高中数学高考专题10 三角函数图象与性质（解析版）

专题10 三角函数图像与性质 

命题规律一 已知函数（）的图象研究函数性质

【解决之道】接此类问题，先根据图象求出解析式，已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：①由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ．②代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求．再根据解析研究函数的性质.

【三年高考】

1.【2020年高考全国Ⅰ卷文数7】设函数在的图像大致如下图，则的最小正周期为 （   ）

A．                B．                C．                D．

【答案】C

【解析】由图可得：函数图像过点，将它代入函数可得：，

又是函数图像与轴负半轴的第一个交点，∴，解得：，∴函数的最小正周期为，故选C．

2.【2020年高考山东卷10】右图是函数的部分图像，则 （   ）

A．         B．         C．         D．

【答案】BC

【解析】由函数图像可知：，则，所以不选A，

当时，，解得：，

即函数的解析式为：，

而，故选：BC．

命题规律二可化为形如的函数性质的研究

【解决之道】此类问题，先利用降幂公式、两角和与差的公式及辅助角公式将已知函数的解析式化为形式，再利用研究函数性质方法进行研究.

【三年高考】

1.【2020年高考天津卷8】已知函数．给出下列结论：

①的最小正周期为；

②是的最大值；

③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．

其中所有正确结论的序号是（    ）

A．① B．①③ C．②③ D．①②③

【答案】B

【解析】因为，所以周期，故①正确；

，故②不正确；

将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，故③正确．故选B．

2.【2020年高考北京卷14】若函数的最大值为，则常数的一个取值为         ．

【答案】

【解析】∵

，

则，，∴，∴

3.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若x1=，x2=是函数f(x)=(>0)两个相邻的极值点，则=（    ）

A．2          B． 

C．1          D．

【答案】A

【解析】由题意知，的周期，解得．故选A．

4.【2019年高考北京卷文数】设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的（    ）

A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件
C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】时，，为偶函数；

为偶函数时，对任意的恒成立，即，，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.

5.【2019年高考浙江卷】设函数.

（1）已知函数是偶函数，求的值；

（2）求函数的值域．

【答案】（1）或；（2）．

【解析】（1）因为是偶函数，所以，对任意实数x都有，

即，

故，

所以．

又，

因此或．

（2）

．

因此，函数的值域是．

6.【2018年高考全国Ⅲ卷文数】函数的最小正周期为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】，故所求的最小正周期为，故选C.

7.【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数，则（    ）

A．的最小正周期为π，最大值为3

B． 的最小正周期为π，最大值为4

C． 的最小正周期为，最大值为3

D．的最小正周期为，最大值为4

【答案】B

【解析】根据题意有，所以函数的最小正周期为，且最大值为，故选B.

8.【2018年高考全国Ⅱ卷文数】若在是减函数，则的最大值是（    ）

A．         B．

C．          D．

【答案】C

【解析】.当x∈时，∈，所以结合题意可知，，即，故所求a的最大值是，故选C.

9.【2018年高考江苏卷】已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．

【答案】

【解析】由题意可得，所以，

因为，所以

10.【2018年高考北京卷文数】已知函数.

（1）求的最小正周期；

（2）若在区间上的最大值为，求的最小值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1），

所以的最小正周期为.

（2）由（1）知.

因为，

所以.

要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1.

所以，即.

所以的最小值为.

命题规律三  含有三角函数的函数图像识别

【解决之道】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．

【三年高考】

1.【2020年高考浙江卷4】函数在区间的图像大致为 （   ）

A．                B．                C．                D．

【答案】A

【思路导引】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在处的函数值排除错误选项即可确定函数的图像．

【解析】，，

∴函数是奇函数，故排除C，D，当时，，∴排除B，故选A．

2.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数在的图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A．又，排除B，C，故选D．

3.【2018年高考浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是（    ）

A．     B．

C．     D．

【答案】D

【解析】令，因为，所以为奇函数，排除选项A，B；

因为时，，所以排除选项C，

故选D.

命题规律四  研究将已知函数图象进行的变换后所得函数的性质

【解决之道】解决此类问题，先根据图象变换方法求出变换后的解析式，再利用研究性质的方法研究变换后的所得函数的性质.

【三年高考】

1.．【2020年高考江苏卷10】将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与轴最近的对称轴的方程是      ．

【答案】

【解析】∵，将函数的图象向右平移个单位长度得，则的对称轴为，，即，，时，，时，，∴平移后的图象中与轴最近的对称轴的方程是．

2.【2019年高考天津卷文数】已知函数是奇函数，且的最小正周期为π，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.若，则（    ）

A．−2 B．

C． D．2

【答案】C

【解析】∵为奇函数，∴，∵的最小正周期为π，∴，∴又，∴，∴，，故选C.

3.【2018年高考天津卷文数】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（    ）

A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减

C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减

【答案】A

【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将函数的图象向右平移个单位长度之后的解析式为，则函数的单调递增区间满足，即，令可得函数的一个单调递增区间为，选项A正确，B错误；函数的单调递减区间满足：，即，令可得函数的一个单调递减区间为，选项C，D错误.

故选A.

命题规律五 研究关于某个三角函数的函数的性质

【解决之道】若含绝对值，可通过取绝对值，利用公司化为一个角的三角函数结合图象进行研究；若是关于某个三角函数的函数问题，结合所涉及三角函数的图象与性质、换元法等方法进行研究.

【三年高考】

1.【2020年高考全国Ⅲ卷文数12】已知函数，则 （   ）

A．的最小值为                     B．的图像关于轴对称

C．的图像关于直线对称          D．的图像关于直线对称

【答案】D

【解析】可以为负，所以A错；关于原点对称；

故B错；关于直线对称，故C错，D对，故选：D．