高中数学高考专题18 等差数列与等比数列（解析版）

这是一份高中数学高考专题18 等差数列与等比数列（解析版），共38页。试卷主要包含了记为等差数列的前项和，等差数列的首项为1，公差不为0，，，成等比数列，，等内容，欢迎下载使用。

大数据分析*预测高考
十年试题分类*探求规律
考点58 等差数列问题
1．（2020全国Ⅱ理4）北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块，下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块．已知每层环数相同，且下层比中层多块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（ ）
A．块 B．块 C．块 D．块
【答案】C
【思路导引】第n环天石心块数为，第一层共有环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，
设为的前项和，由题意可得，解方程即可得到n，进一步得到．
【解析】设第n环天石心块数为，第一层共有环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，，设为的前项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为，因为下层比中层多729块，所以，即，即，解得，所以，故选C．
2．（2020浙江7）已知等差数列的前项和，公差．记，下列等式不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A．由等差数列的性质可知，成立；
B．，，，
若，则，
即，这与已知矛盾，故B不成立；
C． ，整理为：，故C成立；
D．，当时，即，整理为，即，，方程有解，故D成立．综上可知，等式不可能成立的是B，故选B．
3．（2019•新课标Ⅰ，理9）记为等差数列的前项和．已知，，则
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为，由，，得，，
，，故选．
4．（2018•新课标Ⅰ，理4）记为等差数列的前项和．若，，则
A．B．C．10D．12
【答案】B
【解析】为等差数列的前项和，，，，把，代入得，，故选．
5．（2017•新课标Ⅰ，理4）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【解析】由题知，，解得，，故选．
6．（2017•新课标Ⅲ，理9）等差数列的首项为1，公差不为0．若，，成等比数列，则前6项的和为
A．B．C．3D．8
【答案】A
【解析】等差数列的首项为1，公差不为0．，，成等比数列，，
，且，，解得，前6项的和为，故选．
7．（2016•新课标Ⅰ，理3）已知等差数列前9项的和为27，，则
A．100B．99C．98D．97
【答案】C
【解析】由题知，=，∴，又=，，，故选
8．（2015新课标Ⅰ，文7）已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】∵公差，，∴，解得=，∴，故选B．
9．（2015新课标Ⅱ，文5） 设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，．故选A．
10．（2014新课标Ⅱ，文5）等差数列的公差是2，若成等比数列，则的前项和（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵成等比数列，∴，即，解得=2，∴，故选A．
11．（2017浙江）已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是
“”的（ ）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】∵，当，可得；当，可得．所以“”是“” 充分必要条件，选C．
12．（2015重庆）在等差数列中，若，则＝（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．6
【答案】B
【解析】由等差数列的性质得，选B．
13．（2015浙江）已知是等差数列，公差不为零，前项和是．若成等比数列，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由成等比数列可得：，即，所以，所以，又．
14．（2014辽宁）设等差数列的公差为，若数列为递减数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵数列为递减数列，，等式右边为关于的一次函数，∴．
15．（2014福建）等差数列的前项和，若，则（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【解析】 设等差数列的公差为，则，所以，解得，所以．
16．（2014重庆）在等差数列中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由等差数列的性质得，因为，，所以，选B．
17．（2013辽宁）下面是关于公差的等差数列的四个命题：


其中的真命题为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，所以正确；如果则满足已知，但并非递增所以错；如果若，则满足已知，但，是递减数列，所以错；，所以是递增数列，正确．
18．（2012福建）等差数列中，，，则数列的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题意有，，又∵，∴，∴．
19．（2012辽宁）在等差数列中，已知，则该数列前11项和（ ）
A．58 B．88 C．143 D．176
【答案】B
【解析】，而，故选B．
20．（2011江西）设为等差数列，公差，为其前项和，若，
则（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
【答案】B
【解析】由，得，．
21．（2011天津）已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为的前项和，，则的值为
A．－110 B．－90 C．90 D．110
【答案】D
【解析】因为是与的等比中项，所以，又数列的公差为，所以，解得，故，所以．
22．（2020北京8）在等差数列{}中，，，记，则数列{}（ ）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【答案】A
【解析】设公差为d，a5-a1=4d，即d=2，an=2n-11，1≤n≤5使，an＜0，n≥6时，an＞0，所以n=4时，Tn＞0，并且取最大值；n=5时，Tn＜0；n≥6时，Tn＜0，并且当n越来越大时，Tn越来越小，所以Tn无最小项．故选A．
23．（2020上海7）已知等差数列的首项，且满足，则 ．
【答案】
【解析】由条件可知，．
故答案为： ．
24．（2019•新课标Ⅲ，理14）记为等差数列的前项和，若，，则 ．
【答案】4
【解析】设等差数列的公差为，则由，可得，，
．
25．（2015•新课标Ⅱ，理16）设数列的前项和为，且，，则 ．
【答案】
【解析】，，，又，即，
数列是以首项是、公差为的等差数列，，．
26．（2015安徽）已知数列中，，()，则数列的前9项和等于______．
【答案】27
【解析】∵，，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，所以前9项和．
27．（2019江苏8）已知数列是等差数列，是其前n项和．若，则的值是 ．
【答案】16
【解析】设等差数列的首项为，公差为，则，解得，所以．
28．（2019北京理10）设等差数列的前n项和为，若，则 ________ ． 的最小值为_______．
【答案】0，-10
【解析】由题意得，，解得，所以．
因为是一个递增数列，且，所以的最小值为或，．
29．(2018北京)设是等差数列，且，，则的通项公式为___．
【答案】14
【解析】解法一 设的公差为，首项为，则，
解得，所以．
解法二 ，所以．故，故．
30．(2018上海)记等差数列的前几项和为，若，，则= ．
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，，∴，∴．
31．（2015广东）在等差数列中，若，则 ．
【答案】10
【解析】 由得，所以，故．
32．（2014北京）若等差数列满足，，则当__时
的前项和最大．
【答案】8
【解析】 ∵数列是等差数列，且，．又，∴．当=8时，其前项和最大．
33．（2014江西）在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取最大值，则的取值范围_________．
【答案】
【解析】由题意可知，当且仅当时取最大值，可得，解得．
34．（2013广东）在等差数列中，已知，则_____．
【答案】20
【解析】 依题意，所以．
35．（2012北京）已知为等差数列，为其前项和．若，，
则 ；= ．
【答案】1，
【解析】设公差为d，则，把代入得，∴，=
36．（2012江西）设数列都是等差数列，若，，则___________．
【答案】35
【解析】因为数列都是等差数列，所以数列也是等差数列．故由等差中项的性质，得，即，解得．
37．（2012广东）已知递增的等差数列满足，，则=____．
【答案】
【解析】
38．（2011广东）等差数列前9项的和等于前4项的和．若，，
则=_________．
【答案】10
【解析】设的公差为，由及，得，所以．又，所以，即．
39．（2019•新课标Ⅰ，文18）记为等差数列的前项和，已知．
（1）若，求的通项公式；
（2）若，求使得的的取值范围．
【解析】（1）根据题意，等差数列中，设其公差为，
若，则，变形可得，即，
若，则，
则，
（2）若，则，
当时，不等式成立，
当时，有，变形可得，
又由，即，则有，即，则有，
又由，则有，
则有，
综合可得：，．
40．（2018•新课标Ⅱ，理（文）17）记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
【解析】（1）等差数列中，，，
，，解得，，
；
（2），，，
，
当时，前项的和取得最小值为．
41．（2016•新课标Ⅱ，文17）等差数列中，，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如，．
【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，
，．
，
解得：，
；
（Ⅱ），
，
，
，
．
故数列的前10项和．
42．（2013新课标Ⅱ，文17）已知等差数列的公差不为零，，且成等比数列．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求；
【解析】（Ⅰ）设{}的公差为，
由题意，=，
即，
∵，
∴=0（舍去）或=-2，
∴；
（Ⅱ）令=
由（Ⅰ）知，=，
∴{}是首项为25，公差为-6的等差数列，
∴===．
43．（2014浙江）已知等差数列的公差，设的前n项和为，，
．
（Ⅰ）求及；
（Ⅱ）求（）的值，使得．
【解析】（Ⅰ）由题意，，
将代入上式得或，
因为，所以，从而，（）．
（Ⅱ）由（1）知，，
所以，
由知，，
所以，所以．
44．（2013福建）已知等差数列的公差，前项和为．
（Ⅰ）若成等比数列，求；
（Ⅱ）若，求的取值范围．
【解析】（Ⅰ）因为数列的公差，且成等比数列，
所以，
即，解得或．
（Ⅱ）因为数列的公差，且，
所以；
即，解得
45．（2011福建）已知等差数列中，=1，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列的前项和，求的值．
【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，则
由
解得=－2．
从而，
（Ⅱ）由（I）可知，
所以
进而由
即，解得
又为所求．
46．（2013江苏）设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和．
记，，其中为实数．
（Ⅰ） 若，且，，成等比数列，证明：；
（Ⅱ） 若是等差数列，证明：．
【证明】（Ⅰ）若，则，，又由题，
，，
是等差数列，首项为，公差为，，又成等比数列，
，，，，，，
，（）．
（Ⅱ）由题，，，若是等差数列，
则可设，是常数，关于恒成立．
整理得：，
关于恒成立．，
，．
考点59等比数列问题
1．（2020全国Ⅰ文10）设是等比数列，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路导引】根据已知条件求得的值，再由可求得结果．
【解析】设等比数列的公比为，则，
，
，故选D．
2．（2020全国Ⅱ文6）记为等比数列的前项和．若则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【思路导引】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前项和公式进行求解即可．
【解析】设等比数列的公比为，由可得：，
∴，因此，故选B．
3．（2020全国Ⅱ理6）数列中，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路导引】取，可得出数列是等比数列，求得数列的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于的等式，由可求得的值．
【解析】在等式中，令，可得，，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
，
，则，解得．故选：C．
4．（2019•新课标Ⅲ，理5）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（ ）
A．16B．8C．4D．2
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，则由前4项和为15，且，有
，，，故选．
5．（2017•新课标Ⅱ，理3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯
A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏
【答案】B
【解析】设塔顶的盏灯，由题意是公比为2的等比数列，，
解得，故选．
6．（2015•新课标Ⅱ，理4）已知等比数列满足，，则
A．21B．42C．63D．84
【解析】，，，，，
，，故选．
7．（2015新课标Ⅱ，文9）已知等比数列满足，，则（ ）

【答案】C
【解析】由题意可得，所以 ，故 ，选C．
8．（2013新课标Ⅰ，文6）设首项为1，公比为的等比数列{}的前n项和为，则
．= ．= ．= ．=
【答案】D
【解析】==，故选
9．（2013新课标Ⅱ，理3） 等比数列{}的前n项和为，已知，=9，，则=
A． B． C． D．
【答案】C．
【解析】由题知=，即，即，又9==，∴=，故选C．
10．（2012新课标，理5）已知数列{}为等比数列，=2，=－8，则=
．7 ．5 ．－5 ．－7
【答案】D．
【解析】∵==－8，=2，∴=4，=－2，或=－2，=4，
当=4，=－2时，=－，==-7，
当=－2，=4时，=－2，==－7，故选D．
11．（2013大纲）已知数列满足，则的前10项和等于
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，∴是等比数列， 又，∴，∴，故选C．
12．(2018北京) “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于，第一个单音的频率为，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项为，公比为的等比数列，记为，则第八个单音频率为，故选D．
13．(2018浙江)已知，，，成等比数列，且．若，则
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】 因为()，所以
，所以，又，所以等比数列的公比．
若，则，
而，所以，
与矛盾，
所以，所以，，
所以，，故选B．
14．（2014重庆）对任意等比数列，下列说法一定正确的是
A．成等比数列 B．成等比数列
C．成等比数列 D．成等比数列
【答案】D
【解析】由等比数列的性质得，，因此一定成等比数列．
15．（2012北京） 已知为等比数列．下面结论中正确的是
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【解析】取特殊值可排除A、C、D，由均值不等式可得．
16．（2011辽宁）若等比数列满足，则公比为
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【解析】由，得，两式相除得，
∴，∵，可知公比为正数，∴．
17．（2019•新课标Ⅰ，理14）记为等比数列的前项和．若，，则 ．
【答案】
【解析】在等比数列中，由，得，即，，则．
18．（2019•新课标Ⅰ，文14）记为等比数列的前项和，若，，则 ．
【答案】
【解析】等比数列的前项和，，，，，整理可得，，解可得，，则．
19．（2015新课标Ⅰ，文13）数列中为的前n项和，若，则 ．
【答案】6
【解析】∵，∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，∴，∴，∴n=6．．
20．（2017•新课标Ⅲ，理14）设等比数列满足，，则 ．
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，，，，，解得，，则．
21．(2012新课标，文14)等比数列{}的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比=_______
【答案】-2
【解析】当=1时，=，=，由S3+3S2=0得，=0，∴=0与{}是等比数列矛盾，故≠1，由S3+3S2=0得，，解得=－2．
22．（2017江苏）等比数列的各项均为实数，其前项的和为，已知，，则= ．
【答案】32
【解析】设的公比为，由题意，由，所以，由，得，所以．
23．（2017北京）若等差数列和等比数列满足，，
则=_____．
【答案】1
【解析】设的公差为，的公比为，由题意，
所以，，所以．
24．（2016年浙江）设数列的前项和为．若，，，则
= ，= ．
【答案】 ．
【解析】由于，解得，由，所以，所以是以为首项，3为公比的等比数列，
所以，所以．
25．（2015安徽）已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于 ．
【答案】
【解析】由题意，，解得或，而数列是递增的等比数列，所以，即，所以，因而数列的前项和．
26．（2014广东）等比数列的各项均为正数，且，则
________．
【答案】5
【解析】由等比数列的性质可知，于是，由得，
故，则
．
27．（2014广东）若等比数列的各项均为正数，且，则
．
【答案】50
【解析】因是等比数列，∴，由得
∴，∴=50．
28．（2014江苏）在各项均为正数的等比数列中，，则的值
是 ．
【答案】4
【解析】 设等比数列的公比为，．则，即为，解得（负值舍去），又，所以．
29．（2013广东）设数列是首项为，公比为的等比数列，则
．
【答案】15
【解析】，∴ 15．
30．（2013北京）若等比数列满足=20，=40，则公比q= ；前n项和= ．
【答案】
【解析】由=得；=20，得；∴．
31．（2013江苏）在正项等比数列中，，．则满足
的最大正整数的值为 ．
【答案】12
【解析】设正项等比数列首项为，公比为q，则：，得：＝，q＝2，．记，．，则，化简得：，当时，．当n＝12时，，当n＝13时，，故．
32．（2012江西）等比数列的前项和为，公比不为1．若，且对任意的 都有，则=_________________．
【答案】11
【解析】由，可得，由可知，求得公比，可得=11．
33．（2012辽宁）已知等比数列为递增数列，若，且，则数列的公比 ．
【答案】2
【解析】
因为数列为递增数列，且．
34．（2012浙江）设公比为的等比数列的前项和为．若，
，则 ．
【答案】
【解析】依题意可得，
两式相减可得，即，
解得（舍）或或．因为，所以．
35．（2011北京）在等比数列中，，，则公比=_____ _________；
____________．
【答案】2
【解析】得，解得，．
36．（2017•新课标Ⅱ，文17）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，，，．
（1）若，求的通项公式；
（2）若，求．
【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
，，，，
可得，，
解得，或，（舍去），
则的通项公式为，；
（2），，
可得，
解得或，
当时，，，
，；
当时，，，
，．
37．（2018•新课标Ⅰ，文17）已知数列满足，，设．
（1）求，，；
（2）判断数列是否为等比数列，并说明文由；
（3）求的通项公式．
【解析】（1）数列满足，，
则：（常数），
由于，
故：，
数列是以为首项，2为公比的等比数列．
整文得：，
所以：，，．
（2）数列是为等比数列，
由于（常数）；
（3）由（1）得：，
根据，
所以：．
38．（2018•新课标Ⅲ，理文17）等比数列中，，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和．若，求．
【解析】（1）等比数列中，，．
，
解得，
当时，，
当时，，
的通项公式为，，或．
（2）记为的前项和．
当，时，，
由，得，，无解；
当，时，，
由，得，，
解得．
39．（2014新课标Ⅱ，理17）已知数列满足=1，．
（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；
（Ⅱ）证明：．
【解析】（Ⅰ）∵，∴，即：
又，∴是以为首项，3为公比的等比数列．
∴，即
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴
∴
故：
40． (2013天津)已知首项为的等比数列的前n项和为， 且成等差数列．
(Ⅰ) 求数列的通项公式；
(Ⅱ) 证明．
【解析】(Ⅰ)设等比数列的公比为，因为，，成等差数列，
所以，即，可得，
于是．又，所以等比数列的通项公式为
．
(Ⅱ)，
当为奇数时，随的增大而减小，所以．
当为偶数时，随的增大而减小，所以．
故对于，有．
41．（2011江西）已知两个等比数列，满足
．
（Ⅰ）若，求数列的通项公式；
（Ⅱ ）若数列唯一，求的值．
【解析】（Ⅰ）设的公比为，
则
由成等比数列得
即
所以的通项公式为
（Ⅱ ）设的公比为，则由
得
由，故方程（*）有两个不同的实根
由唯一，知方程（*）必有一根为0，代入（*）得
42．（2013湖北）已知是等比数列的前项和，，，成等差数列，
且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数，使得？若存在，求出符合条件的所有的集合；
若不存在，说明理由．
【解析】（Ⅰ）设数列的公比为，则，． 由题意得
即 解得
故数列的通项公式为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）有 ．
若存在，使得，则，即
当为偶数时，， 上式不成立；
当为奇数时，，即，则．
综上，存在符合条件的正整数，且所有这样的n的集合为．
考点60等差数列与等比数列的综合问题
1．（2020江苏11）设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，已知的前项和，则的值是________．
【答案】
【解析】∵的前项和，
当时，；
当时，，∴，从而有．
2．（2016课标卷1，理15）设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为 ．
【答案】64
【解析】由5=，解得=，所以，解得=8，所以数列是递减数列，因为，所以，当或4时，表达式取得最大值：．
3．（2013重庆）已知是等差数列，，公差，为其前项和，若成等比数列，则．
【答案】64
【解析】由且成等比数列，得，解得，故．
4．（2011江苏）设，其中成公比为的等比数列，成公差为1的等差数列，则的最小值是________．
【答案】
【解析】设，则，由于，所以，故的最小值是．
5．（2017•新课标Ⅰ，文17）记为等比数列的前项和．已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并判断，，是否成等差数列．
【解析】（1）设等比数列首项为，公比为，
则，则，，
由，，整理得：，解得：，
则，，
的通项公式；
（2）由（1）可知：，
则，，
由，
，
，
，
即，
，，成等差数列．
6．（2019•新课标Ⅱ，理19）已知数列和满足，，，．
（1）证明：是等比数列，是等差数列；
（2）求和的通项公式．
【解析】（1）证明：，；
，；
即，；
又，，
是首项为1，公比为的等比数列，
是首项为1，公差为2的等差数列；
（2）由（1）可得：，
；
，．
7．（2019•新课标Ⅱ，文18）已知的各项均为正数的等比数列，，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【解析】（1）设等比数列的公比为，
由，，得，
即，解得（舍或．
；
（2），
，，
数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
则数列的前项和．
8．（2016•新课标Ⅰ，文17）已知是公差为3的等差数列，数列满足，，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求的前项和．
【解析】（Ⅰ）．
当时，．
，，
，
又是公差为3的等差数列，
，
（Ⅱ）由知：．
即．
即数列是以1为首项，以为公比的等比数列，
的前项和．
9．（2011课标，文17）已知等比数列{}中，=，公比=．
（Ⅰ）为{}的前项和，证明：=；
（Ⅱ）设=，求数列{}的通项公式．
【解析】（Ⅰ）因为
===
（Ⅱ）
所以的通项公式为
10．（2018天津）设是等差数列，其前项和为()；是等比数列，公比大于0，其前项和为()．已知，，，
．
(1)求和；
(2)若，求正整数的值．
【解析】(1)设等比数列的公比为，由，，可得．
因为，可得，故．所以．
设等差数列的公差为．由，可得．
由，可得 从而，
故，所以．
(2)由(1)，知
由可得，
整理得，解得（舍），或．所以的值为4．
11．（2015四川）设数列的前项和，且成等差数列
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和，求得成立的的最小值．
【解析】（1）由已知有，
即，
从而．
又因为成等差数列，即．
所以，解得．
所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列．故．
（2）由（1）得．
所以．
由，得，即．
因为，
所以．
于是，使成立的n的最小值为10．
12．（2014福建）在等比数列中，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
【解析】(Ⅰ)设的公比为，依题意得，解得，
因此，．
（Ⅱ）因为，
∴数列的前项和．
13．（2014江西）已知数列的前项和．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）证明：对任意，都有，使得成等比数列．
【解析】（Ⅰ）因为所以，当时
又时，所以数列的通项公式为
（Ⅱ）要使得成等比数列，只需要，
即．而此时，且
所以对任意，都有，使得成等比数列．
14． (2012山东)已知等差数列的前5项和为105，且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）对任意，将数列中不大于的项的个数记为．求数列的前m项和．
【解析】（Ⅰ）由已知得：
解得，
所以通项公式为．
（Ⅱ）由，得，即．
∵，
∴是公比为49的等比数列，
∴．
15．（2012湖南）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％．预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第年年底企业上缴资金后的剩余资金为万元．
（Ⅰ）用表示，并写出与的关系式；
（Ⅱ）若公司希望经过（≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金的值（用表示）．
【解析】（Ⅰ）由题意得，
，
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
．
整理得
．
由题意，
解得．
故该企业每年上缴资金的值为缴时，经过年企业的剩余资金为4000元．
16．（2012山东）在等差数列中，，
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）对任意的，将数列中落入区间内的项的个数为，求数列的前项和．
【解析】：（Ⅰ）由a3+a4+a5=84，a5=73可得而a9=73，则
，，
于是，即．
（Ⅱ）对任意m∈N﹡，，则，
即，而，由题意可知，
于是
，
即．
17．（2012江苏）已知各项均为正数的两个数列和满足：．
（Ⅰ）设，求证：数列是等差数列；
（Ⅱ）设，且是等比数列，求和的值．
【解析】（Ⅰ）由题意知，
所以，从而
所以数列是以1为公差的等差数列．
（Ⅱ）．所以，
从而 (*)
设等比数列的公比为，由知下证．
若，则．故当，，与（*）矛盾；
若，则．故当，，与（*）矛盾；
综上：故，所以．
又，所以是以公比为的等比数列，若，
则，于是，又由，得，
所以中至少有两项相同，矛盾．所以，从而，所以．年 份
题 号
考 点
考 查 内 容
2011
文17
等差数列与等比数列综合问题
等比数列的通项公式、前项和公式及等差数列的前项和公式，逻辑思维能力、运算求解能力
2012[来源:学*科*网Z*X*X*K]
理5[来源:Z#xx#k.Cm]
等比数列问题
等比数列通项公式及性质[来源:学。科。网Z。X。X。K]
文14
等比数列问题
等比数列项和公式
2013
卷2
文17
等差数列问题
等差数列通项公式、前项和公式、性质，方程思想
卷2
理3
等比数列问题
等比数列的通项公式与前项和公式及方程思想
卷1
文6
等比数列问题
等比数列前项和公式
2014
卷2
文5
等差数列问题
等比中项、等差数列通项公式及前项和公式
卷2
理17
等比数列问题
等比数列概念、通项公式、前项和公式及数列不等式证明，放缩思想
2015
卷2
文5
等比数列问题
等比数列通项公式及方程思想
卷2
文5
等差数列问题
等差通项公式、性质及前项和公式
卷2
理16
等差数列问题
数列前项和与关系、等差数列定义及通项公式
卷2
理4
等比数列问题
等比数列通项公式及方程思想
卷1
文13
等比数列问题
等比数列定义及前项和公式
卷1
文7
等差数列问题
等差数列通项公式、前项和公式，方程思想
2016
卷2
文17
等差数列问题
等差数列通项公式及对新概念的理解与应用，运算求解能力
卷1
文17
等差数列与等比数列综合问题
等差数列通项公式、等比数列定义、前项和公式，运算求解能力
卷1
理3
等差数列问题
等差数列通项公式、前项和公式、性质
卷1
理15
等差数列与等比数列综合问题
等比数列通项公式、等差数列前项和公式及二次函数最值问题，函数与方程思想
2017
卷3
理14
等比数列问题
等比数列通项公式及方程思想
卷3
理9
等差数列问题
等差数列通项公式及前项和公式、等比数列概念，方程思想
卷2
文17
等差数列与等比数列的综合问题
等差数列通项公式及前项和公式、等比数列通项公式及前项和公式，方程思想
卷2
理3
等比数列问题
等比数列定义及前项和公式及传统文化
卷1
文17
等差数列与等比数列的综合问题
等比数列通项公式、前项和公式及等差数列定义，方程思想
卷1
理4
等差数列问题
等差数列的通项公式及前项，方程思想
2018
卷3
理文17
等比数列问题
等比数列通项公式、前项和公式，方程思想与运算求解能力
卷2
理文17
等差数列问题
等差数列的通项公式及前项和公式及前项和的最值，方程思想
卷1
文17
等比数列问题
等比数列定义、通项公式，运算求解能力
卷1
理4
等差数列问题
等差数列通项公式与前项和公式，方程思想
2019
卷3
文14
等差数列问题
等差数列通项公式与前项和公式，方程思想
卷3
理5
等比数列问题
等比数列通项公式与前项和公式，方程思想
卷2
文18
等差数列与等比数列综合问题
等比数列的通项公式、等差数列定义及前项和公式，方程思想
卷2
理19
等差数列与等比数列的综合问题
等比数列的定义及通项公式、等差数列定义与通项公式，运算求解能力
卷1
文14
等比数问题
等比数列通项公式与前项和公式，方程思想
卷1
文18
等差数列问题
等差数列通项公式与前项和公式及数列数列不等式问题，方程思想
卷1
理14
等比数列问题
等比数列通项公式与前项和公式，方程思想
卷1
理9
等差数列问题
等差数列通项公式与前项和公式，方程思想
2020
卷1
理
文10
等比数列问题
等比数列的性质，等比数列基本量的计算，方程思想
卷2
理4
等差数列问题
等差数列通项公式、前项和公式，方程思想，数学文化
理6
等比数列问题
等比数列通项公式、前项和公式，方程思想
文6
等比数列问题
等比数列通项公式与前项和公式，方程思想
考 点
出现频率
2021年预测
考点58等差数列问题
15/37
2021年高考仍将考查等差数列与等比数列定义、性质、前项和公式，题型为选择填空题或解答题的第1小题，难度为基础题或中档题．
考点59等比数列问题
13/37
考点60等差数列与等比数列的综合问题
9/37