2022湖南省湖湘教育三新探索协作体高二下学期期中考试数学含答案

2022年4月湖湘教育三新探索协作体高二期中联考

数   学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，集合，则（    ）

A.  B.

C.  D.

2. 已知z为复数且满足，其中i为虚数单位，则z的虚部为（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知两个非零向量，夹角45°，且，，则（    ）

A 2 B. 4 C.  D. 5

4. 已知为锐角，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 公比不为1的等比数列，前n项和为，已知，，成等差数列，若，则（    ）

A.  B.  C. 6 D. 63

6. 已知的展开式中项的系数为42，则实数a的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 近期全国多地又出现新冠疫情，形式严峻．某中学为落实疫情防控的要求，将对进出校门人员进行健康码检查，现准备安排甲乙等5名工作人员在学校的前门，后门和侧门这三处进行值班，每处至少要安排一人且所有人员都要安排到位，甲乙两人因特殊情况不能安排在一处，则不同的安排方案共有（    ）

A. 90种 B. 96种 C. 114种 D. 150种

8. 已知不等式对恒成立，则正实数a取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知函数，则（    ）

A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称

C. 函数的图象关于点对称 D. 函数在上单调递增

10 已知，则（    ）

A. 展开式中所有项系数和为1

B. 展开式中二项式系数最大项为第1011项

C.

D.

11. 已知数列中，，，则以下说法正确的是（    ）

A.  B. 数列是等比数列

C.  D.

12. 已知正方体ABCD－EFGH棱长为2，M为棱CG的中点，P为底面EFGH上的动点，则（    ）

A. 存在点P，使得

B. 存在唯一点P，使得

C. 当，此时点P的轨迹长度为

D. 当P为底面EFGH的中心时，三棱锥P－ABM的外接球体积为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知函数，则在处的切线方程为________．

14. 袋中装有9个形状大小均相同的小球，其中4个红球，3个黑球，2个白球，从中一次取出2个球，记事件A＝“两球是同一颜色”，事件B＝“两球均为红球”，则________．

15. 已知直线分别与函数和的图象交于点A，B，则的最小值为________．

16. 已知点A是抛物线的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上．在△PAB中，，当m取最小值时，点P恰好在以A，B为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 在中，角所对的边分别为，且．

（1）求角；

（2）若，求周长的最大值．

19. 已知数列的前n项和为，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和．

21. 某市运动会上，将要进行甲、乙两人的羽毛球冠亚军决赛，比赛实行三局两胜制．已知每局比赛中，若甲先发球，其获胜的概率为，否则其获胜的概率为．

（1）若在第一局比赛中采用抛硬币的方式决定谁先发球，试求乙在此局获胜的概率；

（2）若第一局由甲先发球，以后每局由负方先发球．规定胜一局记1分，负一局记0分，记X为比赛结束时甲的得分，求随机变量X的分布列．

23. 如下图，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，ABC＝60°，点M，N分别为BC，PA的中点．

（1）证明：平面PCD；

（2）若直线AC与平面PBC所成角的正弦值为，求平面PAC与平面PCD夹角的余弦值．

25. 已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到点的距离为．

（1）求抛物线的方程及点的坐标；

（2）设斜率为的直线过点且与抛物线交于不同的两点、，若且，求斜率的取值范围．

27. 已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若是的两个零点，求证：．

2022年4月湖湘教育三新探索协作体高二期中联考

数   学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

【1题答案】

【答案】C

【2题答案】

【答案】A

【3题答案】

【答案】B

【4题答案】

【答案】C

【5题答案】

【答案】A

【6题答案】

【答案】D

【7题答案】

【答案】C

【8题答案】

【答案】A

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

【9题答案】

【答案】BC

【10题答案】

【答案】ACD

【11题答案】

【答案】ACD

【12题答案】

【答案】BCD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

【13题答案】

【答案】

【14题答案】

【答案】##0.6

【15题答案】

【答案】

【16题答案】

【答案】

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

【17题答案】

【答案】（1）；   

（2）9.

【18题答案】

【答案】（1）   

（2）

【19题答案】

【答案】（1）   

（2）分布列见解析

【20题答案】

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【21题答案】

【答案】（1）抛物线方程为，点的坐标为   

（2）

【22题答案】

【答案】（1）答案见解析   

（2）证明见解析