11．（2022·全国·高三专题练习）已知过点的动直线l与圆C：交于A，B两点，过A，B分别作C的切线，两切线交于点N．若动点，则的最小值为（    ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解析】

易得圆心，半径为4，如图，连接，则，则四点在以为直径的圆上，
设，则该圆的圆心为，半径为，圆的方程为，又该圆和圆的交点弦即为，
故，整理得，又点在直线上，
故，即点轨迹为，又在圆上，故的最小值为
圆心到直线的距离减去半径1，即.
故选：B.
12．（2022·全国·高三专题练习）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知，动直线经过定点，
动直线，即，经过点定点，
动直线和动直线的斜率之积为，始终垂直，
又是两条直线的交点，
，．
设，则，，
由且，可得，
，
，，
，，
，，
，，
故选：B．
13．（2022·全国·高三专题练习）在正三角形中，为中点，为三角形内一动点，且满足，则最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，

不妨设正三角形的边长为，则，，，
设，则，，
，，
，即；
点轨迹为：，
；
当时，，；
当时，令，则表示与连线的斜率，
设直线与圆相切，
则圆心到直线距离，解得：或，
，
则当时，取得最小值，；
综上所述：最小值为.
故选：D.
14．（2022·江苏·金陵中学高三学业考试）已知点，，，直线将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得，三角形ABC的面积为 1，
由于直线与x轴的交点为M，
由直线将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，
故0，故点M在射线OA上．
设直线和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为，
①若点M和点A重合，如图：

则点N为线段BC的中点，故N（，），
把A、N两点的坐标代入直线，求得a＝b．
②若点M在点O和点A之间，如图：

此时，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，
即，即 ，可得a0，求得 b，
故有．
③若点M在点A的左侧，

则，由点M的横坐标1，求得b＞a．
设直线和AC的交点为P，则由 求得点P的坐标为，
此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即 ，
即，化简可得 ．
由于此时 b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2 ．
两边开方可得 1，∴，化简可得，
故有1．
综上可得b的取值范围应是 ，
故选：B．
15．（2022·安徽·合肥市第五中学模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy中，已知，，动点满足，直线l：与动点Q的轨迹交于A，B两点，记动点Q轨迹的对称中心为点C，则当面积最大时，直线l的方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设，由题意得，化简可得动点Q的轨迹方程为，
圆心为，半径为．
又由，可得．
则由解得所以直线l过定点，
因为，所以点在圆C的内部．

作直线，垂足为D，设，因为，
所以，所以，
所以，
所以当，即时，．
此时，又，
所以直线l的斜率为，所以直线l的方程为，
故选：A．
16．（2022·安徽阜阳·高三期末（理））闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义.设两组数据分别为和，这两组数据间的闵氏距离定义为，其中q表示阶数.现有下列四个命题：
①若，则；
②若，其中，则；
③若，其中，则；
④若，其中，则的最小值为.
其中所有真命题的个数是（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】对于①：，故①正确.
对于②：，故②错误.
对于③：，不妨设，，且均为非负数，所以故③正确.
对于④：构造函数，则，的最小值即两曲线动点间的最小距离，设与直线平行的切线方程为，联立 得：，令得，，所以切线方程为：与之间的距离，所以最小值为，故④正确.
故选C.
二、多选题
17．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆O的两条切线，A，B为切点，满足，则k的值可能为（    ）
A．-7 B．-5 C．-2 D．–1
【答案】ABC
【解析】设，连接，设，
则，，
所以，
又，
所以
令，则有，
解得：或
因为在单位圆外，所以舍去，
即在以原点为圆心，半径为2的圆上，
因为曲线上存在四个点（i＝1，2，3，4），
即与圆有4个交点，
结合图象可知，且只需原点到直线的距离小于半径2即可，

所以，解得：或（舍去），
故选：ABC
18．（2022·全国·高三专题练习）已知a>0，圆C：，则（    ）
A．存在3个不同的a，使得圆C与x轴或y轴相切
B．存在2个不同的a，使得圆C在x轴和y轴上截得的线段相等
C．存在2个不同的a，使得圆C过坐标原点
D．存在唯一的a，使得圆C的面积被直线平分
【答案】ACD
【解析】由条件可知，圆C的半径为1，圆心坐标为（a，lna），即圆心在曲线y＝ln x上运动．
对于A，当a＝1时，圆C与y轴相切，当，即a＝e或时，圆C与x轴相切，所以满足要求的a有3个，A正确；
对于B，若圆C在x轴和y轴上截得的线段相等，则圆心到x轴和y轴的距离相等，故圆心在上，又圆心在y＝lnx上，作图可知曲线y＝lnx与y＝x没有公共点，与y＝-x有一个交点，所以满足要求的a仅有一个，B错误；

对于C，若圆C过坐标原点，则，如下图可知，曲线y＝lnx与有两个交点，所以满足要求的a有2个，C正确；

对于D，若圆C的面积被直线平分，则直线经过圆心（a，ln a），计算可知曲线y＝lnx在x＝e处的切线恰好为，即满足要求的a仅有一个，故D正确．
故选：ACD.
19．（2022·全国·高三专题练习）曼哈顿距离(或出租车几何)是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语.例如，在平面上，点和点的曼哈顿距离为：.若点为上一动点，为直线上一动点，设为，两点的曼哈顿距离的最小值，则的可能取值有（    ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】直线恒过定点A(2，-4)，
由点(0，0)到直线的距离得，即直线与圆相离，
(1)当l的斜率k满足|k|