2022-2023学年广东省广州市荔湾区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省广州市荔湾区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  两个不透明口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋的小球分别标号为，，从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是(    )

A. 两个小球的标号之和等于 B. 两个小球的标号之和大于
C. 两个小球的标号之和等于 D. 两个小球的标号之和大于

2.  在以下绿色包装、可回收、节水、低碳四个环保图形中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，在中，弦、点是圆上一点且，则的直径为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，在中，，，将绕点逆时针旋转角度得到，若，则的值为(    )
 

A.
B.
C.
D.

6.  如图是二次函数的部分图象，使成立的的取值范围是(    )

A.
B.
C.
D. 或

7.  如图，正方形的顶点、在上，顶点、在内，将正方形绕点顺时针旋转度，使点落在上．若正方形的边长和的半径相等，则旋转角度等于(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知，则函数和的图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

10.  如图，在圆的内接四边形中，，，，点为弧的中点，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则          ．

12.  如图，为的直径，弦于点，已知，，则的半径为______．

13.  某厂今年一月份新产品的研发资金为元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是，则该厂今年三月份新产品的研发资金元关于的函数关系式为 ______ ．

14.  随机抽取了某地区名九年级男生的身高数据，统计结果如下：

根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是        ．

15.  如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于，两点，过作轴的垂线交轴于，连接，则的面积为          ．

16.  将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示当直线与新函数的图象恰有个公共点时，的值为        ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
在平面直角坐标系中，的顶点坐标是，，试画出绕点逆时针旋转的，并写出、坐标．

18.  本小题分
如图，，求证：．

19.  本小题分
如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，且与坐标轴的交点为，，点的横坐标为．
试确定反比例函数的解析式；
直接写出不等式的解集．

20.  本小题分
已知函数是关于的二次函数．
求的值；
函数图象的两点，，若满足，则此时的值是多少？

21.  本小题分
某校计划组建航模、摄影、乐器、舞蹈四个课外活动小组，要求每名同学必须参加，并且只能选择其中一个小组．为了解学生对四个课外活动小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把此次调查结果整理并绘制成如图两幅不完整的统计图．

根据图中提供的信息，解答下列问题：
本次被调查的学生有______人；
请补全条形统计图，并求出扇形统计图中“航模”所对应的圆心角的度数；
通过了解，喜爱“航模”的学生中有名男生和名女生曾在市航模比赛中获奖，现从这个人中随机选取人参加省青少年航模比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的人恰好是名男生和名女生的概率．

22.  本小题分
新年将至，家家户户准备大扫除迎接新年，清洁用品需求量增加，商店新进一批桶装消毒液，每桶进价元，每天销售量桶与销售单价元之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
试求每天利润与之间的函数表达式及的取值范围；
每桶消毒液的销售价定为多少元时，商店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？

23.  本小题分
如图，已知是的直径，与相切于点，且．
求证：是的切线；
延长交于点 若，的半径为，求的长．结果保留

24.  本小题分
如图，抛物线的图象与轴交于点、与轴交于点，顶点为以为直径在轴上方画半圆交轴于点，圆心为，是半圆上一动点，连接，点为的中点．
试用含的代数式表示；
若恒成立，求出此时该抛物线解析式；
在的条件下，当点沿半圆从点运动至点时，点的运动轨迹是什么，试求出它的路径长．

25.  本小题分
如图，等腰中，，是平面上任意一点，且，过点作、的垂线，垂足为、．

求证：；
当点在平面上任意运动时，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由；
点在平面上任意运动，当面积取最大值时，此时，若，请直接写出的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，掌握其概念是解决此题关键．
根据事件的概念：事件分为确定事件和不确定事件随机事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，必然事件发生的概率为，即必然事件；不可能事件发生的概率为，即不可能事件；如果为不确定事件随机事件，那么，逐一判断即可得到答案．
【解答】
解：、两个小球的标号之和等于是不可能事件，故A不符合题意；
B、两个小球的标号之和大于是必然事件，故B不符合题意；
C、两个小球的标号之和等于是随机事件，故C符合题意；
D、两个小球的标号之和大于是不可能事件，故D不符合题意；
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：是中心对称图形，故本选项符合题意；
B.不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为两个同心圆等分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其中黑色区域的面积占了其中的四等份，
所以飞镖落在黑色区域．
故选：．
两个同心圆被均分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，由此计算出黑色区域的面积，利用几何概率的计算方法解答即可．
此题主要考查几何概率的意义：一般地，对于古典概型，如果试验的基本事件为，随机事件所包含的基本事件数为，我们就用来描述事件出现的可能性大小，称它为事件的概率，记作，即有 ．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
在中，
，，
由勾股定理得：．
则的直径为．
故选：．
根据圆周角定理可得，在等腰直角三角形中，应用勾股定理进行计算即可得出的长度，即可得出答案．
本题主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形，熟练掌握圆周角定理进行求解是解决本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，
将绕点逆时针旋转角度得到，
，
，
，

旋转角的度数是，
故选：．
根据三角形内角和定理求出，根据旋转得出，根据平行线的性质求出即可．
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，旋转的性质等知识点，能根据旋转得出是解此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由函数图象可知，当时，二次函数不在下方部分的自变量满足，
故选C．
本题考查二次函数的图象、二次函数的性质、二次函数与不等式．
观察函数图象在上及其上方部分的的取值范围便可．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，，，

，
是等边三角形，
，
同理：是等边三角形，，
，
故选：．
连接，，证、是等边三角形，继而知，从而得出答案．
本题主要考查点与圆的位置关系，正方形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定和性质，题目的综合性较强，解题的关键是掌握等边三角形的判定．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
直线过一、三、四象限；双曲线位于二、四象限．
故选：．
根据反比例函数的图象性质及正比例函数的图象性质可作出判断．
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
 

9.【答案】 

【解析】解：二次函数与轴有交点，
，解得：且；
故答案选：．
根据二次函数的定义可得，再根据当二次函数图像与轴有交点时，则，即可求解．
本题考查了抛物线与轴交点的情况和各系数之间的关系，解题关键是掌握当抛物线与有交点时．
 

10.【答案】 

【解析】解：、、、四点共圆，，
，
，平分，
，
如图，
将绕点逆时针旋转得，
则，，，
，
、、三点共线，
过作于，
，
，
在中，；
故选：．
将绕点逆时针旋转得，根据旋转的性质得出，，，求出、、三点共线，解直角三角形求出即可．
本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，解直角三角形，全等三角形的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数，难度适中．
平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即求关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数，据此解答．
【解答】
解：根据两个点关于原点对称，则横、纵坐标互为相反数，
得，
．
故答案为．  

12.【答案】 

【解析】解：连接，
为的直径，，
，
设的半径为，
则，，
在中，，
，
解得：，
的半径为，
故答案为：．
连接，由垂径定理知，点是的中点，，在直角中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可．
本题利用了垂径定理和勾股定理求解，熟练掌握并应用定理是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：一月份新产品的研发资金为元，
月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是，
月份研发资金为，
三月份的研发资金为．
故填空答案：．
由一月份新产品的研发资金为元，根据题意可以得到月份研发资金为，而三月份在月份的基础上又增长了，那么三月份的研发资金也可以用表示出来，由此即可确定函数关系式．
此题主要考查了根据实际问题二次函数列解析式，此题是平均增长率的问题，可以用公式来解题．
 

14.【答案】 

【解析】样本中身高不低于的频率为，
所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于的概率是．
故答案为：．
先计算出样本中身高不低于的频率，然后根据利用频率估计概率求解．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
 

15.【答案】 

【解析】解：可得，两点关于原点对称，
依题意有．
故答案为：．
过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，点，关于原点对称，则的面积为面积的倍，即可求解．
此题主要考查了反比例函数中的几何意义．
 

16.【答案】或 

【解析】解：二次函数解析式为，
抛物线的顶点坐标为，
当时，，
解得：，，
则抛物线与轴的交点为，，
把抛物线图象轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，
则翻折部分的抛物线解析式为，顶点坐标，
如图，当直线过点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，

，
解得：；
当直线与抛物线只有个交点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，
即有相等的实数解，
整理得：，，
解得：，
所以的值为：或，
故答案为：或．
分两种情形：如图，当直线过点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，当直线与抛物线只有个交点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可．
此题主要考查了抛物线与轴交点的坐标，掌握翻折的性质，一元二次方程根的判别式，二次函数的图象和性质，利用数形结合的方法是解本题的关键．
 

17.【答案】解：如图：

由图可知：、． 

【解析】先画出点、、绕点逆时针旋转的对应点，再一次连接即可，最后根据图形写出、坐标即可．
本题主要考查了作图旋转变换，熟练掌握旋转的作图方法和步骤是解题的关键．
 

18.【答案】证明：同弧所对对圆周角相等，
，．
在和中，
，
≌．
，，
，即． 

【解析】同弧所对的圆周角相等，可得出和中两组对应角相等，已知两组对应角的夹边相等，可证得≌，得，，从而证得．
本题主要考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识的应用能力．
 

19.【答案】解：把，代入得：，
解得：，
一次函数的解析式为，
把代入得：，
，
把代入得：，
解得：，
反比例函数的解析式为．
联立一次函数解析式和反比例函数解析式为：，
解得：，，
，
由图可知：当或时，． 

【解析】先用待定系数法求出一次函数的解析式，再把代入求出点的坐标，即可求出反比例函数解析式；
先求出点的坐标，再根据图象，即可进行解答．
本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，会根据图象求不等式的解集．
 

20.【答案】解：由题意得，，，
解得，或，
的值为或．
二次函数的对称轴为轴，
数图象的两点，，若满足，
时，随的增大而减小，
，
，
此时的值是． 

【解析】根据二次函数的定义列式计算，得到答案；
根据二次函数的性质即可判断，从而得出此时的值是．
本题考查了二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：本次被调查的学生有：人；
故答案为：；

航模的人数有：人，
补全条形统计图如图：

“航模”所对应的圆心角的度数是：；

设两名男生分别为男，男，两名女生分别为女，女，列表如下：

所有可能出现的结果有种，它们出现的可能性相等，其中是名男生和名女生的情况有种，
则所选的人恰好是名男生和名女生的概率是．
根据摄影的人数和所占的百分比求出抽取的总人数；
用总人数减去其他兴趣小组的人数求出航模的人数，从而补全统计图；用乘以“航模”所占的百分比即可得出扇形统计图中“航模”所对应的圆心角的度数；
根据题意画出图表得出所有等可能的情况数和所选的人恰好是名男生和名女生的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】解：设与销售单价之间的函数关系式为：，
将点、代入一次函数表达式得：，
解得：，
故函数的表达式为：；
设药店每天获得的利润为元，由题意得：
，
，函数有最大值，
当时，有最大值，此时最大值是，
故销售单价定为元时，该商店每天获得的利润最大，最大利润元． 

【解析】设与之间的函数表达式为，将点、代入一次函数表达式，即可求解；
根据利润等于每桶的利润乘以销售量得关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．
本题主要考查了二次函数的应用以及用待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量每件的利润得出函数关系式是解题关键．
 

23.【答案】证明：连接，
与相切于点，
，
，
，
，
，，
，
在和中
，
≌，
，
是的切线；
解：，
，
，
，
的长： 

【解析】根据切线的性质和平行线的性质从而证得≌，得到，即可证得结论；
根据圆周角定理得到，然后根据弧长公式求得即可．
本题考查了切线的判定和性质，平行线的性质以及三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
 

24.【答案】解：抛物线的图象与轴交于点、，
该函数的解析式为，
．
连接，
是半圆上一点，点为的中点，且，
点在上，
，
该抛物线的对称轴为直线，
，
把代入得：，
解得：，
该抛物线解析式为：；
，
，
点在以为直径的圆上运动，
、，，
当点与点重合时，，即，
当点与点重合时，，即，
轴，，
点在以中点为圆心的半圆上运动，点的路径长为：．
答：它的路径长为． 

【解析】根据点、可得该函数的解析式为，展开括号即可进行解答；
根据点为的中点，且，可得点在上，进而得出点的坐标，即可求解；
根据题意得，则点在以为直径的圆上运动，求出点与点和点重合时点的坐标，进而得出轴，，则点在以中点为圆心的半圆上运动，再根据圆的周长公式求解即可．
本题主要考查了二次函数与圆的综合，解题的关键是掌握垂径定理，用待定系数法求解二次函数表达式的方法，点的运动轨迹，点与圆的位置关系．
 

25.【答案】证明：为等腰直角三角形，
，，
，，，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
．
当点在上方时，

由可得≌，
，
，，，，
四边形为正方形，
，
，则，
，
；
当点在下方时，点左侧时，过点作于点，

，，
，即，
，，
、、、四点共圆，则，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
当点在下方时，点右侧时，
同理可得：，，
，
综上：或．
由可得、、、四点共圆，
过点作于点，

，为定值，
当最大时，取最大值，
当经过点时，取得最大值，
垂直平分，
，
当点在上方时，，
，整理得：． 

【解析】通过证明≌，即可求证；
根据题意，进行分类讨论，当点在上方时，通过证明四边形为正方形，得出，，即可得出结论；当点在下方时，过点作于点，通过证明≌得出，再证明，得出，即可得出结论；
过点作于点，根据，为定值，得出当最大时，取最大值，最后当经过点时，取得最大值，即可求解．
本题主要考查了勾股定理定理，解直角三角形，圆的内接四边形，直径所对的圆周角为，求弧长，解题的关键是熟练掌握相关知识点，并灵活运用．