2023届江苏省扬州市高三上学期期末考试数学试卷含解析

江苏省扬州市2022-2023学年度上学期期末考试题

                 高三数学              2023.01

试卷满分：150分， 考试时间：120分钟

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）

1．已知复数（为虚数单位），则的共轭复数的模是（    ）

A．1 B． C． D．

2．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

3．设，则“成等比数列”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．某中学全体学生参加了数学竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，每组数据以组中值（组中值=(区间上限+区间下限)/2）计算），下列说法正确的是（    ）

A．直方图中x的值为0.035

B．在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数为30人

C．估计全校学生的平均成绩为83分

D．估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为95分

5．已知，且，则（    ）

A．         B．             C．         D．

6.在平面直角坐标系xOv中，M为双曲线右支上的一个动点，若点M到直线的距离大于m恒成立，则实数m的最大值为（    ）

A. 1        B.        C. 2        D. 2

7．如图是一个由三根细棒、、组成的支架，三根细棒、、两两所成的角都为，一个半径为的小球放在支架上，则球心到点的距离是（    ）

A．        B．      C．     D．

8．已知函数及其导函数的定义域均为R，且是偶函数，记，也是偶函数，则的值为（    ）

A．－2 B．－1 C．0 D．2

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）

9．如图，在正方体中，为的中点，则（    ）

A．平面

B．平面

C．平面平面

D．直线与平面所成角的余弦值为

10．已知函数的一条对称轴为，则（    ）

A．的最小正周期为 B．

C．在上单调递增 D．

11．已知数列中，，，则关于数列的说法正确的是（    ）

A．                     B．数列为递增数列

C．              D．数列的前n项和小于

12．已知函数，，若与图象的公共点个数为，且这些公共点的横坐标从小到大依次为，，…，，则下列说法正确的有（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）

13．已知展开式中的各项系数和为243，则其展开式中含项的系数为_____.

14．已知,则与的夹角为__________．

15．已知为椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点（P不在y轴上），的重心为G，内心为M，且，则椭圆C的离心率为___________．

16．对于函数和，设，，若存在、，使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围为______.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）

17．已知数列满足，.

(1)若，数列的通项公式；

(2)若数列为等比数列，求.

18．记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．

(1)求；

(2)求的取值范围．

19．密室逃脱可以因不同的设计思路衍生出不同的主题，从古墓科考到蛮荒探险，从窃取密电到逃脱监笼，玩家可以选择自己喜好的主题场景在规定时间内完成任务，获取奖励．李华参加了一次密室逃脱游戏，他选择了其中一种模式，该游戏共有三关，分别记为A，B，C，他们通过三关的概率依次为：．若其中某一关不通过，则游戏停止，游戏不通过．只有依次通过A，B，C三道关卡才能顺利通关整个游戏，并拿到最终奖励．现已知参加一次游戏的报名费为150元，最终奖励为400元．为了吸引更多的玩家来挑战该游戏，商家推出了一项补救活动，可以在闯关前付费购买通关币．游戏中，若某关卡不通过，则自动使用一枚通关币通过该关卡进入下一关．购买一枚通关币需另付100元，游戏结束后，剩余的未使用的通关币半价回收．

(1)若李华同学购买了一枚通关币，求他通过该游戏的概率．

(2)若李华同学购买了两枚通关币，求他最终获得的收益期望值．（收益等于所得奖励减去报名费与购买通关币所需费用）．

20．图1是直角梯形ABCD，，，，，，，以BE为折痕将BCE折起，使点C到达的位置，且，如图2.

(1)求点D到平面的距离；

(2)若，求二面角的大小.

21．已知点是焦点为F的抛物线C：上一点．

(1)求抛物线C的方程；

(2)设点P是该抛物线上一动点，点M，N是该抛物线准线上两个不同的点，且的内切圆方程为，求面积的最小值．

22．已知函数，其中．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若在上的最大值为0，

①求a的取值范围；

②若恒成立，求正整数k的最小值．

参考答案：

1．C【详解】因为，所以，

所以的共轭复数为，，

所以的共轭复数的模是.

2．A【详解】由，可得，则

又，

所以.

3．A【详解】①若成等比数列，则，

所以

；

②若,

满足，

但是不满足成等比数列（因为等比数列中不能含有0）

“成等比数列”是“”的充分不必要条件，

4．D【详解】对于A：根据学生的成绩都在50分到100分之间的频率和为1，可得

10(0.005+0.01+0.015+x+0.040)=1，解得x=0.03，故A错误；

对于B：在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数为100.015400=60人，

故B错误；

对于C：估计全校学生的平均成绩为550.05+650.1+750.15+850.3+950.4=84分；

故C错误.

对于D：全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为分.

故D正确.

5．D【详解】设，，则，，

即，，，

故，.

6.B 【详解】由点M到直线的距离大于m恒成立，可得点M到直线的最近距离大于m.因为双曲线的渐近线为，则与的距离即为最近距离，则，即.

7．C【详解】如图所示，连接，作所在外接圆圆心，连接，设，由、、两两所成的角都为可得，因为为几何中心，所以，易知对和，，所以，所以，即，解得.

故选：C

8．C【详解】因为是偶函数，所以 ，

两边求导得 ，即，

所以 ，即，

令 可得 ，即 ，

因为为偶函数，

所以 ，即 ，

所以 ，即 ，

，所以4是函数的一个周期，

所以,

9．ACD

10．ABD【详解】因为函数，

因为函数的一条对称轴为，

所以，解得：，

又因为，所以，则，

对于，函数的最小正周期，故选项正确；

对于，，故选项正确；

对于，因为，所以，因为函数在上单调递减，故选项错误；

对于，因为，令，

当时，，则，所以在上单调递增，则，也即，

当时，，则，所以在上单调递减，则，也即，

综上可知：恒成立，故选项正确，

11．BCD【详解】由，

得，即，又，

所以是以2为首项，1为公差的等差数列，

所以，即，

所以，故A错误，C正确；

，所以为递增数列，故B正确；

，

所以数列的前n项和为

，故D正确.

12．BCD【详解】对于A：当时，令，则，即函数有且仅有一个零点为，同理易知函数有且仅有一个零点为，即与也恰有一个公共点，故A错误；

对于B：当时，如下图：

易知在，且，与图象相切，由当时，，则，，故，从而，所以，故B正确；

对于C：当时，如下图：

则，，所以，又图象关于对称，结合图象有，即有，故C正确；

对于D：当时，由，与的图象在轴右侧的前1012个周期中，每个周期均有2个公共点，共有2024个公共点，故D正确.

13．80     14.

15.  【详解】设，由于G是的重心，由重心坐标公式可得，由于，所以的纵坐标为，

由于是的内心，所以内切圆的半径为，

由椭圆定义得，

，

16．【详解】因为，且函数为单调递增函数，所以为函数的唯一零点，

设函数的零点为，

又因为函数与互为“零点相邻函数”，

所以，解得，

所以函数在上有零点，

所以或或，

即或或，所以.

17．【详解】（1）由题意得，

所以

.

（2）设数列的公比为，

因为，所以，，两式相加得，所以，

当时，不成立，所以，，解得.

18．【详解】（1）因为，即，

所以，

即，所以，

因为，，所以，同理得，

所以或（不成立），

所以，结合得．

（2）由余弦定理得，，

所以，则，

由正弦定理得，，

因为，，，，所以，，

所以，．

19.【详解】（1）由题意可知：这一枚通关币的使用情况有四种：

①在第一关使用；②在第二关使用；③在第三关使用；④没有使用.

而通过三关的概率依次为：，

则李华通过该游戏的概率．

（2）购买两枚通关币的费用为200元，报名费为150元，

则收益可能为：（未使用通关币过关），

（使用1枚通关币且过关），

（使用2枚通关币且过关），

（使用2枚通关币且未过关），

则

则.

所以他最终获得的收益期望值是元.

20【详解】（1）解：如图所示：  

连接AC，交BE于F，

因为，，，，，

所以AE=2，

又，

所以四边形ABCE是菱形，

所以，

在中，，

所以，又，则，

所以，又，

所以平面，

设点D到平面的距离为h，

因为，且，

所以，解得；

（2）由（1）建立如图所示空间直角坐标系：

则，

所以，因为，

所以，

设平面BEP的一个法向量为，

则，即，

令，得，易知平面BEA的一个法向量为，

所以，则，

易知二面角的平面角是锐角，

所以二面角的大小为.

21.【详解】（1）因为点是抛物线C：上一点，

所以，解得：，

所以.

（2）设点，点，点，直线方程为：，化简得．

的内切圆方程为，圆心到直线的距离为，即．

故．

易知，上式化简得，．

同理有，

，是关于的方程的两根．

，．

．，，

点到直线的距离为，

所以面积为，

令，则，

因为，，

当且仅当取等，所以.

故面积的最小值为．

22.【详解】（1） ，若 ，则有 ， 单调递增；

若 ， ，当 时， ， 单调递增，

当 时， ， 单调递减；

（2）①由（1）的讨论可知，当 时， 单调递增，在 ， ，满足题意；

当 时，在 ，，满足题意；

当 时，即 ，在， ，

令 ，则 ，当 时， ， 单调递增，

，即 ，不满足题意；

综上，a的取值范围是 ；

②由题意， ， ，即 ，

考虑直线 的极端情况a=1，则 ，

即 ，令 ， ，显然 是减函数，    ，  ，

∴存在唯一的 使得 ，当 时， ，当 时， ，

， ，  ，

即 ，故k的最小值可能是3或4，验算 ，

由于， ， ，

，满足题意；

综上，a的取值范围是 ， 的最小值是3.