人教版中考一轮复习 第5讲 二次函数--基础班 试卷

第5讲 二次函数

知识点1 二次函数图象和性质
概念：一般地，形如(a、b、c是常数，)的函数叫做x的二次函数.
其中：x的最高次数为2且a≠0。
1、

2.二次函数与的比较
从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中
3.二次函数图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
4. 二次函数的性质
（1）当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．
（2） 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．
【典例】
例1 二次函数y＝﹣2（x+2）2﹣3的对称轴是直线　x＝﹣2　．
【解答】解：由二次函数y＝﹣2（x+2）2﹣3的表达式可知，其图象的对称轴是直线x＝﹣2．
故答案为：x＝﹣2．
【方法总结】
本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
例2 抛物线y＝2（x+1）2的开口　向上　，顶点坐标为　（﹣1，0）　．
【解答】解：抛物线y＝2（x+1）2开口向上，顶点坐标是（﹣1，0），
故答案为：向上，（﹣1，0）．
【方法总结】
本题考查了二次函数解析式的顶点式与其性质的联系，根据二次项系数的符号确定开口方向，根据顶点式确定顶点坐标及对称轴．
例3 已知点（2，0）在抛物线y＝﹣3x2+（k+3）x﹣k上，求此抛物线的对称轴．
【解答】解：∵点（2，0）在抛物线y＝﹣3x2+（k+3）x﹣k上，
∴0＝﹣3×22+（k+3）×2﹣k，
解得，k＝6，
∴抛物线y＝﹣3x2+（6+3）x﹣6＝﹣3x2+9x﹣6，
∴该抛物线的对称轴是直线x=-92×(-3)=32，
即此抛物线的对称轴是直线x=32．
【方法总结】
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
例4 已知二次函数y＝（x﹣m+3）（x+m﹣5）+n，其中m，n为常数，则（　　）
A．m＞1，n＜0 时，二次函数的最小值大于 0
B．m＝1，n＞0 时，二次函数的最小值大于 0
C．m＜1，n＞0 时，二次函数的最小值小于 0
D．m＝1，n＜0 时，二次函数的最小值小于 0
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣m+3）（x+m﹣5）+n，
∴当m＝1时，y＝（x﹣1+3）（x+1﹣5）+n
＝（x+2）（x﹣4）+n
＝x2﹣2x﹣8+n
＝（x﹣1）2﹣9+n
∴当m＝1，n＞0时，二次函数的最小值为y＝﹣9+n，当0＜n≤9时，﹣9+n≤0，故B错误；
当m＝1，n＜0时，二次函数的最小值为y＝﹣9+n＜0，故D正确；
选项A：当m＞1，n＜0时，不妨取m＝3，
则y＝x（x﹣2）+n＝x2﹣2x+n＝（x﹣1）2﹣1+n，此时二次函数的最小值为﹣1+n，小于0，故A错误；
选项C：当m＜1，n＞0时，不妨取m＝0，
则y＝（x+3）（x﹣5）+n＝x2﹣2x﹣15+n＝（x﹣1）2﹣16+n，此时二次函数的最小值为﹣16+n，
当n≥16＞0时，﹣16+n≥0，故C 错误；
综上，只有D正确．
故选：D．
【方法总结】
本题考查了二次函数的最值，熟练运用配方法并明确二次函数的相关性质是解题的关键．
例5 求函数y＝2x2﹣ax+1当0≤x≤1时的最小值．
【解答】解：对称轴x=-b2a=--a2×2=a4，
①a4≤0，即a≤0时，0≤x≤1范围内，y随x的增大而增大，
当x＝0时，y最小，最小值y＝2×02﹣a×0+1＝1，
②0＜a4＜1，即0＜a＜4时，
当x=a4时有最小值，最小值y＝2×（a4）2﹣a×a4+1＝1-a28，
③a4≥1，即a≥4时，0≤x≤1范围内，y随x的增大而减小，
当x＝1时，y最小，最小值y＝2×12﹣a×1+1＝3﹣a，
综上所述，a≤0时，最小值为1，
0＜a＜4时，最小值为1-a28，
a≥4时，最小值为3﹣a．
【方法总结】
本题考查了二次函数的最值问题，主要利用了二次函数的增减性，注意根据二次函数的对
称轴分情况讨论求解．

【随堂练习】
1．当实数m的值满足　m＜﹣1　范围时，使得事件“对于二次函数y=12x2﹣（m﹣1）x+3，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小”成为随机事件．
【解答】解：y=12x2﹣（m﹣1）x+3
x=-b2a=m﹣1，
∵当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，
∴m﹣1＜﹣2，
解得：m＜﹣1，
∴m＜﹣1的任意实数即可是随机事件，
故答案为：m＜﹣1．
2．二次函数y＝2x2﹣bx+3的对称轴是直线x＝1，则b的值为多少？
【解答】解：∵二次函数y＝2x2﹣bx+3的对称轴是直线x＝1，
∴x=--b2×2=1，
∴b＝4．
则b的值为4．
3．已知二次函数y＝﹣（x+a）2+2a﹣1（a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当a取四个不同数值时此二次函数的图象．发现它们的顶点在同一条直线上，那么这条直线的表达式是　y＝﹣2x﹣1　．

【解答】解：由已知得抛物线顶点坐标为（﹣a，2a﹣1），
设x＝﹣a①，y＝2a﹣1②，
①×2+②，消去a得，2x+y＝﹣1，
即y＝﹣2x﹣1．
故答案为：y＝﹣2x﹣1．
4．已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，若y3＜y2＜y4，则y1，y2，y3，y4的最值情况是（　　）
A．y3最小，y1最大 B．y3最小，y4最大
C．y1最小，y4最大 D．无法确定
【解答】解：∵二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，且y3＜y2＜y4，
∴抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，
∴P1（﹣3，y1）离对称轴的距离最大，P3（1，y3）离对称轴距离最小，
∴y3最小，y1最大，
故选：A．
知识点2 二次函数与方程不等式综合
1、二次函数与x轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）
抛物线与x轴交点的个数由一元二次方程中的决定。
若，抛物线与x轴有两个交点，方程有两个不等的实根，这两个与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的两个实根。
若，抛物线与x轴有一个交点，方程有两个相等的实根，此时一元二次方程的根就是抛物线顶点的横坐标。
若，抛物线图像与x轴没有交点，方程无实根，抛物线在x轴上方，，抛物线在x轴下方。
2、二次函数与不等式的综合
二次函数与一元二次不等式之间的关系
若，的解集为；
的解集为。
若，的解集为；
的无解。
若，的解集为x可取任意实数。
的无解。
【典例】
例1（2020秋•同心县期末）抛物线y＝3x2﹣2x﹣1与x轴的交点个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：∵△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣1）＝16＞0，
∴抛物线y＝3x2﹣2x﹣1与x轴有2个交点．
故选：C．
【方法总结】
此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确求出b2﹣4ac的值是解题关键．
例2（2020秋•长春期末）根据下列表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）的根的个数是（　　）
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y＝ax2+bx+c
0.02
0.01
0.02
0.04
A．1或2 B．1 C．2 D．0
【解答】解：由表格中的对应值可得出，抛物线的最小值为0.01，
∴抛物线与x轴没有交点，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）没有实数根，
故选：D．
【方法总结】
本题考查了二次函数与方程的关系，结合表格中的数据判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）无实数解是解题的关键．
例3（2020秋•绥中县期末）抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴的交点情况是（　　）
A．有两个交点 B．只有一个交点
C．没有交点 D．无法判断
【解答】解：∵y＝x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3），
∴当y＝0时，x＝2或x＝3，
即抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴的交点坐标为（2，0），（3，0），
故抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴有两个交点，
故选：A．
【方法总结】
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
例4（2020秋•盐池县期末）如图，抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　）

A．0＜x＜2 B．x＜0或x＞2 C．x＜0或x＞4 D．0＜x＜4
【解答】解：联立y=-x2+4xy=2x，
解得x1=0y1=0，x2=2y2=4，
∴两函数图象交点坐标为（0，0），（2，4），
由图可知，y1＜y2时x的取值范围是x＜0或x＞2．
故选：B．

【方法总结】
本题考查了二次函数与不等式，此类题目利用数形结合的思想求解更加简便．
例5（2020秋•广饶县期中）如图，已知二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝kx+m的图象相交于点A（﹣3，5），B（7，2），则能使y1≤y2成立的x的取值范围是（　　）

A．2≤x≤5 B．x≤﹣3或x≥7 C．﹣3≤x≤7 D．x≥5或x≤2
【解答】解：由图可知，能使y1≤y2成立的x的取值范围是﹣3≤x≤7；
故选：C．
【方法总结】
本题考查了二次函数与不等式，此类题目利用数形结合的思想求解更简便．
例6（2020秋•田林县期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，图象交x轴于A（3，0）、B（﹣1，0）两点，交y轴于点C（0，3），根据图象解答下列问题：
（1）直接写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；
（2）直接写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；
（3）直接写出不等式ax2+bx+c＜3的解集．

【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A（3，0）、B（﹣1，0）两点，
∴ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝3、x2＝﹣1；
（2）由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜3；
（3）∵点C（0，3），
∴点C关于对称轴的对称点为：（2，3），
∴不等式ax2+bx+c＜3的解集为x＜0或x＞2．
【方法总结】
本题考查的是二次函数与不等式（组），主要要求学生通过观察函数图象的方式来求解不等式．
【随堂练习】
1．（2020•路南区一模）已知二次函数y＝（a+1）x2+2bx+（a+1）的图象和x轴只有一个公共点，则下列判断正确的是（　　）
A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根
B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根
C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根
D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根
【解答】解：∵二次函数y＝（a+1）x2+2bx+（a+1）的图象和x轴只有一个公共点，
∴a+1≠0(2b)2-4(a+1)2=0，
∴b＝a+1或b＝﹣（a+1）．
当b＝a+1时，有a﹣b+1＝0，此时﹣1是方程x2+bx+a＝0的根；
当b＝﹣（a+1）时，有a+b+1＝0，此时1是方程x2+bx+a＝0的根．
∵a+1≠0，
∴a+1≠﹣（a+1），
∴1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根．
故选：D．
2．（2020秋•德惠市期末）若抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2与x轴只有一个交点，求k的值及顶点坐标．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2与x轴只有一个交点，
∴当y＝0时，方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝[﹣2（k﹣1）]2﹣4k2＝0，
解得：k=12．
当k=12时，该二次函数为：y＝x2+x+14=（x+12）2．
∴顶点坐标是（-12，0）．
3．（2020秋•海珠区校级期中）已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣3的大致图象如图：
（1）求该二次函数与x轴的交点坐标和顶点坐标；
（2）结合（1）的结论及该二次函数的图象，写出当y＞0时，x的取值范围．

【解答】解：（1）当y＝0时，﹣x2+4x﹣3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
所以该二次函数与x轴的交点坐标为（1，0）（3，0）；
因为y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
所以抛物线的顶点坐标为（2，1）；

（2）由图象可知，当y＞0时，1＜x＜3．

4．（2020秋•东城区校级期中）如图，直线y1＝2x和抛物线y2＝﹣x2+4x，当y1＞y2时，x的取值范围是（　　）

A．0＜x＜2 B．x＜0或x＞2 C．x＜0或x＞4 D．0＜x＜4
【解答】解：由y=2xy=-x2+4x，解得x=0y=0或x=2y=4，
∴两函数图象交点坐标为（0，0），（2，4），
由图可知，y1＞y2时，x的取值范围是x＜0或x＞2．
故选：B．
5．（2020•阳新县模拟）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＜n的解集是（　　）

A．﹣1＜x＜3 B．x＜﹣1或x＞3 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，
∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于（1，p），（﹣3，q）两点，
观察函数图象可知：当﹣3＜x＜1时，直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+c的上方，
∴不等式ax2+c＜﹣mx+n的解集为﹣3＜x＜1，
即不等式ax2+mx+c＞n的解集是﹣3＜x＜1．
故选：C．

知识点3 二次函数的应用
1、根据题意把具体问题抽象成二次函数问题，熟练掌握数学建模的基本技巧。
2、会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。
3、掌握用二次函数建立最优化问题的模型。
【典例】
例1（2020秋•和平区期末）如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m．水面下降2.5m，水面宽度增加（　　）

A．1m B．2m C．3m D．6m
【解答】解：如右图建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为y＝ax2，
由已知可得，点（2，﹣2）在此抛物线上，
则﹣2＝a×22，
解得a=-12，
∴y=-12x2，
当y＝﹣4.5时，
﹣4.5=-12x2，
解得，x1＝﹣3，x2＝3，
∴此时水面的宽度为：3﹣（﹣3）＝6，
∴6﹣4＝2，
即水面的宽度增加2m，
故选：B．

【方法总结】
本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，建立合适的平面直角坐标系．
例2（2020秋•南开区期末）如图，一段长为45m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，墙长为27m，设花园的面积为sm2，平行于墙的边为xm．若x不小于17m，
（1）求出s关于x的函数关系式；
（2）求s的最大值与最小值．

【解答】解：（1）平行于墙的边为xm，矩形菜园的面积为ym2．
则垂直于墙的一面长为12（45﹣x）m，
根据题意得：S=12x（45﹣x）=-12x2+452x（17≤x≤27）；
（2）∵S=-12x2+452x=-12（x2﹣45x）=-12（x-452）2+20258（17≤x≤27），
∵17≤x≤27，a=-12＜0，
∴当x=452m时，S取得最大值，此时S=20258m2，
∵|27-452|＜|17-452|，
∴x＝17m时，S取得最小值，此时S=19448m2，
答：s的最大值是20258m2，最小值是19448m2．
【方法总结】
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二次函数解析式，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
例3（2020秋•长春期末）某商场购进一批单价为16元的日用品，按每件20元销售时，每月能卖360件；经调查发现，售价每提高1元，月销量就减少30件．设每件售价为x（20≤x≤28）元时，每月的利润为W元．
（1）若按每件25元的价格销售时，每月能卖　90　件．
（2）求W与x的函数关系式．
（3）销售价定为每件多少元时，才能使每月获得的利润最大？每月的最大利润是多少？
【解答】解：（1）若按每件25元的价格销售时，每月能卖360﹣30×（25﹣16）＝90（件）；
故答案为：90；
（2）根据题意得：W＝[360﹣30（x﹣20）]（x﹣16）＝﹣30x2+1440﹣15360，
∴W与x的函数关系式为：W＝﹣30x2+1440﹣15360；

（3）∵W＝﹣30x2+1440﹣15360＝﹣30（x﹣24）2+1920，
∵20≤x≤28，
∴当x＝24时，W有最大值，W的最大值为1920．
答：当价格为24元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为1920元．
【方法总结】
本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．
例4 （2020秋•海珠区校级期中）某公路有一个抛物线形状的隧道ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y=-110x2+c且过顶点C（0，5）．（长度单位：m）
（1）直接写出c＝　5　；
（2）求该隧道截面的最大跨度（即AB的长度）是多少米？
（3）该隧道为双向车道，现有一辆运货卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通过隧道？请说明理由．

【解答】解：（1）∵顶点C（0，5）
∴c＝5，
故答案为：5．
（2）由题意可得：0=-110x2+5，
解得：x1＝52，x2＝﹣52，
故AB＝2×52=102米；
（3）把x＝3代入得y=-110x2+5＝4.1＞4，
故能安全通过．
【方法总结】
此题主要考查了二次函数的应用，根据数形结合得出函数关系式是解题关键．
【随堂练习】
1．（2020秋•崇川区校级月考）烟花厂为成都春节特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h=-23t2+8t+2．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（　　）
A．3s B．4s C．5s D．6s
【解答】解：∵礼炮在点火升空到最高点引爆，
∴t=-b2a=8-2×(-23)=6（s），
故选：D．
2．（2020秋•永吉县期末）某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了29m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15m）围建一个矩形养鸡舍，门MN宽1m，如图所示．
（1）若要建的矩形养鸡舍面积为100m2，求AB的长；
（2）该鸡舍的最大面积可以达到　2252　m2．

【解答】解：（1）设AB＝xm，则BC＝（29+1﹣2x）m＝（30﹣x）m，
根据题意得：x（30﹣2x）＝100，
解之得：x1＝5，x2＝10，
当x＝5时，BC＝20＞15 （舍去），
当x＝10时，BC＝10＜15，符合题意；
答：AB的长为10m；
（2）设AB＝xm，鸡舍的面积为Sm2，
∴S＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x＝﹣2（x2﹣15x+2254-2254）＝﹣2（x-152）2+2252；
∴该鸡舍的最大面积可以达到2252m2．
3．（2020秋•河西区期末）某种商品每件的进价为30元，在某时间段内若以每件x元出售，可卖出（100﹣x）件，应如何定价才能使利润最大？
（Ⅰ）填空：
①当每件以35元出售时，可卖出　65　件；利润为　325　元；
②当每件以x元出售时，利润为　（x﹣30）（100﹣x）　元；其中x的取值范围是　30＜x＜100　．
（Ⅱ）完成对本题的解答：
【解答】解：（Ⅰ）①当每件以35元出售时，可卖出65件；利润为325元；
②当每件以x元出售时，利润为（x﹣30）（100﹣x）元；其中x的取值范围是（30＜x＜100）；
故答案为：65，325，（x﹣30）（100﹣x），30＜x＜100；
（Ⅱ）设最大利润为w元，
则w＝（x﹣30）（100﹣x）＝﹣（x﹣65）2+1225，
∵﹣1＜0，0＜x＜100，
∴当x＝65时，二次函数有最大值1225，
∴定价是65元时，利润最大．
4．（2020秋•西岗区期末）河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽为6米时，水面离桥孔顶部3米．把桥孔看成一个二次函数的图象，以桥孔的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）请求出这个二次函数的表达式；
（2）因降暴雨水位上升1米，此时水面宽为多少？

【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2，
把x＝3，y＝﹣3代入，得a=-13，
这个二次函数的表达式y=-13x2；

（2）把y＝﹣2代入解y=-13x2得，x＝±6，
所以此时水面宽度为26．
答：此时水面宽为26米．
综合运用
1．（2020秋•绥棱县期末）函数y＝3x2与直线y＝kx+2的交点为（2，b），则k+b＝　17　．
【解答】解：将x＝2代入函数y＝3x2，得
y＝3×22＝12，
∴函数y＝3x2经过点（2，12），
∵函数y＝3x2与直线y＝kx+2的交点为（2，b），
∴b＝12，12＝2k+2，
∴k＝5，
∴k+b＝5+12＝17，
故答案为：17．
2．（2021•宝山区一模）如果抛物线y＝m（x+1）2+m（m是常数）的顶点坐标在第二象限，那么它的开口方向　向上　．
【解答】解：由抛物线y＝m（x+1）2+m（m是常数）可知顶点为（﹣1，m），
∵顶点坐标在第二象限，
∴m＞0，
∴抛物线开口向上，
故答案为：向上．
3．（2021•奉贤区一模）当两条曲线关于某直线l对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线l的对称曲线．如果抛物线C1：y＝x2﹣2x与抛物线C2是关于直线x＝﹣1的对称曲线，那么抛物线C2的表达式为　y＝（x+3）2﹣1　．
【解答】解：抛物线C1：y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，其顶点坐标是（1，﹣1）．
∴点（1，﹣1）关于直线x＝﹣1对称的点的坐标为（﹣3，﹣1）．
∵抛物线C1：y＝x2﹣2x与抛物线C2是关于直线x＝﹣1对称，
∴抛物线C2的顶点坐标是（﹣3，﹣1），其开口方向与大小均与抛物线C1一致，
∴抛物线C2的表达式为y＝（x+3）2﹣1．
故答案是：y＝（x+3）2﹣1．
4．（2020秋•镇原县期末）抛物线y=-12x2+x﹣4的顶点坐标为　（1，-72）　．
【解答】解：y=-12x2+x﹣4=-12（x﹣1）2-72，
∴顶点的坐标是（1，-72），
故答案为（1，-72）．
5．（2020秋•呼和浩特期末）下列四个二次函数：①y＝x2，②y＝﹣2x2，③y=12x2，④y＝3x2，其中抛物线开口按从大到小的顺序排列是　③①②④　．
【解答】解：∵|12|＜|1|＜|﹣2|＜|3|，
∴抛物线开口按从大到小的顺序排列是③①②④，
故答案为：③①②④．
6．（2020秋•西宁期末）如图，已知二次函数y1＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．直线y2＝﹣x+c与抛物线交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论错误的是（　　）

A．2a+b＝0 B．b2﹣4ac＞0
C．a﹣b+c＜0 D．当0＜x＜3时，y1＞y2
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=-b2a=1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，所以A正确，不符合题意；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以B正确，不符合题意；
∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，
而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，
∴当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以C正确，不符合题意；
∵直线y2＝﹣x+c与抛物线交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，
∴当0＜x＜3时，有一段是y1＜y2，所以D错误，符合题意，
故选：D．
7．（2020春•番禺区校级月考）如图．抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集为（　　）

A．x＞﹣1 B．x＜3 C．x＜﹣3或x＞1 D．x＞﹣1或x＜3
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，
∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于（1，p），（﹣3，q）两点，
观察函数图象可知：当x＜﹣3或x＞1时，直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+c在直线y＝﹣mx+n的上方，
∴不等式ax2+c＞﹣mx+n的解集为x＜﹣3或x＞1，
即不等式ax2+mx+c＞n的解集是x＜﹣3或x＞1．
故选：C．

8．（2020秋•西城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a≠0）．
（1）求抛物线的对称轴及它与x轴两交点的坐标；
（2）已知点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，4），若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围；
（3）若满足不等式ax2+2ax﹣3a≤5的x的最大值为2，直接写出实数a的取值范围．

【解答】解：（1）∵y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+1）2﹣4a，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣4a），
令y＝0，得到ax2+2ax﹣3a＝0，解得x＝﹣3或1，
∴抛物线与x轴交于（﹣3，0）和（1，0）．

（2）如图1中，当a＜0时，抛物线经过点A（0，4）时，a=-43，

观察图象可知当a≤-43时，抛物线与线段AB恰有一个公共点．

如图2中，当a＞0时，抛物线经过B（3，4）时，a=13，

观察图象可知，a≥13时，抛物线与线段AB恰有一个公共点．
综上所述，满足条件的a的值为a≤-43或a≥13．

（3）当a＞0时，

当x＝2时，y＝5，即4a+4a﹣3a＝5，
∴a＝1，
观察图象可知a≥1时，满足条件．
当a＜0时，不存在符合题意的a的值．
综上所述，a≥1．
9．（2020秋•江岸区校级月考）如图1，用长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为28m，设垂直于墙的一边长为xm，平行于墙的一边长为ym．
（1）直接写出y与x满足的函数关系式及x的取值范围　y＝60﹣2x（16≤x＜30）　；
（2）求菜园面积S的最大值；
（3）如图2，在菜园内修建两横一竖且宽均为am的小路，其余部分种菜，若种菜部分的面积随x的增大而减小，则a的取值范围为　0＜a≤43　．

【解答】解：（1）由题意得：y＝60﹣2x，
∵墙长为28m，篱笆长为60m，
∴0＜y≤28，
∴0＜60﹣2x≤28，
∴﹣60＜﹣2x≤﹣32，
∴16≤x＜30，
∴y＝60﹣2x（16≤x＜30）；
（2）∵y＝60﹣2x，
∴S＝xy
＝x（60﹣2x）
＝﹣2x2+60x
＝﹣2（x﹣15）2+450，
∵a＝﹣2＜0
∴开口向下，
∵对称轴为x＝15，
∴当16≤x＜30时，S随x增大而减小．
∴当x＝16时，S有最大值，最大值为448m2；
（3）由题意得：S路＝2ay+ax﹣2a2，
∴S种＝S﹣S路
＝﹣2x2+60x﹣[2a（60﹣2x）+ax﹣2a2]
＝﹣2x2+60x﹣120a+4ax﹣ax+2a2
＝﹣2x2+（3a+60）x+2a2﹣120a，
∵种菜部分的面积随x的增大而减小，且16≤x＜30，
∴-30a+602×(-2)≤16，
∴3a+60≤64，
∴3a≤4，
∴a≤43，
又∵a＞0，
∴0＜a≤43．
10．（2020秋•开福区校级月考）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，直接写出此时销售单价的取值范围．

【解答】解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：100=30k+b70=45k+b，
解得：k=-2b=160，
故函数的表达式为：y＝﹣2x+160；

（2）由题意得：w＝（x﹣30）（﹣2x+160）＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，故函数有最大值，
∴当x＝55时，w有最大值，此时，w＝1250，
故销售单价定为55元时，该超市每天的利润最大，最大利润1250元；

（3）由题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）≥800，
解得：40≤x≤70，
故销售单价x的取值范围为40≤x≤70．

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日期：2021/1/22 11:06:15；用户：广饶数学；邮箱：chaoyin5@xyh.com；学号：24896626