2023年广西柳州市城中区中考数学质检试卷（2月份）（含解析）

这是一份2023年广西柳州市城中区中考数学质检试卷（2月份）（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. −3的相反数是( )
A. 3B. −3C. ±3D. −13
2. 下面由北京冬奥会比赛项目图标组成的四个图形中，可看作轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3. 中国航母辽宁舰(如图)是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，满载排水量为67500吨，数据67500用科学记数法表示为( )
A. 6.75×103
B. 6.75×104
C. 67.5×105
D. 67.5×104
4. 关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组的解集为( )
A. −3≤x≤2B. −35. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC关于直线m(直线m上各点的横坐标都为1)对称，点C的坐标为(4,1)，则点B的坐标为( )
A. (−2,1)
B. (−3,1)
C. (−3,−1)
D. (−2,−1)
6. 下列事件是随机事件的是( )
A. 射击运动员射击一次，命中靶心
B. 在标准大气压下，通常加热到100℃时，水沸腾
C. 任意画一个三角形，其内角和等于180°
D. 在空旷的操场，向空中抛一枚硬币，硬币不会从空中落下
7. 如图是小明学习“探索直线平行的条件”时用到的学具，经测量∠2=105°，要使木条a与b平行，则∠1的度数应为( )
A. 45°B. 75°C. 105°D. 135°
8. 如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是( )
A. 12
B. 25
C. 47
D. 37
9. 一次函数y=kx+b(k,b为常数，且k≠0)的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为( )
A. x=−1
B. x=2
C. x=0
D. x=3
10. 如图，两个正方形边长分别为a，b，已知a+b=7，ab=9，则阴影部分的面积为( )
A. 10
B. 1 1
C. 12
D. 13
11. 如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E.若△ABC的周长为24，CE=4，则△ABD的周长为( )
A. 16
B. 18
C. 20
D. 24
二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）
12. 若分式2x−1有意义，则x的取值范围是 ．
13. 分解因式：ab−a=______．
14. 如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=20°，则∠A的度数为 ．
15. 如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．
根据以上数据，估计这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为 ．
16. Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=35，AB=10，则AC的长为 ．
17. 如图所示，函数y=ax+b和y=|x|的图象相交于(−1,1)，(2,2)两点．当y1>y2时，x的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题6.0分)
计算：|−2|+(π−3.14)0+(12)−1+3−8．
19. (本小题6.0分)
先化简，再求值：÷，其中m=9．
20. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系内，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,−2)，B(4,−1)，C(3,−3)(正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度)．
(1)以坐标原点O为旋转中心，将△ABC逆时针炭转90°，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，写出A1点的坐标；
(2)求点C到点C1经过的路径．
21. (本小题10.0分)
某中学组织七、八年级学生参加了体质健康测试，现随机从七、八年级各抽取了10名学生的成绩(单位：分)，进行统计、分析．
收集数据：
七年级：78，90，80，95，68，90，90，100，75，80；
八年级：80，70，85，95，90，100，90，85，90，78．
整理数据：
分析数据：
(1)填空：a=______，b=______，c=______，d=______；
(2)若八年级共有200人参与测试，请估计八年级成绩大于80分的人数；
(3)根据以上数据，结合所学的统计知识，你认为哪个年级学生的体质更好，并说明理由(写出一条即可)．
22. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BD的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接DE，DG．
(1)求证：四边形BGDE是菱形；
(2)若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=6，求CG的长．
23. (本小题10.0分)
某文具店准备购甲、乙两种水笔进行销售，每支进价和利润如表：
已知花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等．
(1)求甲，乙两种水笔每支进价分别为多少元．
(2)若该文具店准备拿出2000元全部用来购进这两种水笔，考虑顾客需求，要求购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，问该文具店如何进货能使利润最大，最大利润是多少元．
24. (本小题10.0分)
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，E为BC上一点，过点E作⊙O的切线，分别交DC，AB的延长线于点F，G.连接AE，交CD于点P．
(1)求证：EF=FP；
(2)连接AD，若AD/​/FG，CD=8，csF=45，求EG的长．
25. (本小题10.0分)
如图1，抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(−3,0)、B(1,0)两点，与y轴交于点C，且OC=OA．
(1)求抛物线解析式；
(2)点M是直线AC上方的抛物线上一动点，M点的横坐标为m，四边形ABCM的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
(3)如图2，D(0,−2)，连接BD，将△OBD绕平面内的某点(记为P)逆时针旋转180°得到△O′B′D′，O、B、D的对应点分别为O′、B′、D′.若点B′、D′两点恰好落在抛物线上，求旋转中心点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−3的相反数就是3．
故选：A．
依据相反数的概念求解．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．
此题主要考查相反数的概念，是基础题型，比较简单．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
此题主要考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】
解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
3.【答案】B
【解析】解：67500=6.75×104．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】C
【解析】解：由题意得，不等式组的解集为：−3≤x<2．
故选：C．
根据不等式组的解集在数轴上的表示方法求出不等式组的解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
此题主要考查了坐标与图形的变化，得出C，B关于直线m对称是解题关键．根据题意得出C，B关于直线m对称，即关于直线x=1对称，进而得出答案．
【解答】
解：∵△ABC关于直线m(直线m上各点的横坐标都为1)对称，
∴C，B关于直线m对称，即关于直线x=1对称，
∵点C的坐标为(4,1)，
则点B的坐标为：(−2,1)．
故选A．
6.【答案】A
【解析】解：A、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，符合题意；
B、在标准大气压下，通常加热到100℃时，水沸腾，是必然事件，不符合题意；
C、任意画一个三角形，其内角和等于180°，是必然事件，不符合题意；
D、在空旷的操场，向空中抛一枚硬币，硬币不会从空中落下，是不可能事件，不符合题意；
故选：A．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
7.【答案】B
【解析】解：如图，∵∠2=105°，
∴∠3=∠2=105°，
∴要使b与a平行，则∠1+∠3=180°，
∴∠1=180°−105°=75°．
故选：B．
先求出∠2的对顶角的度数，再根据同旁内角互补，两直线平行解答．
本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，
8.【答案】C
【解析】解：如图，C1，C2，C3，C4均可与点A和B组成直角三角形．
P=47，
故选：C．
找到可以组成直角三角形的点，根据概率公式解答即可．
本题考查了概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．
9.【答案】A
【解析】解：∵y=kx+b经过(2,3)(0,1)，
∴b=13=2k+b，
解得：b=1k=1，
∴一次函数解析式为y=x+1，
x+1=0，
解得：x=−1，
故选：A．
首先利用待定系数法把(2,3)(0,1)代入y=kx+b，可得关于k、b的方程组，再解方程组可得k、b的值，求出一次函数解析式，再求出方程kx+b=0的解即可．
此题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，关键是正确利用待定系数法求出一次函数解析式．
10.【答案】B
【解析】解：根据题意可得，
S阴=a²−12a2−12(a−b)b
=12(a²−ab+b²)
=12[(a+b)²−3ab]，
把a+b=7，ab=9代入上式，
则S阴=12×(72−3×9)=11．
故选：B．
根据题意可得，阴影部分的面积等于边长为a的正方形面积减去边长为a的等腰直角三角形面积，再减去边长为a−b和b的直角三角形面积，即可得12(a²−ab+b²)，根据完全平方公式的变式应用可得12[(a+b)²−3ab]，代入计算即可得出答案．
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的变式应用进行求解是解决本题的关键．
11.【答案】A
【解析】解：∵CE=4，DE是线段BC的垂直平分线，
∴BC=2CE=8，BD=CD，
∵△ABC的周长为24，
∴AB+AC=24−BC=24−8=16，
∴△ABD的周长=AD+BD+AB=AD+CD+AB=AC+AB=16，
故选：A．
根据线段垂直平分线的性质得出CD=BD，求出△ABD的周长=AC+AB，代入求出即可．
本题考查了线段垂直平分线的性质，能根据线段垂直平分线的性质得出BD=CD是解此题的关键．
12.【答案】x≠1
【解析】
【分析】
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
根据分式有意义的条件可知x−1≠0，再解不等式即可．
【解答】
解：由题意得：x−1≠0，
解得：x≠1．
故答案为：x≠1．
13.【答案】a(b−1)
【解析】解：ab−a=a(b−1)．
故答案为：a(b−1)．
直接提取公因式a，进而分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
14.【答案】70°
【解析】解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°(直径所对的圆周角是直角)，
∵∠CBD=20°，
∴∠D=70°(直角三角形的两个锐角互余)，
∴∠A=∠D=70°(同弧所对的圆周角相等)；
故答案是：70°．
根据直径所对的圆周角是直角，得∠BCD=90°，然后由直角三角形的两个锐角互余、同弧所对的圆周角相等求得∠A=∠D=60°．
本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
15.【答案】0.51
【解析】解：由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数0.51附近，
∴这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为0.51，
故答案为：0.51．
根据频率估计概率的方法结合表格数据可得答案．
此题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．
16.【答案】8
【解析】解：∵∠C=90°，sinA=35，AB=10，
∴BC=AB×sinA=10×35=6，
∴AC=AB2−BC2=8，
故答案为：8．
根据∠A的正弦值得到BC的长，进而利用勾股定理得到AC长即可．
考查解直角三角形；掌握一个锐角的正弦值是这个角在直角三角形中的对边与斜边之比是解决本题的关键．
17.【答案】x<−1或x>2
【解析】解：∵函数y=ax+b和a(x−1)−b>0的图象相交于(−1,1)，(2,2)两点，
∴根据图象可以看出，当y1>y2时，x的取值范围是x>2或x<−1，
故答案为：x<−1或x>2．
根据两图象的交点，求出图象中y1在y2上面的部分中x的范围即可，当x<−1时，y1的图象在y2的上面；同理当x>2时，y1的图象在y2的上面．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系的应用，主要培养学生观察图形的能力，能理解一次函数与一元一次不等式的关系是解此题的关键，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
18.【答案】解：|−2|+(π−3.14)0+(12)−1+3−8，
=2+1+2−2，
=3．
【解析】根据绝对值、零指数幂、负整指数幂和立方根的运算法则计算即可．
本题考查了实数的混合运算，解决本题的关键是掌握相关的运算法则即可．
19.【答案】解：÷
=⋅
=，
当m=9时，原式==．
【解析】利用分式的除法法则，进行计算，然后把m的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求，A1点的坐标为(2,1)；

(2)∵OC=32+32=32，∠COC1=90°，
∴点C到点C1经过的路径为：90π×32180=322π.
【解析】(1)根据旋转的性质即可以坐标原点O为旋转中心，将△ABC逆时针炭转90°，得到△A1B1C1，进而可以写出A1点的坐标；
(2)根据弧长公式即可求点C到点C1经过的路径．
本题考查了作图−旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
21.【答案】5 2 85 90
【解析】解：(1)由数据的统计可得，a=5，b=2．
将七年级10名学生的成绩从小到大排列为68，75，78，80，80，90，90，90，95，100，
处在中间位置的两个数的平均数为80+902=85(分)，因此中位数是85分，即c=85．
八年级10名学生的成绩中，90出现了三次，次数最多，所以众数是90，即d=90．
故答案为：5，2，85，90；
(2)200×710=140(人)．
答：估计八年级成绩大于80分的人数是140人；
(3)八年级学生的体质更好．理由如下：
因为两个年级的众数相同，但是八年级成绩的平均数、中位数均大于七年级，
所以八年级学生的体质更好．
(1)根据数据的搜集与整理可直接得到a、b的值，根据中位数的定义求出七年级的中位数，即可确定c的值；求出八年级的众数可确定d的值；
(2)用样本估计总体可得结果；
(3)从众数、中位数和平均数的角度分析可得答案．
本题考查了频数分布表和表示数据的特征，理解平均数、中位数、众数的意义是正确解答的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
22.【答案】(1)证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBG，
∵EG垂直平分BD，
∴DG=BG，DE=EB，
∴∠DBG=∠GDB，∠ABD=∠EDB，
∴∠EDB=∠DBG=∠ABD=∠GDB，
∴BE/​/DG，DE//GB，
∴四边形BGDE是平行四边形，
又DE=EB，
∴四边形BGDE是菱形；
(2)解：如图，过点D作DH⊥BC，

∵四边形BGDE是菱形，
∴DE=DG=6，DG//EB
∴∠ABC=∠DGC=30°，
又DH⊥BC，
∴DH=3，HG=3DH=33，
∵∠C=45°，DH⊥BC，
∴∠C=∠CDH=45°，
∴CH=DH=3，
∴CG=CH+HG=3+33．
【解析】(1)由角平分线的性质和垂直平分线的性质可证∠EDB=∠DBG=∠ABD=∠GDB，可得BE//DG，DE//GB，由菱形的判定可证结论；
(2)过点D作DH⊥BC，由菱形的性质可得DE=DG=6，DG//EB，由直角三角形的性质可得CH=DH=3，HG=3DH=33，即可求CG的长．
本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练运用菱形的判定和性质是本题的关键．
23.【答案】解：(1)由题意可得：400a=800a+5，
解得a=5，
经检验，a=5是原分式方程的解，
∴a+5=10，
答：甲，乙两种水笔每支进价分别为5元、10元；
(2)设利润为w元，甲种水笔购进x支，
w=2x+3×2000−5x10=0.5x+600，
∵k=0.5>0，
∴w随x的增大而增大，
∵购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，
∴x≤2000−5x10×4，
解得，x≤26623，
∵x为整数，
∴当x=266时，w取得最大值，最大值733，
此时，2000−5x10=67，
答：该文具店购进甲种水笔266支，乙种水笔67支时，能使利润最大，最大利润是733元．
【解析】(1)根据花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等，可以列出相应的分式方程，从而可以求得甲，乙两种水笔每支进价分别为多少元；
(2)根据题意，可以得到利润与购进甲种水笔数量的函数关系，然后根据要求购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，可以得到购进A种水笔数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到问该文具店如何进货能使利润最大，最大利润是多少元．
本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
24.【答案】证明：(1)证明：连接OE，
∵EF是圆的切线，
∴OE⊥EF．
∴∠OEF=90°．
∴∠OEA+∠AEF=90°．
∵CD⊥AB，
∴∠AHC=90°．
∴∠OAE+∠APH=90°．
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA．
∴∠AEF=∠APH．
∵∠APH=∠EPF，
∴∠EPF=∠AEF．
∴EF=PF．
解：(2)连接OD，设圆的半径为r，
∵直径AB⊥CD于H，CD=8，
∴CH=DH=4．
∵AD//FG，
∴∠ADH=∠F．
∴cs∠ADH=csF=45．
∴AD=DHcs∠ADH=5．
∴AH=AD2−DH2=3．
∴OH=OA−AH=r−3．
在Rt△ODH中，
∵OH2+DH2=OD2，
∴(r−3)2+42=r2．
∴OE=r=256．
∵∠F+∠G=90°，∠G+∠GOE=90°，
∴∠GOE=∠F．
∴cs∠GOE=45．
∴tan∠GOE=34．
∴EG=OE⋅tan∠GOE=258．
【解析】(1)连接OE，要使EF=FP，需要∠FEP=∠FPE，通过切线和垂直的已知条件，利用等角的余角相等可得∠FEP=∠FPE，结论可得．
(2)设圆的半径为r，在Rt△ODH中，利用勾股定理可以求得半径r，通过说明∠GOE=∠F，得到tan∠GOE=34，利用直角三角形的边角关系可求EG．
本题主要考查了圆的切线的性质，勾股定理，垂径定理，解直角三角形的知识．使用添加圆中常添加的辅助线是解题的关键．
25.【答案】解：(1)由A(−3,0)，且OC=OA可得A(−3,0)，
设抛物线解析式为y=a(x+3)(x−1)，
将C(0,3)代入解析式得，−3a=3，解得a=−1，
∴抛物线解析式为y=−x2−2x+3．
(2)如图1，

设直线AC解析式为y=kx+d，
∵A(−3,0)，C(0,3)，
∴0=−3k+d3=d，
解得k=1d=3，
∴直线AC解析式为y=x+3，
设M(m,−m2−2m+3)，则N(m,m+3)，则MN=−m2−2m+3−(m+3)=−m2−3m(−3S△ACM=S△AMN+S△CMN=12MN×3=−32m2−92m，
∴S=S△ACM+S△AOC=−32m2−92m+12×3×3=−32m2−92m+92，
∵MN=−m2−3m=−(m+32)2+94，
而a=−1<0，−3∴m=−32时，MN最大，此时S△ACM最大，S△ACM=278，此时S也最大，
∴四边形ABCM的最大面积S=278+92=638．
(3)如图2中，旋转180°后，对应线段互相平行且相等，则BD与B′D′互相平行且相等．

∵O′B′=OB=1，O′D′=OD=2，
设B′(t,−t2−2t+3)，则D′(t+1,−t2−2t+3+2)，
∵D′在抛物线上，则−(t+1)2−2(t+1)+3=−t2−2t+3+2，
解得，t=−52，则B′的坐标为(−52,74)，
P是点B(1,0)和点B′(−52,74)的对称中心，
1+(−52)2=−34，0+742=78，
∴P(−34,78).
【解析】(1)先求出点A坐标，再运用待定系数法求解即可；
(2)过M作y轴的平行线，与直线AC交于点N.先求出直线AC的解析式，待定点M，N的坐标，用m表示线段MN的长度，运用二次函数分析△ACM的面积的最值，进而求出S的最大值；
(3)根据中心对称的性质，明确B′D′与BD平行且相等，待定点B′、D′的坐标，代入抛物线解析式求解即可得出B′、D′的坐标，而后运用中点公式求出中心的坐标即可；
此题主要考查二次函数综合问题，会用待定系数法求解析式，能运用二次函数模型分析线段的最值问题，会运用旋转的性质合理的待定点的坐标并结合方程求解时解题的关键．
投篮次数n
50
100
150
200
300
400
500
投中次数m
28
49
78
102
153
208
255
投中频率m/n
0.56
0.49
0.52
0.51
0.51
0.52
0.51
成绩x/分
60≤x≤70
708090七年级
1
4
3
2
八年级
1
2
a
b
统计量
平均数
中位数
众数
七年级
84.6
c
90
八年级
86.3
87.5
d
甲水笔
乙水笔
每支进价(元)
a
a+5
每支利润(元)
2
3