第七章 机械能守恒定律-4机械能守恒定律 高三物理一轮复习

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第七章
机械能守恒定律
机械能守恒定律


目录
「机械能守恒定律的理解」 1
「含弹簧系统机械能变化的问题」 3
「机械能守恒定律的简单应用」 7
「系统机械能守恒问题」 10

「机械能守恒定律的理解」
1.关于重力势能，下列说法中正确的是（  ）
A．物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定
B．物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大
C．一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能减少了
D．重力势能的减少量等于重力对物体做的功
【答案】D
【解析】
物体重力势能的确定需要零势能面的确定，A错误；重力势能为负值，物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越下，B错误；重力势能是标量，负号表示大小，C错误；重力做多少正功，重力势能就减小多少，D正确。
2.下列对各图的说法正确的是（  ）

A．图甲中汽车匀速下坡的过程中机械能守恒
B．图乙中卫星绕地球匀速圆周运动时所受合力为零，动能不变
C．图丙中弓被拉开过程弹性势能减少了
D．图丁中撑竿跳高运动员在上升过程中机械能增大
【答案】D
【解析】
图甲中汽车匀速下坡的过程中动能不变，重力势能减小，机械能减小，故A错误；图乙中卫星绕地球匀速圆周运动时所受合力提供向心力则不为0，匀速圆周运动速度大小不变，则动能不变，故B错误；图丙中弓被拉开过程橡皮筋形变增大，弹性势能增大，故C错误；图丁中撑竿跳高运动员在上升过程中竿对运动员做正功，其机械能增大，故D正确。
3.(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是（  ）

甲　　　　乙　　　　　丙　　　 　丁
A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A的机械能守恒
B．乙图中，物体A固定，物体B沿斜面匀速下滑，物体B的机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量时，A加速下落，B加速上升过程中，A、B组成的系统机械能守恒
D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒
【答案】CD
【解析】
甲图中重力和系统内弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A的机械能不守恒，A错误；乙图中物体B除受重力外，还受到弹力和摩擦力作用，弹力不做功，但摩擦力做负功，物体B的机械能不守恒，B错误；丙图中绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，A、B组成的系统机械能守恒，C正确；丁图中小球的动能不变，势能不变，机械能守恒，D正确。
4.一质量为m的物块仅在重力作用下运动，物块位于r1和r2时的重力势能分别为3E0和E0(E0＞0)。若物块位于r1时速度为0，则位于r2时其速度大小为（  ）
A．2 B．
C．2 D．4
【答案】A
【解析】
物体仅在重力作用下运动，物体的机械能守恒，根据机械能守恒定律可知E1＝E2，代入已知条件为3E0＋0＝E0＋mv2，解得r2处的速度为v＝2，故选A。
5.如图所示，斜面体置于光滑水平地面上，其光滑斜面上有一物体由静止沿斜面下滑，在物体下滑过程中，下列说法正确的是（  ）

A．物体的重力势能减少，动能不变
B．斜面体的机械能不变
C．斜面对物体的作用力垂直于接触面，不对物体做功
D．物体和斜面体组成的系统机械能守恒
【答案】D
【解析】
物体由静止开始下滑的过程其重力势能减少，动能增加，A错误；物体在下滑过程中，斜面体做加速运动，其机械能增加，B错误；物体沿斜面下滑时，既沿斜面向下运动，又随斜面体向右运动，其合速度方向与弹力方向不垂直，弹力方向垂直于接触面，但与速度方向之间的夹角大于90°，所以斜面对物体的作用力对物体做负功，C错误；对物体与斜面体组成的系统，只有物体的重力做功，机械能守恒，D正确。
「含弹簧系统机械能变化的问题」
6.如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，弹簧一直保持竖直，空气阻力不计，那么小球从接触弹簧开始到将弹簧压缩到最短的过程中，下列说法中正确的是（  ）

A．小球的动能一直减小
B．小球的机械能守恒
C．克服弹力做功大于重力做功
D．最大弹性势能等于小球减少的动能
【答案】C
【解析】
小球开始下落时，只受重力作用做加速运动，当与弹簧接触时，受到弹簧弹力作用，开始时弹簧压缩量小，因此重力大于弹力，速度增大，随着弹簧压缩量的增加，弹力增大，当重力等于弹力时，速度最大，然后弹簧继续被压缩，弹力大于重力，小球开始减速运动，所以整个过程中小球先加速后减速运动，根据Ek＝mv2，动能先增大然后减小，故A错误；在向下运动的过程中，小球受到的弹力对它做了负功，小球的机械能不守恒，故B错误；在向下运动过程中，重力势能减小，最终小球的速度为零，动能减小，弹簧的压缩量增大，弹性势能增大，根据能量守恒，最大弹性势能等于小球减少的动能和减小的重力势能之和，即克服弹力做功大于重力做功，故D错误，C正确．
7.(多选)如图所示，一轻弹簧一端固定在O点，另一端系一小球，将小球从与悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A点静止释放，让小球自由摆下，不计空气阻力，在小球由A点摆向最低点B的过程中，下列说法正确的是（  ）

A．小球的机械能守恒
B．小球的机械能减少
C．小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变
D．小球和弹簧组成的系统机械能守恒
【答案】BD
【解析】
小球由A点下摆到B点的过程中，弹簧被拉长，弹簧的弹力对小球做了负功，所以小球的机械能减少，故选项A错误，B正确；在此过程中，由于只有重力和弹簧的弹力做功，所以小球与弹簧组成的系统机械能守恒，即小球减少的重力势能等于小球获得的动能与弹簧增加的弹性势能之和，故选项C错误，D正确。
8.(多选)如图所示，质量M的小球套在固定倾斜的光滑杆上，原长为l0的轻质弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连，弹簧与杆在同一竖直平面内．图中AO水平，BO间连线长度恰好与弹簧原长相等，且与杆垂直，O′在O的正下方，C是AO′段的中点，θ＝30°.现让小球从A处由静止释放，重力加速度为g，下列说法正确的有（  ）

A．下滑过程中小球的机械能守恒
B．小球滑到B点时的加速度大小为g
C．小球下滑到B点时速度最大
D．小球下滑到C点时的速度大小为
【答案】BD
【解析】
下滑过程中小球的机械能会与弹簧的弹性势能相互转化，因此小球的机械能不守恒，故A错误；因为在B点，弹簧恢复原长，因此重力沿杆的分力提供加速度，根据牛顿第二定律可得mgcos 30°＝ma，解得a＝g，故B正确；到达B点时加速度与速度方向相同，因此小球还会加速，故C错误；因为C是AO′段的中点，θ＝30°，所以当小球到C点时，弹簧的长度与在A点时相同，故在A、C两位置弹簧弹性势能相等，小球重力做的功全部转化为小球的动能，所以得mgl0＝mvC2，解得vC＝，故D正确．
9.(多选)如图所示，一根轻弹簧一端固定在O点，另一端固定一个带有孔的小球，小球套在固定的竖直光滑杆上，小球位于图中的A点时，弹簧处于原长，现将小球从A点由静止释放，小球向下运动，经过与A点关于B点对称的C点后，小球能运动到最低点D点，OB垂直于杆，则下列结论正确的是（  ）

A．小球从A点运动到D点的过程中，其最大加速度一定大于重力加速度g
B．小球从B点运动到C点的过程，小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和可能增大
C．小球运动到C点时，重力对其做功的功率最大
D．小球在D点时弹簧的弹性势能一定最大
【答案】AD
【解析】
在B点时，小球的加速度为g，在BC间弹簧处于压缩状态，小球在竖直方向除受重力外还有弹簧弹力沿竖直方向向下的分力，所以小球从A点运动到D点的过程中，其最大加速度一定大于重力加速度g，故A正确；由机械能守恒可知，小球从B点运动到C点的过程，小球做加速运动，即动能增大，所以小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和一定减小，故B错误；小球运动到C点时，由于弹簧的弹力为零，合力为重力G，所以小球从C点往下还会加速一段，所以小球在C点的速度不是最大，即重力的功
率不是最大，故C错误；D点为小球运动的最低点，即速度为零，弹簧形变量最大，所以小球在D点时弹簧的弹性势能最大，故D正确。
10.如图所示，一光滑细杆固定在水平面上的C点，细杆与水平面的夹角为30°，一原长为L的轻质弹性绳，下端固定在水平面上的B点，上端与质量为m的小环相连，当把小环拉到A点时，AB与地面垂直，弹性绳长为2L，将小环从A点由静止释放，当小环运动到AC的中点D时，速度达到最大。重力加速度为g，下列说法正确的是（  ）

A．在下滑过程中小环的机械能先减小后增大
B．小环刚释放时的加速度大小为g
C．小环到达AD的中点时，弹性绳的弹性势能为零
D．小环的最大速度为
【答案】B
【解析】
小环和弹性绳组成的系统机械能守恒，小环到达AC的中点D时，弹性绳的长度为2L，伸长量不为0，在AD之间有一位置弹性绳与AC垂直，小环从A点到弹性绳与AC垂直位置的过程中，弹性绳对小环做正功，从弹性绳与AC垂直位置到C点的过程中，弹性绳对小环做负功，所以下滑过程中小环的机械能先增大后减小，故A错误；在A位置，环受重力、弹性绳拉力和支持力，根据牛顿第二定律，有mgsin 30°＋F弹sin 30°＝ma，在D点，环的速度最大，说明加速度为零，弹性绳长度为2L，故mgsin 30°－F弹cos 60°＝0，联立解得a＝g，故B正确；小环到达AD的中点时，弹性绳的长度为L，伸长量不为0，故弹性势能不为零，故C错误；在D点速度最大，此时弹性绳长度等于初位置弹性绳的长度，故初位置和D位置环的弹性势能相等，所以mg·2Lcos 60°＝mv2，解得v＝，故D错误。
「机械能守恒定律的简单应用」
11.取水平地面为重力势能零点。一物块从某一高度水平抛出，在抛出点其动能与重力势能恰好相等。如果抛出点足够高，当物块的动能等于重力势能的两倍时，速度与水平方向的夹角为（  ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
设物块水平抛出的初速度为v0，抛出时的高度为h。根据题意，有mv＝mgh，则v0＝；设当物块的动能等于重力势能的两倍时，物块距离地面的高度为h′，由机械能守恒定律得2mgh＝mgh′＋mv2，又2mgh′＝mv2，解得h′＝h，则此时物块在竖直方向上的分速度为vy＝＝，则tan θ＝＝，即速度与水平方向的夹角为，选项A正确。
12.(多选)如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上，若以地面为参考平面且不计空气阻力，则下列说法中正确的是（  ）

A．物体落到海平面时的重力势能为mgh
B．物体从抛出到落到海平面的过程重力对物体做功为mgh
C．物体在海平面上的动能为mv02＋mgh
D．物体在海平面上的机械能为mv02
【答案】BCD
【解析】
物体运动过程中，机械能守恒，所以任意一点的机械能相等，都等于抛出时的机械能，物体在地面上的重力势能为零，动能为mv02，故整个过程中的机械能为mv02，所以物体在海平面上的机械能为mv02，在海平面上的重力势能为－mgh，根据机械能守恒定律可得－mgh＋mv2＝mv02，所以物体在海平面上的动能为mv02＋mgh，从抛出到落到海平面，重力做功为mgh，所以B、C、D正确．
13.如图所示，光滑圆轨道固定在竖直面内，一质量为m的小球沿轨道做完整的圆周运动。已知小球在最低点时对轨道的压力大小为N1，在最高点时对轨道的压力大小为N2。重力加速度大小为g，则N1－N2的值为（  ）

A．3mg B．4mg
C．5mg D．6mg
【答案】D
【解析】
设小球在最低点时速度为v1，在最高点时速度为v2，根据牛顿第二定律有，在最低点：N1－mg＝m，在最高点：N2＋mg＝m；从最高点到最低点，根据机械能守恒有mg·2R＝mv－mv，联立可得：N1－N2＝6mg，故选项D正确。
14.如图所示，鼓形轮的半径为R，可绕固定的光滑水平轴O转动。在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为m的小球，球与O的距离均为2R。在轮上绕有长绳，绳上悬挂着质量为M的重物。重物由静止下落，带动鼓形轮转动。重物落地后鼓形轮匀速转动，转动的角速度为ω。绳与轮之间无相对滑动，忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为g。求：

（1）重物落地后，小球线速度的大小v；
（2）重物落地后一小球转到水平位置A，此时该球受到杆的作用力的大小F：
（3）重物下落的高度h。
【答案】（1）2ωR；（2）；（3）(ωR)2
【解析】
（1）线速度v＝ωr，得v＝2ωR。
（2）向心力F向＝2mω2R。
设F与水平方向的夹角为α，则Fcos α＝F向；Fsin α＝mg
解得F＝。
（3）落地时，重物的速度v′＝ωR，由机械能守恒定律得
Mv′2＋4×mv2＝Mgh
解得h＝(ωR)2。
15.如图所示，是某公园设计的一种游乐设施，所有轨道均光滑，AB面与水平面成一定夹角。一无动力小滑车质量为m＝10 kg，沿斜面轨道由静止滑下，然后滑入第一个圆形轨道内侧，其轨道半径R＝2.5 m，不计过B点的能量损失，根据设计要求，在圆轨道最低点与最高点各放一个压力传感器，测试小滑车对轨道的压力，并通过计算机显示出来。小滑车到达第一圆轨道最高点C处时刚好对轨道无压力，又经过水平轨道滑入第二个圆形轨道内侧，其轨道半径r＝1.5 m，然后从水平轨道上飞入水池内，水面离水平轨道的距离为h＝5 m。g取10 m/s2，小滑车在运动全过程中可视为质点。求：

（1）小滑车在第一圆形轨道最高点C处的速度vC的大小；
（2）在第二个圆形轨道的最高点D处小滑车对轨道压力FN的大小；
（3）若在水池内距离水平轨道边缘正下方的E点x＝12 m处放一气垫(气垫厚度不计)，要使小滑车既能安全通过圆轨道又能落到气垫之上，则小滑车至少应从离水平轨道多高的地方开始下滑？
【答案】（1）5 m/s；（2）333.3 N；（3）7.2 m
【解析】
（1）在C点mg＝m ，解得vC＝5 m/s。
（2）由C点到D点过程根据机械能守恒
mg2R＋mv＝mv＋mg2r
在D点mg＋FN′＝m
所以FN′＝333.3 N
由牛顿第三定律知小滑车对轨道的压力FN为333.3 N。
（3）小滑车要能安全通过圆形轨道，在平台上速度至少为v1，根据机械能守恒有
mv＋mg(2R)＝mv
小滑车要能落到气垫上，在平台上速度至少为v2，则
h＝gt2
x＝v2t
解得v2>v1，所以只要mgH＝mv，即可满足题意。
解得H＝7.2 m。
「系统机械能守恒问题」
16.如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍。当B位于地面上时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，B上升的最大高度是（  ）

A．2R B． C． D．
【答案】C
【解析】
设B球质量为m，A球刚落地时，两球速度大小都为v，根据机械能守恒定律2mgR－mgR＝(2m＋m)v2得v2＝gR，B球继续上升的高度h＝＝，B球上升的最大高度为h＋R＝R，故选项C正确。
17.(多选)如图所示，轻质动滑轮下方悬挂重物A、轻质定滑轮下方悬挂重物B，悬挂滑轮的轻质细绳竖直。开始时，重物A、B处于静止状态，释放后A、B开始运动。已知A、B的质量相等，重力加速度为g。摩擦阻力和空气阻力均忽略不计，滑轮间竖直距离足够长。则下列说法正确的是（  ）

A．相同时间内，A、B位移大小之比为1∶2
B．同一时刻，A、B加速度大小之比为1∶1
C．同一时刻，A、B速度大小之比为1∶1
D．当B下降高度h时，B的速度大小为
【答案】AD
【解析】
由题可知，B下降的位移是A上升位移的两倍，由公式x＝at2可知，B的加速度是A加速度的两倍，故A正确，B错误；由速度公式v＝at可知，由于B的加速度是A加速度的两倍，所以同一时刻，A的速度是B的一半，故C错误；当B下降高度h时，A上升，由机械能守恒定律得mgh－mg＝mv＋mv，2vA＝vB，联立解得vB＝，故D正确。
18.如图所示，有一光滑轨道ABC，AB部分为半径为R的圆弧，BC部分水平，质量均为m的小球a、b固定在竖直轻杆的两端，轻杆长为R，小球可视为质点，开始时a球处于圆弧上端A点，由静止开始释放小球和轻杆，使其沿光滑弧面下滑，重力加速度为g，下列说法正确的是（  ）

A．a球下滑过程中机械能保持不变
B．b球下滑过程中机械能保持不变
C．a、b球都滑到水平轨道上时速度大小均为
D．从释放a、b球到a、b球都滑到水平轨道上，整个过程中轻杆对a球做的功为mgR
【答案】D
【解析】
对于单个小球来说，杆的弹力做功，小球机械能不守恒，A、B错误；两个小球组成的系统只有重力做功，所以系统的机械能守恒，故有mgR＋mg(2R)＝·2mv2，解得v＝，选项C错误；a球在滑落过程中，杆对小球做功，重力对小球做功，故根据动能定理可得W＋mgR＝mv2，联立v＝，解得W＝mgR，故D正确．
19.(多选)如图所示，质量为m的小环(可视为质点)套在固定的光滑竖直杆上，一足够长且不可伸长的轻绳一端与小环相连，另一端跨过光滑的定滑轮与质量为M的物块相连，已知M＝2m.与定滑轮等高的A点和定滑轮之间的距离为d＝3 m，定滑轮大小及质量可忽略．现将小环从A点由静止释放，小环运动到C点速度为0，重力加速度取g＝10 m/s2，则下列说法正确的是(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)（  ）

A．A、C间距离为4 m
B．小环最终静止在C点
C．小环下落过程中减少的重力势能始终等于物块增加的机械能
D．当小环下滑至绳与杆的夹角为60°时，小环与物块的动能之比为2∶1
【答案】AD
【解析】
小环运动到C点时，对系统，由机械能守恒得：mgLAC＝Mg(－d)，解得：LAC＝4 m，故A正确；假设小环最终静止在C点，则绳中的拉力大小等于2mg，在C点对小环有：FT＝＝mg≠2mg，所以假设不成立，小环不能静止，故B错误；由机械能守恒可知，小环下落过程中减少的重力势能转化为物块增加的机械能和小环增加的动能，故C错误；将小环的速度沿绳和垂直绳方向分解，沿绳方向的速度即为物块的速度vM＝vmcos 60°，由Ek＝mv2可知，小环与物块的动能之比为2∶1，故D正确．
20.如图所示，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上．a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动．不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g，则（  ）

A．a落地前，轻杆对b一直做正功
B．a落地时速度大小为
C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g
D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg
【答案】D
【解析】
当a到达底端时，b的速度为零，b的速度在整个过程中先增大后减小，动能先增大后减小，所以轻杆对b先做正功，后做负功，A错误；a运动到最低点时，b的速度为零，根据系统机械能守恒得：mgh＝mvA2，解得vA＝，B错误；b的速度在整个过程中先增大后减小，杆对b的作用力先是动力后是阻力，所以杆对a的作用力就先是阻力后是动力，所以在b减速的过程中，杆对a是斜向下的拉力，此时a的加速度大于重力加速度，C错误；a、b及杆系统的机械能守恒，当a的机械能最小时，b的速度最大，此时b受到杆的推力为零，b只受到重力和支持力的作用，结合牛顿第三定律可知，b对地面的压力大小为mg，D正确．
21.(多选)一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的小球A和B．支架的两直角边长度分别为2l和l，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图8所示．开始时OA边处于水平位置，由静止释放，重力加速度为g，则（  ）

A．A球的最大速度为2
B．A球的速度最大时，两小球的总重力势能最小
C．A球第一次转动到与竖直方向的夹角为45°时，A球的速度大小为
D．A、B两球的最大速度之比vA∶vB＝3∶1
【答案】BC
【解析】
由机械能守恒可知，A球的速度最大时，二者的动能最大，此时两球总重力势能最小，所以B正确；根据题意知无论何时两球的角速度均相同，线速度大小之比均为vA∶vB＝ω·2l∶ωl＝2∶1，故D错误；当OA与竖直方向的夹角为θ时，由机械能守恒得：mg·2lcos θ－2mg·l(1－sin θ)＝mvA2＋·2mvB2，解得：vA2＝gl·(sin θ＋cos θ)－gl，由数学知识知，当θ＝45°时，sin θ＋cos θ有最大值，最大值为vA＝，所以A错误，C正确．
22.如图所示，总长为l的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻小滑轮，开始时底端对齐，当略有扰动时其一端下落，铁链开始滑动，当铁链脱离滑轮瞬间，铁链速度为（  ）

A． B．
C． D．2
【答案】B
【解析】
铁链从开始到脱离滑轮的过程中，链条重心下降的高度为l，链条下落过程，由机械能守恒定律，得mg·＝mv2，计算得出v＝，故B正确，ACD错误。
23.如图所示，在倾角为30°的光滑斜面上，一劲度系数为k＝200 N/m的轻质弹簧一端连接固定挡板C上，另一端连接一质量为m＝4 kg的物体A，一轻细绳通过定滑轮，一端系在物体A上，另一端与质量也为m的物体B相连，细绳与斜面平行，斜面足够长。用手托住物体B使绳子刚好没有拉力，然后由静止释放。取g=10 m/s2。求：
（1）弹簧恢复原长时细绳上的拉力大小；
（2）物体A沿斜面向上运动多远时获得最大速度；
（3）物体A的最大速度的大小。

【答案】（1）30 N；（2）20 cm；（3）1 m/s
【解析】
（1）恢复原长时
对B有mg－FT＝ma
对A有FT－mgsin 30°＝ma
解得FT＝30 N。
（2）初态弹簧压缩x1＝＝10 cm
当A速度最大时mg＝kx2＋mgsin 30°
弹簧伸长x2＝＝10 cm
所以A沿斜面上升x1＋x2＝20 cm。
（3）因x1＝x2，故弹性势能改变量ΔEp＝0，
由系统机械能守恒mg(x1＋x2)－mg(x1＋x2)sin 30°＝×2m·v2
得v＝g·＝1 m/s。
24.如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C放在水平地面上．现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，同时保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行．已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计．开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面，在此过程中，求：
（1）斜面的倾角α；
（2）弹簧恢复原长时，细线中的拉力大小F0；
（3）A沿斜面下滑的速度最大值vm.

【答案】（1）30°；（2）mg；（3）2g
【解析】
（1）A速度最大时，加速度为零，
对A有4mgsin α＝F，
此时B的加速度也为零，C恰好离开地面，
对B、C整体有F＝2mg，
解得sin α＝，即α＝30°.
（2）设当弹簧恢复原长时，A沿斜面向下运动的加速度大小为a，
对A有4mgsin α－F0＝4ma，
对B有F0－mg＝ma，
解得F0＝mg.
（3）一开始弹簧处于压缩状态，有mg＝k·Δx1，
压缩量Δx1＝，
C恰好离开地面时，弹簧处于伸长状态，
有mg＝k·Δx2，
伸长量Δx2＝Δx1＝，
因而初、末状态弹簧的弹性势能相等，从释放A球至C球恰好离开地面的过程，对整个系统根据机械能守恒定律有
4mgsin α·(Δx1＋Δx2)－mg(Δx1＋Δx2)＝(4m＋m)vm2，
解得vm＝＝2g.
25.如图所示，AB为光滑的水平面，BC是倾角为α的足够长的光滑斜面，斜面体固定不动。AB、BC间用一小段光滑圆弧轨道相连。一条长为L的均匀柔软链条开始时静置在ABC面上，其一端D至B的距离为L－a。现自由释放链条，重力加速度为g则：
（1）链条下滑过程中，系统的机械能是否守恒？简述理由；
（2）链条的D端滑到B点时，链条的速率为多大？

【答案】（1）机械能守恒，理由见解析；（2）
【解析】
（1）链条在下滑过程中机械能守恒，因为斜面BC和水平面AB均光滑，链条下滑时只有重力做功，符合机械能守恒的条件。
（2）设链条质量为m，可以认为始、末状态的重力势能变化是由L－a段下降引起的，如图所示。

该部分高度减少量
h＝sin α＝sin α
该部分的质量为m′＝(L－a)
由机械能守恒定律可得m′gh＝mv2
解得v＝。