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专题16 有界磁场及临界极值多解问题-2023年高三物理二轮高频考点冲刺突破
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这是一份专题16 有界磁场及临界极值多解问题-2023年高三物理二轮高频考点冲刺突破，文件包含专题16有界磁场及临界极值多解问题解析版docx、专题16有界磁场及临界极值多解问题原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
【典例专练】
高考真题
1．如图所示，在xOy坐标系的第一象限内存在匀强磁场。一带电粒子在P点以与x轴正方向成60的方向垂直磁场射入，并恰好垂直于y轴射出磁场。已知带电粒子质量为m、电荷量为q，OP = a。不计重力。根据上述信息可以得出（ ）
A．带电粒子在磁场中运动的轨迹方程
B．带电粒子在磁场中运动的速率
C．带电粒子在磁场中运动的时间
D．该匀强磁场的磁感应强度
【答案】A
【详解】粒子恰好垂直于y轴射出磁场，做两速度的垂线交点为圆心，轨迹如图所示
A．由几何关系可知；因圆心的坐标为，则带电粒子在磁场中运动的轨迹方程为故A正确；
BD．洛伦兹力提供向心力，有解得带电粒子在磁场中运动的速率为因轨迹圆的半径可求出，但磁感应强度未知，则无法求出带电粒子在磁场中运动的速率，故BD错误；
C．带电粒子圆周的圆心角为，而周期为则带电粒子在磁场中运动的时间
因磁感应强度未知，则运动时间无法求得，故C错误；故选A。
2．一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】粒子在磁场中做匀速圆周运动， 可得粒子在磁场中的周期
粒子在磁场中运动的时间则粒子在磁场中运动的时间与速度无关，轨迹对应的圆心角越大，运动时间越长。采用放缩圆解决该问题，粒子垂直ac射入磁场，则轨迹圆心必在ac直线上，将粒子的轨迹半径由零逐渐放大。当半径和时，粒子分别从ac、bd区域射出，磁场中的轨迹为半圆，运动时间等于半个周期。当0.5R粒子要想圆心角最大，则可知需要让越大越好，因此最大即为ce和半圆磁场边界相切，则根据几何关系可得此时，因此可知此时恰好a点即为粒子做圆周运动的圆心，此时；粒子运动最长时间为,故选C。
3．如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为的带电粒子从圆周上的M点沿直径方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为，离开磁场时速度方向偏转；若射入磁场时的速度大小为，离开磁场时速度方向偏转，不计重力，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】根据题意做出粒子的圆心如图所示
设圆形磁场区域的半径为R，根据几何关系有第一次的半径第二次的半径根据洛伦兹力提供向心力有可得所以故选B。
4．真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】电子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力则磁感应强度与圆周运动轨迹关系为即运动轨迹半径越大，磁场的磁感应强度越小。令电子运动轨迹最大的半径为，为了使电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，其最大半径的运动轨迹与实线圆相切，如图所示
A点为电子做圆周运动的圆心，电子从圆心沿半径方向进入磁场，由左手定则可得，， 为直角三角形，则由几何关系可得解得解得磁场的磁感应强度最小值
故选C。
5．如图，在平面直角坐标系的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电量为q的相同粒子从y轴上的点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为。当时，粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力。则（ ）
A．粒子一定带正电
B．当时，粒子也垂直x轴离开磁场
C．粒子入射速率为
D．粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为
【答案】ACD
【详解】A．根据题意可知粒子垂直轴离开磁场，根据左手定则可知粒子带正电，A正确；
BC．当时，粒子垂直轴离开磁场，运动轨迹如图
粒子运动的半径为洛伦兹力提供向心力解得粒子入射速率
若，粒子运动轨迹如图
根据几何关系可知粒子离开磁场时与轴不垂直，B错误，C正确；
D．粒子离开磁场距离点距离最远时，粒子在磁场中的轨迹为半圆，如图
根据几何关系可知解得，D正确。故选ACD。
有界直边界磁场问题
6．如图所示，横截面为正方形abcd的有界匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。一束电子以大小不同、方向垂直ad边界的速度飞入该磁场。对于从不同边界射出的电子，下列判断错误的是（ ）
A．从ad边射出的电子在磁场中运动的时间都相等
B．从c点离开的电子在磁场中运动时间最长
C．电子在磁场中运动的速度偏转角最大为π
D．从bc边射出的电子的速度一定大于从ad边射出的电子的速度
【答案】B
【详解】ABC．电子的速率不同，运动轨迹半径不同，如图，由周期公式可知，周期与电子的速率无关，所以在磁场中的运动周期相同，根据可得电子在磁场中运动时间与轨迹对应的圆心角成正比，所以电子在磁场中运动的时间越长，其轨迹线所对应的圆心角θ越大，故从ad边射出的电子在磁场中运动的时间都相等且运动时间最长，AC正确，B错误；
D．从bc边射出的轨道半径大于从ad边射出的电子的轨道半径，由半径公式可得轨迹半径与速率成正比，则电子的速率越大，在磁场中的运动轨迹半径越大，故从bc边射出的电子的速度一定大于从ad边射出的电子的速度，D正确。本题选错误的，故选B。
7．如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中有一粒子源，粒子源从O点在纸面内同时向各个方向均匀地发射带正电的粒子，其速率为v、质量为m、电荷量为q。是在纸面内垂直磁场放置的厚度不计的挡板，挡板的P端与O点的连线与挡板垂直，距离为。设打在挡板上的粒子全部被吸收，磁场区域足够大，不计带电粒子间的相互作用及重力，，。则（ ）
A．若挡板长度为，则打在板上的粒子数最多
B．若挡板足够长，则打在板上的粒子在磁场中运动的最短时间为
C．若挡板足够长，则打在板上的粒子在磁场中运动的最长时间为
D．若挡板足够长，则打在挡板上的粒子占所有粒子的
【答案】D
【详解】A．设带电粒子的质量为m，带电量为q，粒子在磁场中受到的洛伦兹力提供做圆周运动的向心力。设粒子做圆周运动的半径为r。则有解得能打到挡板上的最远的粒子如图；
由几何关系可知，挡板长度选项A错误；
BC．由以上分析知，当粒子恰好从左侧打在P点时，时间最短，如图轨迹1所示，由几何关系得粒子转过的圆心角为θ1=106°；对应的时间为当粒子从右侧恰好打在P点时，时间最长，如图轨迹2所示，由几何关系得粒子转过的圆心角为θ2=254°对应的时间为
选项BC错误；
D．如图所示，能打到屏上的粒子，在发射角在与x轴成37°到127°范围内90°角的范围内的粒子，则打在挡板上的粒子占所有粒子的，选项D正确。故选D。
8．等腰梯形AFCD区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，梯形上、下底AF、CD长度分别为L和2L，∠D＝60°，下底CD的中点E处有一个α粒子放射源，可以向CD上方射出速率不等的α粒子，α粒子的速度方向与磁场方向垂直，不计粒子间的相互作用力及重力，已知质子的电荷量为e，质量为m，下列说法正确的是（ ）
A．若AF、AD边有粒子射出，则FC边一定有粒子射出
B．若粒子可以到达F点，则其最小速度为
C．到达A点和到达F点的粒子一定具有相同的速率
D．运动轨迹与AD边相切(由CD边出磁场)的速率最小的粒子在磁场中的运动时间为
【答案】BD
【详解】A．如图甲所示，当AF、AD边恰有粒子射出时，由几何关系可知，粒子运动轨迹没有到达FC边，A错误；
B．如图乙所示
由几何关系可知，当β＝π时，速度最小，其轨迹半径r＝由可得v＝
B正确；
C．到达A点和到达F点的粒子半径可以不相同，速率就不同，C错误；
D．如图丙所示
当α＝π时，速度最小，由t＝得t＝，D正确。故选BD。
9．如题图，直角三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），AC边长为l，为，一群比荷为的带负电粒子以相同速度从C点开始一定范围垂直AC边射入，射入的粒子恰好不从AB边射出，已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为，则（ ）
A．磁感应强度大小为
B．粒子运动的轨道半径为
C．粒子射入磁场的速度大小为
D．粒子在磁场中扫过的面积为
【答案】ACD
【详解】A．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间是T，由得解得故A正确；
B．设运动时间最长的粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角为θ，则有得画出该粒子的运动轨迹如图
设轨道半径为R，由几何知识得可得故B错误；
C．粒子射入磁场的速度大小为故C正确；
D．射入的粒子恰好不从AB边射出，粒子在磁场中扫过的面积为
故D正确。故选ACD。
10．如图甲所示，是一长方形有界匀强磁场边界，磁感应强度按图乙规律变化，取垂直纸面向外为磁场的正方向，图中，，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子以速度在时刻从A点沿方向垂直磁场射入，粒子重力不计。则下列说法中正确的是（）（ ）
A．若粒子经时间恰好垂直打在上，则磁场的磁感应强度大小
B．若粒子经时间恰好垂直打在上，则粒子运动的半径大小
C．若要使粒子恰能沿方向通过C点，则粒子在磁场中运动的轨迹半径（，2，3，…）
D．若要使粒子恰能沿方向通过C点，磁场变化的周期（，2，3，…）
【答案】BCD
【详解】A．若粒子经时间恰好垂直打在上，则粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为，根据牛顿第二定律有解得，A错误；
B．若粒子经时间恰好垂直打在上，如图所示
可知粒子运动了三段四分之一圆弧，则运动的半径大小为，B正确；
C．若要使粒子恰能沿方向通过C点，如图所示
应该满足其中解得（，2，3，…），C正确；
D．根据几何关系可知粒子在一个磁场变化的周期内转过的圆心角为则（，2，3，…）解得（，2，3，…），D正确。故选BCD。
有界弧形界磁场问题
11．如图所示，半轻分别为r和2r的两个同心圆，其圆心为O，只在环形区域内存在着磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场（磁场区域包括边界）大量质量为m、电荷量为的带电粒子从M点沿各个方向以不同速率射入磁场区域。不计粒子间的相互作用及重力，。下列判断正确的是（ ）
A．沿MO方向射入磁场且恰好未能进入内部圆形区域的带电粒子的轨道半径为
B．沿MO方向射入磁场且恰好未能进入内部圆形区域的带电粒子在磁场中运动的时间为
C．第一次穿过磁场后恰能经过O点的带电粒子的最小入射速率为
D．第一次穿过磁场后恰能经过O点的带电粒子的最小入射速率为
【答案】B
【详解】A．带电粒子从P点沿方向射入磁场，恰好未能进入内部圆形区域，说明运动轨迹恰好与内圆相切，如图所示
设圆弧的半径为，圆心为，连接OA、AM和OM，在直角三角形OAM中，由于即
解得故A错误；
B．在直角三角形OAM中，由于则整个圆弧轨道所对的圆心角为，带电粒子做圆周运动，则； 解得粒子在磁场中的运动时间为
故B正确；
CD．带电粒子的入射速率最小，则粒子圆周运动的半径最小，粒子从M点经圆周运动通过圆心O，根据逆向运动，半径最小的圆周运动其圆弧与大圆相切，如图所示
设圆弧半径为，圆心为D，其中M、D、O在一条直线上，连接OM、CD，在直角三角形中，由于
即解得带电粒子做圆周运动，则解得
故CD错误。故选B。
12．如图所示，在xOy平面的第Ⅰ、IV象限内有一圆心为O、半径为R的半圆形匀强磁场，线状粒子源从y轴左侧平行于x轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为的带正电粒子。磁场的磁感应强度大小为、方向垂直平面xOy向里。不考虑粒子间的相互作用，不计粒子受到的重力。所有从不同位置进入磁场的粒子中，在磁场中运动的时间最长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】粒子在磁场中做匀速圆周运动，有解得如图所示，当粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角最大时，粒子在磁场中运动的时间最长，由于，要使圆心角最大，最长，经分析可知，当粒子从y轴上的点射入、从x轴上的点射出磁场时，粒子在磁场中运动的时间最长，有
解得从点射入磁场的粒子在磁场中运动的时间解得故选C。
13．如图所示，ACD为一半圆形区域，其中O为圆心，AD为直径，∠AOC=90°，半圆形区域内存在着垂直该平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一带电粒子（不计重力）从圆弧的P点以速度v沿平行于直径AD方向射入磁场，经过一段时间从C点离开磁场时，速度方向偏转了60°，设P点到AD的距离为d。下列说法中正确的是（ ）
A．该粒子带负电B．该粒子的比荷为
C．该粒子在磁场中运动时间为D．直径AD长度为3d
【答案】ABC
【详解】A．左手定则可知，粒子带负电，选项A正确；
B．作出粒子运动轨迹如图：
由几何知识可知四边形是棱形，粒子运动半径为又解得选项B正确；
C．由几何知识可知粒子在磁场中运动的时间为六分之一的周期，则有选项C正确；
D．由几何知识可知直径AD长度为4d，选项D错误。故选ABC。
14．如图所示，半径为R的圆形区域内存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场的左边垂直x轴放置一线型粒子发射装置， 能在0≤y≤R的区间内各处沿x轴正方向同时发射出速度相同、带正电的同种粒子，粒子质量为m，电荷量为q，不计粒子的重力及粒子间的相互作用力。若某时刻粒子被装置发射出后，经过磁场偏转击中y轴上的同一位置，则下列说法中正确的是（ ）
A．粒子的初速度为
B．粒子都击中在O点处
C．粒子在磁场中运动的最长时间为
D．粒子到达y轴上的最大时间差为
【答案】AD
【详解】A．从最低点射出的也击中，那么粒子做匀速圆周运动的半径为，由洛仑兹力提供向心力得则速度故A正确。
B．由题意，某时刻发出的粒子都击中的点是轴上同一点，由最高点射出的只能击中，则击中的同一点就是，故B错误。
C．显然偏转角最大的时间最长，显然从最低点射出的粒子偏转90°，时间最长，时间故C错误。
D．从最高点直接射向的粒子时间最短，则最长与最短的时间差为故D正确。
故选AD。
15．如图所示，在以r为半径、O为圆心的圆形区域内存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，AC为圆的直径，与竖直线AD的夹角为45°。某粒子源在A点向AC与AD之间各方向射入质量均为m、电荷量均为q、速率均为v的离子。已知沿AD方向射入磁场的离子经磁场偏转后从磁场区域射出时速度方向恰好与直径AC垂直，不计离子的重力及离子间的相互作用力。下列说法正确的是（ ）
A．离子在磁场中的轨迹半径为
B．磁场的磁感应强度大小为
C．沿直径AC射入磁场的离子，经磁场偏转后也垂直于直径AC射出
D．离子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为2：1
【答案】BC
【详解】A．沿AD方向射入磁场的离子，经磁场偏转后垂直于直径AC从M点射出，如图所示
由几何关系可知，又与为等腰三角形，所以为菱形，则离子在磁场中的轨迹半径为，故A错误；
B．由洛伦兹力提供向心力得可得故B正确；
C．沿直径AC射入磁场的离子，在磁场中偏转从P点射出，因离子的轨迹半径为r，则为正方形，所以离子垂直于直径AC射出，故C正确；
D．综上分析可知，所有射入的离子射出磁场时速度方向均与AC垂直，其中沿AD方向射入磁场的离子在磁场中运动时间最长，转过的圆心角为135°，沿直径AC射入磁场的离子在磁场中运动时间最短，转过的圆心角为90°，由可知离子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为3：2，故D错误。故选BC。
有界磁场的临界极值多解问题
16．如图所示，矩形区域abcd内充满方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在ad边的中点O处垂直磁场方向向里射入一带正电粒子，其入射速度大小为、方向与ad边的夹角为。已知粒子的质量为m、电荷量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒子重力不计。欲使粒子不从ab边射出磁场，则磁场的磁感应强度大小B的范围为（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】D
【详解】粒子在磁场中做圆周运动，有得则磁场的磁感应强度越大，粒子的轨迹半径越小。如图所示
设粒子的轨迹刚好和cd边相切时，轨迹的圆心为O，则有得则故当磁场的磁感应强度小于时，粒子将从cd边射出磁场；设粒子的轨迹刚好与ab边相切时，圆心为O2，则有
则则故当磁场的磁感应强度大于或等于时，粒子将从ad边射出磁场。故选D。
17．如图所示，两平行线EF和MN将磁场分割为上、下两部分，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。现有一质量为m、电荷量为q的带电粒子（不计重力）从EF线上的A点以速度v斜向下射入EF下方磁场，速度与EF成30°角，经过一段时间后粒子正好经过C点，经过C点时速度方向斜向右上方，与EF也成30°角。已知A、C两点间距为L，两平行线间距为d，下列说法不正确的是（ ）
A．粒子不可能带负电
B．磁感应强度大小可能为B＝
C．粒子到达C点的时间可能为＋
D．粒子的速度大小可能为v＝
【答案】A
【详解】A．若粒子带负电，其运动轨迹可能如图甲所示，粒子可以经过C点，故粒子可能带负电，A项错误，符合题意；
BD．若粒子带正电，第一次到达EF时经过C点，如图乙所示，由几何关系可知，粒子轨迹半径为L，由
qvB＝m可解得v＝；B＝选项BD项正确，不符合题意；
C．若粒子带正电，其运动轨迹也可能如图丙所示，它在下方磁场中运动一次的时间t1＝＝
在上方磁场中运动一次的时间t2＝在无磁场区域中做一次直线运动的时间为t3＝
则粒子到达C点的时间可能为t＝＋，C项正确，不符合题意。
故选A。
18．如图，xOy平面内，挡板OP与y轴之间的区域Ⅰ内存在着一个垂直平面向里的矩形匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为的正电荷，以速度大小平行x轴的方向从轴上的小孔Q射入区域Ⅰ，经过磁场垂直打到挡板P上。已知挡板OP与x轴的夹角为30°，不计重力，下列说法正确的是（ ）
A．该电荷在磁场中运动的时间为
B．该电荷在磁场中运动的时间为
C．该电荷在碰到OP之前通过的矩形形磁场的最小面积为
D．该电荷在碰到OP之前通过的矩形磁场的最小面积为
【答案】BC
【详解】AB.该正电荷粒子运动轨迹如图所示
依题意，虚线框为所存在的最小矩形匀强磁场区域。由几何关系易知，带电粒子在磁场内做圆周运动的圆心角为，故该电荷在磁场中运动的时间为故A错误，B正确；
CD.圆周运动的半径为可知这个矩形的最小面积可表达式即故C正确，D错误。故选BC。
19．如图所示，边界OA与OC之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA上有一粒子源S。 某一时刻，从S平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子（不计粒子的重力及粒子间的相互作用），所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界OC射出磁场。 已知∠AOC=60°，从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最长时间等于（T为粒子在磁场中运动的周期），则从边界OC射出的粒子在磁场中运动的时间可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【详解】ABCD．粒子在磁场做匀速圆周运动，粒子在磁场中出射点和入射点的连线即为轨迹的弦，初速度大小相同，根据则轨迹半径相同，如图所示
设，当出射点D与S点的连线垂直于OA时，DS弦最长，轨迹所对的圆心角最大，周期一定，则由粒子在磁场中运动的时间最长，由此得到，轨迹半径为当出射点E与S点的连线垂直于OC时，弦ES最短，轨迹所对的圆心角最小，则粒子在磁场中运动的时间最短，则由几何知识，得，最短时间所以，粒子在磁场中运动时间范围为，AB错误CD正确。
故选CD。
20．如图所示，在x轴上方且的区域有场强为E、垂直x轴向上的匀强电场，在x轴下方且的区域有磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场，M点在x轴上，OM的长度为L。现把电子（质量为m、电荷量为e）在某位置（）无初速释放，要求能通过M点，则电子释放时的坐标x、y应满足的关系为（ ）
A．，
B．，
C．
D．，
【答案】BD
【详解】画出满足题中条件的可能情况如图所示，
Q、C之间还有整数个半圆未画出，电场中电子到达A、C、D、P、Q时速度减为0。
电子最初坐标为，若电子最初位置在AM右侧，即，不能经过M点；
若电子最初位置在AM上，只需即可；若电子最初位置在AM左侧，即，根据题意有
即电子由静止释放至运动到x轴，应用动能定理有
电子做匀速圆周运动的半径解得选项BD正确，选项AC错误。故选BD。
专练目标
专练内容
目标1
高考真题（1T—5T）
目标2
有界直边界磁场问题（6T—10T）
目标3
有界弧形界磁场问题（11T—15T）
目标4
有界磁场的临界极值多解问题（16T—20T）
【典例专练】
高考真题
1．如图所示，在xOy坐标系的第一象限内存在匀强磁场。一带电粒子在P点以与x轴正方向成60的方向垂直磁场射入，并恰好垂直于y轴射出磁场。已知带电粒子质量为m、电荷量为q，OP = a。不计重力。根据上述信息可以得出（ ）
A．带电粒子在磁场中运动的轨迹方程
B．带电粒子在磁场中运动的速率
C．带电粒子在磁场中运动的时间
D．该匀强磁场的磁感应强度
【答案】A
【详解】粒子恰好垂直于y轴射出磁场，做两速度的垂线交点为圆心，轨迹如图所示
A．由几何关系可知；因圆心的坐标为，则带电粒子在磁场中运动的轨迹方程为故A正确；
BD．洛伦兹力提供向心力，有解得带电粒子在磁场中运动的速率为因轨迹圆的半径可求出，但磁感应强度未知，则无法求出带电粒子在磁场中运动的速率，故BD错误；
C．带电粒子圆周的圆心角为，而周期为则带电粒子在磁场中运动的时间
因磁感应强度未知，则运动时间无法求得，故C错误；故选A。
2．一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】粒子在磁场中做匀速圆周运动， 可得粒子在磁场中的周期
粒子在磁场中运动的时间则粒子在磁场中运动的时间与速度无关，轨迹对应的圆心角越大，运动时间越长。采用放缩圆解决该问题，粒子垂直ac射入磁场，则轨迹圆心必在ac直线上，将粒子的轨迹半径由零逐渐放大。当半径和时，粒子分别从ac、bd区域射出，磁场中的轨迹为半圆，运动时间等于半个周期。当0.5R
3．如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为的带电粒子从圆周上的M点沿直径方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为，离开磁场时速度方向偏转；若射入磁场时的速度大小为，离开磁场时速度方向偏转，不计重力，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】根据题意做出粒子的圆心如图所示
设圆形磁场区域的半径为R，根据几何关系有第一次的半径第二次的半径根据洛伦兹力提供向心力有可得所以故选B。
4．真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】电子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力则磁感应强度与圆周运动轨迹关系为即运动轨迹半径越大，磁场的磁感应强度越小。令电子运动轨迹最大的半径为，为了使电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，其最大半径的运动轨迹与实线圆相切，如图所示
A点为电子做圆周运动的圆心，电子从圆心沿半径方向进入磁场，由左手定则可得，， 为直角三角形，则由几何关系可得解得解得磁场的磁感应强度最小值
故选C。
5．如图，在平面直角坐标系的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电量为q的相同粒子从y轴上的点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为。当时，粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力。则（ ）
A．粒子一定带正电
B．当时，粒子也垂直x轴离开磁场
C．粒子入射速率为
D．粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为
【答案】ACD
【详解】A．根据题意可知粒子垂直轴离开磁场，根据左手定则可知粒子带正电，A正确；
BC．当时，粒子垂直轴离开磁场，运动轨迹如图
粒子运动的半径为洛伦兹力提供向心力解得粒子入射速率
若，粒子运动轨迹如图
根据几何关系可知粒子离开磁场时与轴不垂直，B错误，C正确；
D．粒子离开磁场距离点距离最远时，粒子在磁场中的轨迹为半圆，如图
根据几何关系可知解得，D正确。故选ACD。
有界直边界磁场问题
6．如图所示，横截面为正方形abcd的有界匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。一束电子以大小不同、方向垂直ad边界的速度飞入该磁场。对于从不同边界射出的电子，下列判断错误的是（ ）
A．从ad边射出的电子在磁场中运动的时间都相等
B．从c点离开的电子在磁场中运动时间最长
C．电子在磁场中运动的速度偏转角最大为π
D．从bc边射出的电子的速度一定大于从ad边射出的电子的速度
【答案】B
【详解】ABC．电子的速率不同，运动轨迹半径不同，如图，由周期公式可知，周期与电子的速率无关，所以在磁场中的运动周期相同，根据可得电子在磁场中运动时间与轨迹对应的圆心角成正比，所以电子在磁场中运动的时间越长，其轨迹线所对应的圆心角θ越大，故从ad边射出的电子在磁场中运动的时间都相等且运动时间最长，AC正确，B错误；
D．从bc边射出的轨道半径大于从ad边射出的电子的轨道半径，由半径公式可得轨迹半径与速率成正比，则电子的速率越大，在磁场中的运动轨迹半径越大，故从bc边射出的电子的速度一定大于从ad边射出的电子的速度，D正确。本题选错误的，故选B。
7．如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中有一粒子源，粒子源从O点在纸面内同时向各个方向均匀地发射带正电的粒子，其速率为v、质量为m、电荷量为q。是在纸面内垂直磁场放置的厚度不计的挡板，挡板的P端与O点的连线与挡板垂直，距离为。设打在挡板上的粒子全部被吸收，磁场区域足够大，不计带电粒子间的相互作用及重力，，。则（ ）
A．若挡板长度为，则打在板上的粒子数最多
B．若挡板足够长，则打在板上的粒子在磁场中运动的最短时间为
C．若挡板足够长，则打在板上的粒子在磁场中运动的最长时间为
D．若挡板足够长，则打在挡板上的粒子占所有粒子的
【答案】D
【详解】A．设带电粒子的质量为m，带电量为q，粒子在磁场中受到的洛伦兹力提供做圆周运动的向心力。设粒子做圆周运动的半径为r。则有解得能打到挡板上的最远的粒子如图；
由几何关系可知，挡板长度选项A错误；
BC．由以上分析知，当粒子恰好从左侧打在P点时，时间最短，如图轨迹1所示，由几何关系得粒子转过的圆心角为θ1=106°；对应的时间为当粒子从右侧恰好打在P点时，时间最长，如图轨迹2所示，由几何关系得粒子转过的圆心角为θ2=254°对应的时间为
选项BC错误；
D．如图所示，能打到屏上的粒子，在发射角在与x轴成37°到127°范围内90°角的范围内的粒子，则打在挡板上的粒子占所有粒子的，选项D正确。故选D。
8．等腰梯形AFCD区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，梯形上、下底AF、CD长度分别为L和2L，∠D＝60°，下底CD的中点E处有一个α粒子放射源，可以向CD上方射出速率不等的α粒子，α粒子的速度方向与磁场方向垂直，不计粒子间的相互作用力及重力，已知质子的电荷量为e，质量为m，下列说法正确的是（ ）
A．若AF、AD边有粒子射出，则FC边一定有粒子射出
B．若粒子可以到达F点，则其最小速度为
C．到达A点和到达F点的粒子一定具有相同的速率
D．运动轨迹与AD边相切(由CD边出磁场)的速率最小的粒子在磁场中的运动时间为
【答案】BD
【详解】A．如图甲所示，当AF、AD边恰有粒子射出时，由几何关系可知，粒子运动轨迹没有到达FC边，A错误；
B．如图乙所示
由几何关系可知，当β＝π时，速度最小，其轨迹半径r＝由可得v＝
B正确；
C．到达A点和到达F点的粒子半径可以不相同，速率就不同，C错误；
D．如图丙所示
当α＝π时，速度最小，由t＝得t＝，D正确。故选BD。
9．如题图，直角三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），AC边长为l，为，一群比荷为的带负电粒子以相同速度从C点开始一定范围垂直AC边射入，射入的粒子恰好不从AB边射出，已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为，则（ ）
A．磁感应强度大小为
B．粒子运动的轨道半径为
C．粒子射入磁场的速度大小为
D．粒子在磁场中扫过的面积为
【答案】ACD
【详解】A．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间是T，由得解得故A正确；
B．设运动时间最长的粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角为θ，则有得画出该粒子的运动轨迹如图
设轨道半径为R，由几何知识得可得故B错误；
C．粒子射入磁场的速度大小为故C正确；
D．射入的粒子恰好不从AB边射出，粒子在磁场中扫过的面积为
故D正确。故选ACD。
10．如图甲所示，是一长方形有界匀强磁场边界，磁感应强度按图乙规律变化，取垂直纸面向外为磁场的正方向，图中，，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子以速度在时刻从A点沿方向垂直磁场射入，粒子重力不计。则下列说法中正确的是（）（ ）
A．若粒子经时间恰好垂直打在上，则磁场的磁感应强度大小
B．若粒子经时间恰好垂直打在上，则粒子运动的半径大小
C．若要使粒子恰能沿方向通过C点，则粒子在磁场中运动的轨迹半径（，2，3，…）
D．若要使粒子恰能沿方向通过C点，磁场变化的周期（，2，3，…）
【答案】BCD
【详解】A．若粒子经时间恰好垂直打在上，则粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为，根据牛顿第二定律有解得，A错误；
B．若粒子经时间恰好垂直打在上，如图所示
可知粒子运动了三段四分之一圆弧，则运动的半径大小为，B正确；
C．若要使粒子恰能沿方向通过C点，如图所示
应该满足其中解得（，2，3，…），C正确；
D．根据几何关系可知粒子在一个磁场变化的周期内转过的圆心角为则（，2，3，…）解得（，2，3，…），D正确。故选BCD。
有界弧形界磁场问题
11．如图所示，半轻分别为r和2r的两个同心圆，其圆心为O，只在环形区域内存在着磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场（磁场区域包括边界）大量质量为m、电荷量为的带电粒子从M点沿各个方向以不同速率射入磁场区域。不计粒子间的相互作用及重力，。下列判断正确的是（ ）
A．沿MO方向射入磁场且恰好未能进入内部圆形区域的带电粒子的轨道半径为
B．沿MO方向射入磁场且恰好未能进入内部圆形区域的带电粒子在磁场中运动的时间为
C．第一次穿过磁场后恰能经过O点的带电粒子的最小入射速率为
D．第一次穿过磁场后恰能经过O点的带电粒子的最小入射速率为
【答案】B
【详解】A．带电粒子从P点沿方向射入磁场，恰好未能进入内部圆形区域，说明运动轨迹恰好与内圆相切，如图所示
设圆弧的半径为，圆心为，连接OA、AM和OM，在直角三角形OAM中，由于即
解得故A错误；
B．在直角三角形OAM中，由于则整个圆弧轨道所对的圆心角为，带电粒子做圆周运动，则； 解得粒子在磁场中的运动时间为
故B正确；
CD．带电粒子的入射速率最小，则粒子圆周运动的半径最小，粒子从M点经圆周运动通过圆心O，根据逆向运动，半径最小的圆周运动其圆弧与大圆相切，如图所示
设圆弧半径为，圆心为D，其中M、D、O在一条直线上，连接OM、CD，在直角三角形中，由于
即解得带电粒子做圆周运动，则解得
故CD错误。故选B。
12．如图所示，在xOy平面的第Ⅰ、IV象限内有一圆心为O、半径为R的半圆形匀强磁场，线状粒子源从y轴左侧平行于x轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为的带正电粒子。磁场的磁感应强度大小为、方向垂直平面xOy向里。不考虑粒子间的相互作用，不计粒子受到的重力。所有从不同位置进入磁场的粒子中，在磁场中运动的时间最长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】粒子在磁场中做匀速圆周运动，有解得如图所示，当粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角最大时，粒子在磁场中运动的时间最长，由于，要使圆心角最大，最长，经分析可知，当粒子从y轴上的点射入、从x轴上的点射出磁场时，粒子在磁场中运动的时间最长，有
解得从点射入磁场的粒子在磁场中运动的时间解得故选C。
13．如图所示，ACD为一半圆形区域，其中O为圆心，AD为直径，∠AOC=90°，半圆形区域内存在着垂直该平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一带电粒子（不计重力）从圆弧的P点以速度v沿平行于直径AD方向射入磁场，经过一段时间从C点离开磁场时，速度方向偏转了60°，设P点到AD的距离为d。下列说法中正确的是（ ）
A．该粒子带负电B．该粒子的比荷为
C．该粒子在磁场中运动时间为D．直径AD长度为3d
【答案】ABC
【详解】A．左手定则可知，粒子带负电，选项A正确；
B．作出粒子运动轨迹如图：
由几何知识可知四边形是棱形，粒子运动半径为又解得选项B正确；
C．由几何知识可知粒子在磁场中运动的时间为六分之一的周期，则有选项C正确；
D．由几何知识可知直径AD长度为4d，选项D错误。故选ABC。
14．如图所示，半径为R的圆形区域内存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场的左边垂直x轴放置一线型粒子发射装置， 能在0≤y≤R的区间内各处沿x轴正方向同时发射出速度相同、带正电的同种粒子，粒子质量为m，电荷量为q，不计粒子的重力及粒子间的相互作用力。若某时刻粒子被装置发射出后，经过磁场偏转击中y轴上的同一位置，则下列说法中正确的是（ ）
A．粒子的初速度为
B．粒子都击中在O点处
C．粒子在磁场中运动的最长时间为
D．粒子到达y轴上的最大时间差为
【答案】AD
【详解】A．从最低点射出的也击中，那么粒子做匀速圆周运动的半径为，由洛仑兹力提供向心力得则速度故A正确。
B．由题意，某时刻发出的粒子都击中的点是轴上同一点，由最高点射出的只能击中，则击中的同一点就是，故B错误。
C．显然偏转角最大的时间最长，显然从最低点射出的粒子偏转90°，时间最长，时间故C错误。
D．从最高点直接射向的粒子时间最短，则最长与最短的时间差为故D正确。
故选AD。
15．如图所示，在以r为半径、O为圆心的圆形区域内存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，AC为圆的直径，与竖直线AD的夹角为45°。某粒子源在A点向AC与AD之间各方向射入质量均为m、电荷量均为q、速率均为v的离子。已知沿AD方向射入磁场的离子经磁场偏转后从磁场区域射出时速度方向恰好与直径AC垂直，不计离子的重力及离子间的相互作用力。下列说法正确的是（ ）
A．离子在磁场中的轨迹半径为
B．磁场的磁感应强度大小为
C．沿直径AC射入磁场的离子，经磁场偏转后也垂直于直径AC射出
D．离子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为2：1
【答案】BC
【详解】A．沿AD方向射入磁场的离子，经磁场偏转后垂直于直径AC从M点射出，如图所示
由几何关系可知，又与为等腰三角形，所以为菱形，则离子在磁场中的轨迹半径为，故A错误；
B．由洛伦兹力提供向心力得可得故B正确；
C．沿直径AC射入磁场的离子，在磁场中偏转从P点射出，因离子的轨迹半径为r，则为正方形，所以离子垂直于直径AC射出，故C正确；
D．综上分析可知，所有射入的离子射出磁场时速度方向均与AC垂直，其中沿AD方向射入磁场的离子在磁场中运动时间最长，转过的圆心角为135°，沿直径AC射入磁场的离子在磁场中运动时间最短，转过的圆心角为90°，由可知离子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为3：2，故D错误。故选BC。
有界磁场的临界极值多解问题
16．如图所示，矩形区域abcd内充满方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在ad边的中点O处垂直磁场方向向里射入一带正电粒子，其入射速度大小为、方向与ad边的夹角为。已知粒子的质量为m、电荷量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒子重力不计。欲使粒子不从ab边射出磁场，则磁场的磁感应强度大小B的范围为（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】D
【详解】粒子在磁场中做圆周运动，有得则磁场的磁感应强度越大，粒子的轨迹半径越小。如图所示
设粒子的轨迹刚好和cd边相切时，轨迹的圆心为O，则有得则故当磁场的磁感应强度小于时，粒子将从cd边射出磁场；设粒子的轨迹刚好与ab边相切时，圆心为O2，则有
则则故当磁场的磁感应强度大于或等于时，粒子将从ad边射出磁场。故选D。
17．如图所示，两平行线EF和MN将磁场分割为上、下两部分，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。现有一质量为m、电荷量为q的带电粒子（不计重力）从EF线上的A点以速度v斜向下射入EF下方磁场，速度与EF成30°角，经过一段时间后粒子正好经过C点，经过C点时速度方向斜向右上方，与EF也成30°角。已知A、C两点间距为L，两平行线间距为d，下列说法不正确的是（ ）
A．粒子不可能带负电
B．磁感应强度大小可能为B＝
C．粒子到达C点的时间可能为＋
D．粒子的速度大小可能为v＝
【答案】A
【详解】A．若粒子带负电，其运动轨迹可能如图甲所示，粒子可以经过C点，故粒子可能带负电，A项错误，符合题意；
BD．若粒子带正电，第一次到达EF时经过C点，如图乙所示，由几何关系可知，粒子轨迹半径为L，由
qvB＝m可解得v＝；B＝选项BD项正确，不符合题意；
C．若粒子带正电，其运动轨迹也可能如图丙所示，它在下方磁场中运动一次的时间t1＝＝
在上方磁场中运动一次的时间t2＝在无磁场区域中做一次直线运动的时间为t3＝
则粒子到达C点的时间可能为t＝＋，C项正确，不符合题意。
故选A。
18．如图，xOy平面内，挡板OP与y轴之间的区域Ⅰ内存在着一个垂直平面向里的矩形匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为的正电荷，以速度大小平行x轴的方向从轴上的小孔Q射入区域Ⅰ，经过磁场垂直打到挡板P上。已知挡板OP与x轴的夹角为30°，不计重力，下列说法正确的是（ ）
A．该电荷在磁场中运动的时间为
B．该电荷在磁场中运动的时间为
C．该电荷在碰到OP之前通过的矩形形磁场的最小面积为
D．该电荷在碰到OP之前通过的矩形磁场的最小面积为
【答案】BC
【详解】AB.该正电荷粒子运动轨迹如图所示
依题意，虚线框为所存在的最小矩形匀强磁场区域。由几何关系易知，带电粒子在磁场内做圆周运动的圆心角为，故该电荷在磁场中运动的时间为故A错误，B正确；
CD.圆周运动的半径为可知这个矩形的最小面积可表达式即故C正确，D错误。故选BC。
19．如图所示，边界OA与OC之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA上有一粒子源S。 某一时刻，从S平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子（不计粒子的重力及粒子间的相互作用），所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界OC射出磁场。 已知∠AOC=60°，从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最长时间等于（T为粒子在磁场中运动的周期），则从边界OC射出的粒子在磁场中运动的时间可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【详解】ABCD．粒子在磁场做匀速圆周运动，粒子在磁场中出射点和入射点的连线即为轨迹的弦，初速度大小相同，根据则轨迹半径相同，如图所示
设，当出射点D与S点的连线垂直于OA时，DS弦最长，轨迹所对的圆心角最大，周期一定，则由粒子在磁场中运动的时间最长，由此得到，轨迹半径为当出射点E与S点的连线垂直于OC时，弦ES最短，轨迹所对的圆心角最小，则粒子在磁场中运动的时间最短，则由几何知识，得，最短时间所以，粒子在磁场中运动时间范围为，AB错误CD正确。
故选CD。
20．如图所示，在x轴上方且的区域有场强为E、垂直x轴向上的匀强电场，在x轴下方且的区域有磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场，M点在x轴上，OM的长度为L。现把电子（质量为m、电荷量为e）在某位置（）无初速释放，要求能通过M点，则电子释放时的坐标x、y应满足的关系为（ ）
A．，
B．，
C．
D．，
【答案】BD
【详解】画出满足题中条件的可能情况如图所示，
Q、C之间还有整数个半圆未画出，电场中电子到达A、C、D、P、Q时速度减为0。
电子最初坐标为，若电子最初位置在AM右侧，即，不能经过M点；
若电子最初位置在AM上，只需即可；若电子最初位置在AM左侧，即，根据题意有
即电子由静止释放至运动到x轴，应用动能定理有
电子做匀速圆周运动的半径解得选项BD正确，选项AC错误。故选BD。
专练目标
专练内容
目标1
高考真题（1T—5T）
目标2
有界直边界磁场问题（6T—10T）
目标3
有界弧形界磁场问题（11T—15T）
目标4
有界磁场的临界极值多解问题（16T—20T）
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