2023年河北省秦皇岛市开发区中考数学一模试卷（含答案）

这是一份2023年河北省秦皇岛市开发区中考数学一模试卷（含答案），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年河北省秦皇岛市开发区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题有16个小题，共42分．1～10小题各3分，11-16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）如图，数轴上点A对应的数是，将点A沿数轴向左移动2个单位至点B，则点B对应的数是（　　）

A．﹣ B．﹣2 C． D．
2．（3分）下列交通标志中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）根据图中三视图可知该几何体是（　　）

A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．8a﹣3b＝5ab B．（a2）3＝a5 C．a9÷a3＝a3 D．a2•a＝a3
5．（3分）函数y＝+的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥2，且x≠3 B．x≥2 C．x≠3 D．x＞2，且x≠3
6．（3分）不等式组的解集是（　　）
A．﹣3≤x＜3 B．x＞﹣2 C．﹣3≤x＜﹣2 D．x≤﹣3
7．（3分）在平面直角坐标系中，点G的坐标是（﹣2，1），连接OG，将线段OG绕原点O旋转180°，得到对应线段OG'，则点G'的坐标为（　　）
A．（2，﹣1） B．（2，1） C．（1，﹣2） D．（﹣2，﹣1）
8．（3分）如图，在△ABC中，D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，H为AF与DG的交点．若AC＝6，则DH＝（　　）

A．2 B．1 C．0.5 D．1.5
9．（3分）如图，在⊙O中，AB为直径，∠AOC＝80°．点D为弦AC的中点，点E为上任意一点．则∠CED的大小可能是（　　）

A．10° B．20° C．30° D．40°
10．（3分）若二次函数y＝a2x2﹣bx﹣c的图象，过不同的六点A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1）、D（，y1）、E（2，y2）、F（4，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y3
11．（2分）化简÷的结果是（　　）
A． B． C． D．
12．（2分）不解方程，判别方程2x2﹣3x＝3的根的情况（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个实数根 D．无实数根
13．（2分）将抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，则抛物线C2的解析式为（　　）
A．y＝﹣x2﹣2 B．y＝﹣x2+2 C．y＝x2﹣2 D．y＝x2+2
14．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转得到△A'B'C，D是A'B'的中点，连接BD，若BC＝2，∠ABC＝60°，则线段BD的最大值为（　　）

A． B． C．3 D．4
15．（2分）如图，已知点A（﹣8，0），B（2，0），点C在直线y＝﹣上，则使△ABC是直角三角形的点C的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
16．（2分）如图，等腰梯形MNPQ的腰长为3，正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN进行翻滚，翻滚到有一个顶点与N重合即停止滚动，求正方形在翻滚过程中点A所经过的路线长（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（体大题有3个小题．共12分．17～18小题各3分；19小题6分）
17．（3分）因式分解：m3n﹣mn3＝　 　．
18．（3分）如图，正六边形ABCDEF的顶点A、F分别在正方形BMGH的边BH、GH上．若正方形BMGH的边长为6，则正六边形ABCDEF的边长为 　 　．

19．（6分）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b（k＜0），经过点（6，0），且与坐标轴围成的三角形的面积是9，与曲线的图象G交于A，B两点．
（1）则直线的表达式为 　 　；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫作整点．记图象G在点A、B之间的部分与线段AB围成的区域（不含边界）为W．则区域W内的整点的坐标是 　 　．
三、解答题（本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）请你根据下图中所给的内容，完成下列各小题．
我们定义一个关于非零常数a，b的新运算，规定：a◎b＝ax+by．例如：3◎2＝3x+2y．
（1）如果x＝﹣5，2◎4＝﹣18，求y的值；
（2）1◎1＝8，4◎2＝20，求x，y的值．
21．（8分）如图，在数轴上点A，B表示的数分别为﹣2，1，P为A点左侧上的一点，它表示的数为x．
（1）用含．x的代数式表示的值．
（2）若以PO，PA，AB的长为边长能构成等腰三角形，请求出符合条件的x的值．

22．（9分）某校为了增强学生的体质，引导同学们积极参加体育锻炼，学校购买了一批跳绳供学生借用，现从八年级随机抽取了部分学生对跳绳进行测试，并绘制了如下的两幅不完整的统计表和统计图．请根据相关信息，解答下列问题．
一分钟跳绳成绩的分组统计表：
组别
跳绳次数分段
频数
A
40≤x＜80
n
B
80≤x＜120
70
C
120≤x＜160
76
D
160≤x＜200
34
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为　 　人，统计表中的n的值为 　 　，扇形统计图中B组所对的圆心角为 　 　；
（2）抽取学生一分钟跳绳成绩的中位数所在的组别是 　 　；
（3）现在指定两名男生和两名女生负责跳绳发放和整理工作，若两人一组，随机组合，请用画树状图或列表法求出恰好分组是一男一女的概率是多少？

23．（9分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°．

（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C顺时针旋转．当点D恰好落在AB边上时．
①线段DE与AC的位置关系是　 　．（不需证明）
②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是　 　，证明你的结论；
（2）猜想论证
当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想．
24．（10分）定义：如果二次函数，（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函致互为“旋转函数”．例如：求函数y＝2x2﹣3x+1的“旋转函数”，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝3，c1＝1．根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0求出a2、b2、c2就能确定这个函数的“旋转函数”．
请思考并解决下面问题：
（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”；
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，求（m+n）2023的值；
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
25．（10分）在2012年日市初中学业水平考试体育学科的女子800米耐力测试中，某考点的王芳同学所跑的路程 s（米）与所用时间 t （秒）之间的函数图象为折线OBCD．和她同时起跑的李梅同学前600米的速度保持在5米/秒，后来因为体力下降，速度变慢，但还保持匀速奔跑，结果和王芳同学同时到达终点．
（1）直接在图中画出李梅同学所跑的路程s（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象；
（2）求王芳同学测试中的最快速度；
（3）求李梅同学在起跑后多少秒追上王芳同学，这时她们距离终点还有多少米？

26．（12分）如图，⊙O的半径为，正三角形ABC的顶点B的坐标为（2，0），顶点A在⊙O上运动．
（1）当点A在x轴正半轴上时，求点C的坐标；
（2）点A在运动过程中，是否存在直线AB与⊙O相切的位置关系？若存在，请直接写出点C的坐标；
（3）设点A的横坐标为x，△ABC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值．


2023年河北省秦皇岛市开发区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有16个小题，共42分．1～10小题各3分，11-16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【分析】借助数轴，可直观得结论，亦可运用有理数的加减得结论．
【解答】解：点A向左移动2个单位，
点B对应的数为：﹣2＝﹣．
故选：A．
【点评】本题考查了点在数轴上的移动，点沿数轴往正方向移动，点对应的数加移动的距离得到移动后的数，点沿数轴往负方向移动，点对应的数减移动的距离得到移动后的数．
2．【分析】根据中心对称图形的概念即可求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后能与自身重合，难度一般．
3．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：根据图中三视图可知该几何体是三棱柱．
故选：B．
【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力以及对立体图形的认识．
4．【分析】根据合并同类项法则和幂的运算法则进行解答便可．
【解答】解：A．不是同类项不能合并，选项错误；
B．原式＝a2×3＝a6，选项错误；
C．a9÷a3＝a9﹣3＝a6，选项错误；
D．a2•a＝a2+1＝a3，选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了合并同类项法则和幂的运算法则，熟记法则是解题的关键．
5．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，以及分母不等于0，就可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0，且x﹣3≠0，
解得x≥2，且x≠3．
故选：A．
【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
6．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：不等式组，
由①得：x＜﹣2，
由②得：x≥﹣3，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7．【分析】根据中心对称的性质解决问题即可．
【解答】解：由题意G与G′关于原点对称，
∵G（﹣2，1），
∴G′（2，﹣1），
故选：A．
【点评】本题考查旋转变换，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8．【分析】由三等分点的定义与平行线分线段成比例定理得出BE＝DE＝AD，BF＝GF＝CG，AH＝HF，则AB＝3BE，DH是△AEF的中位线，然后再证△BEF∽△BAC，可得＝，解得EF＝2，则．
【解答】解：∵D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，
∴BE＝DE＝AD，BF＝GF＝CG，AH＝HF，
∴AB＝3BE，DH是△AEF的中位线，
∴，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴，即，解得：EF＝2，
∴．
故选：B．
【点评】本题主要考查了三等分点的定义、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
9．【分析】连接BC，延长ED交⊙O于N，连接OD，并延长交⊙O于M，根据已知条件求出的度数是80°，根据点D为弦AC的中点得出＝，求出和的度数＝40°，即可求出40°＜的度数＜80°，再得出答案即可．
【解答】解：
连接BC，延长ED交⊙O于N，连接OD，并延长交⊙O于M，
∵∠AOC＝80°，
∴的度数是80°，
∵点D为弦AC的中点，OA＝OC，
∴∠AOD＝∠COD，
∴＝，
即M为的中点，
∴和的度数都是80°＝40°，
∵＞，
∴40°＜的度数＜80°，
∴20°＜∠CED＜40°，
∴选项C符合题意；选项A、选项B、选项D都不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识点，能求出的范围是解此题的关键．
10．【分析】由解析式可知抛物线开口向上，点A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1）求得抛物线对称轴所处的范围，然后根据二次函数的性质判断可得．
【解答】解：由题意
②﹣①得，24a2﹣6b＝﹣1 ④，
③﹣②得，11a2﹣b＝2 ⑤，
④﹣6×⑤得到，a2＝，可得b＝，
∴抛物线的对称轴x＝﹣＝，
∵D（，y1）、E（2，y2）、F（4，y3），
则y2＜y1＜y3，
故选：D．
解法二：
解：由二次函数y＝a2x2﹣bx﹣c可知，抛物线开口向上，
∵A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1）、
∴A点关于对称轴的对称点在5与6之间，
∴对称轴的取值范围为2＜x＜2.5，
∴y1＞y2，
∵点D到对称轴的距离小于2.5﹣，点F到对称轴的距离大于4﹣2.5＝1.5，
∴y2＜y1＜y3，
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到抛物线的对称轴和开口方向是解题的关键．
11．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝•
＝
故选：D．
【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
12．【分析】先把方程化为一般式得到2x2﹣3x﹣3＝0，再计算Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣3）＝18+24＞0，然后根据△的意义判断方程根的情况．
【解答】解：方程整理得2x2﹣3x﹣3＝0，
∵Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣3）＝18+24＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
13．【分析】根据题意易得平移前抛物线的顶点式，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线向左平移1个单位长度后得到的抛物线的解析式为：y＝（x﹣1+1）2+2，
即y＝x2+2，
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，关键是得出抛物线的顶点坐标的求法及抛物线平移不改变二次项的系数的值．
14．【分析】连接CD，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知CD＝2，在△BCD中，利用三角形三边关系可得BD的最大值．
【解答】解：如图，连接CD，

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，∠ABC＝60°，则∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝4，
由旋转可知，A'B'＝4，
∵D是A'B'的中点，
∴，
在△BCD中，利用三角形三边关系可得BD≤BC+CD（当B，C，D三点共线时取等号），
∴BD≤BC+CD＝4，
∴BD的最大值为4，
故选：D．

【点评】本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形三边关系，旋转的性质等知识，掌握几何最值的求解方法是解题的关键．
15．【分析】根据∠A为直角，∠B为直角与∠C为直角三种情况进行分析．
【解答】解：如图，

①当∠A为直角时，过点A作垂线与直线的交点W（﹣8，10），
②当∠B为直角时，过点B作垂线与直线的交点S（2，2.5），
③若∠C为直角
则点C在以线段AB为直径、AB中点E（﹣3，0）为圆心、5为半径的圆与直线y＝﹣的交点上．
在直线y＝﹣中，当x＝0时y＝4，即Q（0，4），
当y＝0时x＝，即点P（，0），
则PQ＝＝，
过AB中点E（﹣3，0），作EF⊥直线l于点F，
则∠EFP＝∠QOP＝90°，
∵∠EPF＝∠QPO，
∴△EFP∽△QOP，
∴＝，即＝，
解得：EF＝5，
∴以线段AB为直径、E（﹣3，0）为圆心的圆与直线y＝﹣恰好有一个交点．
所以直线y＝﹣上有一点C满足∠C＝90°．
综上所述，使△ABC是直角三角形的点C的个数为3，
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数综合题，在解答此题时要分三种情况进行讨论，关键是根据圆周角定理判断∠C为直角的情况是否存在．
16．【分析】先根据点A绕点D翻滚，然后绕点C翻滚，半径分别为1、，翻转角分别为90°、90°，据此画出图形．再结合总结的翻转角度和翻转半径，求出两端圆弧之和即可．
【解答】解：作图如图；

∵点A绕点D翻滚，然后绕点C翻滚，半径分别为1、，翻转角分别为90°、90°，
，
故选：A．

【点评】本题考查了弧长的计算、旋转的性质，作出图形并掌握弧长公式解题的关键．
二、填空题（体大题有3个小题．共12分．17～18小题各3分；19小题6分）
17．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝mn（m2﹣n2）
＝mn（m+n）（m﹣n）．
故答案为：mn（m+n）（m﹣n）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
18．【分析】根据正多边形的性质和直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半可以求得AF的长．
【解答】解：设AF＝x，则AB＝x，AH＝6﹣x，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BAF＝120°，
∴∠HAF＝60°，
∵∠AHF＝90°，
∴∠AFH＝30°，
∴AF＝2AH，
∴x＝2（6﹣x），
解得x＝4，
∴AB＝4，
即正六边形ABCDEF的边长为4，
故答案为：4．
【点评】本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．【分析】（1）借助直线与x轴、y轴的交点坐标表示出直线与坐标轴围成的三角形的两条直角边长，利用面积是9，求出直线与y轴的交点为C（0，3），利用待定系数法求出直线的表达式；
（2）联立两函数解析式可求图象的交点坐标，再结合图象找到区域W内的整点的坐标．
【解答】解：如图：

（1）设直线与y轴的交点为C（0，b），
∵直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 9，
∴，
可得b＝±3，
∵k＜0，
∴b＝3，
∵直线 y＝kx+b经过点（6，0）和（0，3），
∴直线的表达式为；
故答案为：．
（2）联立，
解得：或，
∴，，
观察图象可得区域W内的整点的坐标为（3，1）．
故答案为：（3，1）．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，结合图象利用反比例函数与一次函数的交点解决问题．
三、解答题（本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．【分析】（1）根据题意，得出方程组，解答即可；
（2）根据题意，得出方程组，解答即可．
【解答】解：（1）根据题意，得2x+4y＝﹣18，把x＝﹣5代入，
得﹣10+4y＝﹣18，解得y＝﹣2；
（2）根据题意，得，解得．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．
21．【分析】（1）由于A，B表示的数分别为﹣2，1，P为A点左侧上的一点，它表示的数为x，首先用x分别表示PA、PB，然后代入所求代数式即可求解；
（2）分三种情况讨论：①当PO＝BA时；②当PO＝PA时；③当AB＝PA时，分别建立方程即可求解．
【解答】解：（1）∵A，B表示的数分别为﹣2，1，P为A点左侧上的一点，它表示的数为x，
∴PA＝﹣2﹣x，PB＝1﹣x，
∴＝＝；
（2）∵以PO，PA，AB的长为边长构成等腰三角形，
∴①当PO＝BA时，﹣x＝3，
∴x＝﹣3，
此时PA＝1，能构成等腰三角形；
②当PO＝PA时，﹣x＝﹣2﹣x，
方程无解，不能构成等腰三角形；
③当AB＝PA时，3＝﹣2﹣x，
∴x＝﹣5，
∴PO＝5，能构成等腰三角形．
∴符合条件的x的值有x＝﹣3或﹣5．
【点评】此题分别考查了数轴上点的坐标表示线段的长度，等腰三角形的分类讨论，有一定的综合性，对于学生的能力要求比较高．
22．【分析】（1）由C组的人数除以所占百分比得出本次接受随机抽样调查的学生人数，即可解决问题；
（2）由中位数的定义即可得出结论；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好分组是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为：76÷38%＝200（人），
则n＝200×10%＝20，扇形统计图中B组所对的圆心角为360°×＝126°，
故答案为：200，20，126°；
（2）∵34+76＝110，中位数为第100个成绩和第101个成绩的平均数，
∴抽取学生一分钟跳绳成绩的中位数所在的组是C组，
故答案为：C；
（3）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中恰好分组是一男一女的结果有8种，
∴恰好分组是一男一女的概率是＝．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率以及频数分布表和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．【分析】（1）①根据旋转的性质可得AC＝CD，然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD＝60°，然后根据内错角相等，两直线平行进行解答；
②根据等边三角形的性质可得AC＝AD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC＝AB，然后求出AC＝BD，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；
（2）根据旋转的性质可得BC＝CE，AC＝CD，再求出∠ACN＝∠DCM，然后利用“角角边”证明△ACN和△DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN＝DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明．
【解答】解：（1）①DE∥AC，
理由如下：如图2，∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，
∴AC＝CD，
∵∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
又∵∠CDE＝∠BAC＝60°，
∴∠ACD＝∠CDE，
∴DE∥AC；
②∵∠B＝30°，∠C＝90°，
∴CD＝AC＝AB，
∴BD＝AD＝AC，
根据等边三角形的性质可得，△ACD的边AC、AD上的高相等，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S1＝S2，
故答案为：①DE∥AC；②S1＝S2；

（2）如图3，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，
∴BC＝CE，AC＝CD，
∵∠ACN+∠BCN＝90°，∠DCM+∠BCN＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ACN＝∠DCM，
在△ACN和△DCM中，
，
∴△ACN≌△DCM（AAS），
∴AN＝DM，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S1＝S2．


【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积计算公式，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质的综合应用，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键．
24．【分析】（1）根据“旋转函数”的定义求出另一个函数的a、b、c的值，从而得出函数解析式；
（2）根据定义得出m和n的二元一次方程组，从而得出答案；
（3）首先求出A、B、C三点的坐标，然后得出对称点的坐标，从而求出函数解析式，然后根据新定义进行判定．
【解答】解：（1）根据题意得，
解得，
故解析式为：y＝﹣x2﹣4x﹣3．
（2）根据题意得，
∴，
∴（m+n）2023＝（﹣2+3）2023＝12023＝1．
（3）根据题意得A（1，0），B（3，0），C（0，﹣6），
∴A1（﹣1，0），B1（﹣3，0），C1（0，6），
又y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，
且经过点A1，B1，C1的二次函数为y＝﹣2（x+1）（x﹣3）＝﹣2x2+4x+6，
∵，
∴两个函数互为“旋转函数”．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，涉及了待定系数法，关于原点对称的点的坐标等知识，正确理解题意，熟练运用相关知识是解题的关键．
25．【分析】（1）求出李梅同学前600米的时间就可以确定李梅600米时的图象位置E，再连接OE、DE就可以画出图象；
（2）根据函数图象求出王芳跑OB，BC，CD三段路程的速度，再比较大小就可以求出王芳的最快速度；
（3）运用待定系数法求出BC的解析式和OE的解析式，再根据一次函数与二元一次方程的关系就可以求出李梅同学在起跑后追上王芳同学的时间和离终点的距离．
【解答】解：（1）由题意，得
600÷5＝120，
∴李梅运动中的图象经过E（120，600），
∴在平面直角坐标系中描出这点E，再连接OE，DE就可以画出李梅同学所跑的路程s（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象，如图：

（2）由图象，得
王芳OB段的速度为：300÷50＝6米/秒；
王芳BC段的速度为：（600﹣300）÷（180﹣50）＝米/秒；
王芳CD段的速度为：（800﹣600）÷（220﹣180）＝5米/秒；
∴6＞5＞，
∴王芳同学测试中的最快速度为6米/秒；

（3）设直线BC的解析式为y1＝k1x+b1，设直线OE的解析式为y2＝k2x，由题意，得
及600＝120k2，
解得：，k2＝5，
y1＝x+，y2＝5x，
当y1＝y2时，
x+＝5x，
∴x＝，
当x＝时，
y2＝，
800﹣＝．
答：李梅同学在起跑后秒追上王芳同学，这时她们距离终点还有米．

【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式的运用，描点法画函数图象的运用，一次函数的交点坐标点的运用，解答本题时正确理解函数图象表示的意义是关键．
26．【分析】（1）点A在x轴的正半轴，根据等边三角形的性质可得出点C的坐标．
（2）根据题意画出图形，分两种情况：①点A在上半圆上，②点A在下半圆上，进行讨论即可；
（3）过点A作AE⊥OB于点E，利用勾股定理得AB2＝AE2+BE2＝7﹣4x，根据可得函数关系式，根据函数增减性，利用可得最值．
【解答】解：（1）点A在x轴的正半轴，如图，即：点A的坐标为，

当点C在x轴上方时，
可得等边三角形的边长＝，
由等边三角形的性质可得，
∵B的坐标为（2，0），点A的坐标为，
∴，
故可得点C的坐标为；
当点C在x轴下方时，由对称可知，点C的坐标为；
即：点C的坐标为或；
（2）连接OA，①当A点在x轴上方时，
当点C在AB右侧时，作CE⊥x轴，

∵直线AB与⊙O相切，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，OB＝2，，
∴，AB＝BC＝1，
∴∠OBA＝60°，
∴∠CBE＝60°，
∴，，
∴点C的坐标；
当点C在AB左侧时，

∵∠OBA＝60°，
∴C点在x轴上，OC＝OB﹣BC＝2﹣1＝1，
∴点C的坐标为（1，0）；
②当A点在x轴下方时，由对称可知，点C的坐标为或（1，0）；
综上所述，点C的坐标为或或（1，0）；
（3）过点A作AE⊥OB于点E，

在Rt△OAE中，AE2＝OA2﹣OE2＝3﹣x2，
在Rt△BAE中，AB2＝AE2+BE2＝（3﹣x2）+（2﹣x）2＝7﹣4x，
故，
其中，
当时，S的最大值为，
当时，S的最小值为．




【点评】此题考查了切线的性质、一次函数的性质、等边三角形的性质及勾股定理的知识，综合考查的知识点较多，关键是仔细审题，仔细、逐步解答．
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