高中数学高考专题09 导数的综合应用（解析版）

专题09 导数的综合应用
十年大数据*全景展示
年份
题号
考点
考查内容
2011
理21[来源:学|科|网Z|X|X|K][来源:学,科,网Z,X,X,K]
利用导数解决不等式恒（能）成立与探索性问题[来源:学|科|网Z|X|X|K]
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数求函数的切线及不等式恒成立问题，考查分类整合思想、运算求解能力及应用意识．[来源:学§科§网][来源:Z。xx。k.Com]
文21
利用导数解证不等式
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、通过导数求函数的切线、证明不等式，考查分类整合思想．
2012
文21
利用导数解决不等式恒（能）成立与探索性问题
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、函数单调性与导数的关系及不等式恒成立问题，考查分类整合思想、运算求解能力及应用意识．
2013
卷1
理21
利用导数解决不等式恒（能）成立与探索性问题
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数的几何意义求曲线的切线、函数单调性与导数的关系、函数最值，考查运算求解能力及应用意识．

卷2
理21
利用导数解决不等式恒（能）成立与探索性问题
主要考查函数的导数运算、函数极值与导数的关系、函数的单调性与导数关系、恒成立问题的解法等基础知识和基本方法，考查放缩思想、分析解决问题能力
2014
卷1
理11
文12
利用导数研究函数零点问题
本题主要考查函数零点、利用导数研究函数的图像与性质及分类整合思想，是难题．
卷1
理21
利用导数解证不等式
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、通过导数研究函数的单调性、证明不等式，考查分类整合思想．
卷2
文21
利用导数研究函数零点问题
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、考查利用导数研究函数的切线、利用导数研究函数零点问题，考查分类整合思想．
2015
卷1
理12
利用导数解证不等式
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、通过导数研究函数的图像与性质解函数不等式．
卷1
理21
利用导数研究函数零点问题
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数的几何意义研究函数的切线、利用导数研究函数零点问题及分类整合思想．
卷2
理2
利用导数解证不等式
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、通过导数研究函数的图像与性质解函数不等式．
卷2
理21
利用导数解决不等式恒（能）成立与探索性问题
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性、利用导数解决不等式恒成立问题及分类整合思想．
2016
卷1
理21
利用导数研究函数零点问题
利用导数解证不等式
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数研究函数零点问题、与极值点偏移问题有关的不等式证明及分类整合思想．
卷2
文21
利用导数解决不等式恒（能）成立与探索性问题
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数的几何意义求切线、利用导数解决不等式恒成立问题及分类整合思想．
卷3
文21
利用导数解证不等式
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性、利用导数证明不等式及分类整合思想．
2017
卷1
理16
生活中的最优化问题
主要考查三棱锥的展开图与圆的内接关系、三棱锥的体积、利用导数求函数最值；考查数学应用意识．
卷1
理21
利用导数研究函数零点问题
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数零点问题及分类整合思想．
卷1
文21
利用导数解决不等式恒（能）成立与探索性问题
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性、利用导数解决不等式恒成立问题及分类整合思想．
卷2
理21
利用导数解证不等式
不等式恒成立问题
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数解决不等式恒成立问题、导数与极值关系、利用导数证明不等式及分类整合思想．
卷2
文21
利用导数解决不等式恒（能）成立与探索性问题
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性、利用导数解决不等式恒成立问题及分类整合思想
卷3
理11
文12
利用导数研究函数零点问题
主要考查常见函数的导数、常见函数的导数、利用导数研究函数零点问题及分类整合思想．
卷3
理21
利用导数解决不等式恒（能）成立与探索性问题
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性、利用导数解决不等式恒成立问题及分类整合思想
卷3
文21
利用导数解证不等式
主要考查主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数的研究函数的单调性、利用导数证明不等式及分类整合思想









2018
卷1
理21
利用导数解证不等式
主要考查主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数的研究函数的单调性、导数与函数极值的关系、利用导数证明不等式及分类整合思想
卷1
文21
利用导数解证不等式
主要考查主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数的研究函数的单调性、导数与函数极值的关系、利用导数证明不等式
卷2
理21
利用导数研究函数零点问题
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用到证明不等式、利用导数研究函数零点问题．
卷2
文21
利用导数研究函数零点问题
主要考查常见函数的导数、利用导数求函数的单调区间、利用导数研究函数零点问题．
卷3
理21
利用导数解证不等式
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数证明不等式、导数与极值的关系
卷3
文21
利用导数解证不等式
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数的几何意义求函数的切线、利用导数证明不等式
2019
卷1
理20
利用导数研究函数零点问题
主要考查常见函数的导数、利用导数研究函数的极值、利用导数研究函数零点问题．
卷2
理20
利用导数研究函数零点问题
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数研究函数零点问题及利用导数的几何意义研究切线．

卷3
理20
利用导数解决不等式恒（能）成立与探索性问题
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数最值是否存在的探索性问题，考查分类整合思想．

卷1
文21
1．利用导数研究函数零点问题
2．利用导数解决不等式恒（能）成立与探索性问题
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数研究函数的零点、利用导数研究函数恒成立问题，考查分类整合思想．

卷2
文21
利用导数研究函数零点问题
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数研究函数的零点、利用导数研究函数极值，考查分类整合思想．
2020
卷1
理21
导数的综合应用
应用导数研究函数的单调性，应用导数解决不等式恒成立的参数取值范围问题
文20
导数的综合应用
应用导数研究函数的单调性，应用导数由零点个数求参数取值范围
卷2
理21
导数的综合应用
应用导数研究函数的单调性，应用导数证明不等式
文21
导数的综合应用
应用导数研究函数的单调性，应用导数解决不等式恒成立的参数取值范围问题
卷3
理21
导数的综合应用
导数的几何意义，应用研究函数的零点，应用导数证明不等式
文20
导数的综合应用
应用导数研究函数的单调性，应用导数由零点个数求参数取值范围

大数据分析*预测高考
考 点
出现频率
2021年预测
生活中的最优化问题
1/34
2021年高考在导数综合应用方面，仍将以选填压轴题或解答题压轴题形式考查不等式恒（能）成立问题与探索性问题、利用导数解证不等式、利用导数研究零点或方程解问题，重点考查分类整合思想、分析解决问题能力．
利用导数解决不等式恒（能）成立与探索性问题
11/34
利用导数解、证不等式
12/34
利用导数研究函数零点问题
10/34
十年试题分类*探求规律
考点30 生活中的最优化问题
1．（2017全国卷1理16）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 ．

【答案】
【解析】如下图，连接DO交BC于点G，设D，E，F重合于S点，正三角形的边长为x(x>0)，则．
，
，
三棱锥的体积．
设，x>0，则，
令，即，得，易知在处取得最大值．
∴．

2．（2020江苏17）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底在水平线上，桥与平行，为铅垂线（在上）．经测量，左侧曲线上任一点到的距离（米）与到的距离（米）之间满足关系式；右侧曲线上任一点到的距离（米）与到的距离（米）之间满足关系式．己知点到的距离为米．
（1）求桥的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩和，且为米，其中，在上（不包括端点）．桥墩每米造价（万元），桥墩每米造价（万元）（），
问为多少米时，桥墩与的总造价最低？

【答案】（1）桥的长度为米；（2）为米时，桥墩与的总造价最低．
【解析】（1）过，分别作的垂线，垂足为，，则
．
令，得，∴，．
（2）设，则，由得．
总造价
，∵，∴令，得或，
∴当时，，单调递减；
当时，，单调递增，∴当时，取最小值，造价最低．
考点31 利用导数解决恒成立问题与探索性问题
1．（2019天津理8）已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为
A． B． C． D．
【解析】当时，恒成立；
当时，恒成立，
令
，
所以，即．
当时，恒成立，
令，则，
当时，，递增，当时，，递减，
所以当时，取得最小值．
所以．
综上，的取值范围是．
2．（2014辽宁）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，得，令，则，
，令，，
则，显然在上，，
单调递减，所以，因此；
同理，当时，得．由以上两种情况得．
显然当时也成立，故实数的取值范围为．
3．（2020全国Ⅰ理21）已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围．
【答案】（1）当时，单调递减，当时，单调递增；（2）．
【思路导引】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可；
(2)首先讨论的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围．
【解析】(1)当时，，，
由于，故单调递增，注意到，故：
当时，单调递减；
当时，单调递增．
(2)由得，，其中，
①．当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意；
②．当时，分离参数a得，，
记，，
令，则，，
故单调递增，，故函数单调递增，，
由可得：恒成立，故当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
因此，．综上可得，实数a的取值范围是．
4．（2020全国Ⅱ文21）已知函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）设，讨论函数的单调性．
【答案】（1）；（2）在区间和上单调递减，没有递增区间．
【思路导引】（1）不等式转化为，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进行求解即可；
（2）对函数求导，把导函数的分子构成一个新函数，再求导得到，根据的正负，判断的单调性，进而确定的正负性，最后求出函数的单调性．
【解析】（1）函数的定义域为：，
，
设，则有，
当时，单调递减；当时，单调递增，∴当时，函数有最大值，即，要想不等式在上恒成立，只需．
（2）且，因此，
设，则有，
当时，，∴，单调递减，因此有，即
，∴单调递减；
当时，，∴，单调递增，因此有，即，∴单调递减，∴函数在区间和上单调递减，没有递增区间．
5．（2020山东21）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）（2）
【思路导引】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；
（2）先二次求导，研究导函数符号变化情况，求出函数最小值，再根据基本不等式求最小值的最小值，最后根据不等式恒成立列不等式，解得结果．
【解析】（1）．
切线方程为，与坐标轴交点坐标分别为，
因此所求三角形面积为．
（2），，设，
在上单调递增，即在上单调递增，
当时，使得，
当时， ，
当时， ，
因此存在唯一，使得，，
当时，当时，
因此，
对恒成立，．
6．（2019全国Ⅰ文20）已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f ′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f ′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
【解析】（1）设，则．
当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减．
又，故在存在唯一零点．
所以在存在唯一零点．
（2）由题设知，可得a≤0．
由（1）知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减．
又，所以，当时，．
又当时，ax≤0，故．
因此，a的取值范围是．
7．（2017新课标Ⅰ文21）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若，求的取值范围．
【解析】（1）函数的定义域为，
，
①若，则，在单调递增．
②若，则由得．
当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增．
③若，则由得．
当时，；当时，，
故在单调递减，在单调递增．
（2）①若，则，所以．
②若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为
．从而当且仅当，即时，．
③若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为
．
从而当且仅当，即时．
综上，的取值范围为．
8．（2017新课标Ⅱ）设函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，，求的取值范围．
【解析】（1）
令得 ，．
当时，；当时，；当时，．
所以在，单调递减，在单调递增．
（2）．
当时，设函数，，因此在单调递减，而，故，所以．
当时，设函数，，所以在单调递增，而，故．
当时，，，
取，则，，
故．
当时，取，则，．
综上，的取值范围是．
9．（2017全国卷3理21）已知函数．
（1）若，求a的值；
（2）设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值．
【解析】1）的定义域为．
①若，因为，所以不满足题意；
②若，由知，当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，故x=a是在的唯一最小值点．
由于，所以当且仅当a=1时，．故a=1．

10．（2016年全国II文21）已知函数．
(Ⅰ)当时，求曲线在处的切线方程；
(Ⅱ)若当时，，求的取值范围．
【解析】（Ⅰ）的定义域为．当时，
，
曲线在处的切线方程为
（Ⅱ）当时，等价于
令，则
，
（i）当，时，，
故在上单调递增，因此；
（ii）当时，令得
，
由和得，故当时，，在单调递减，因此．
综上，的取值范围是
11．(2015新课标Ⅱ理21）设函数．
(Ⅰ)证明：在单调递减，在单调递增；
(Ⅱ)若对于任意，，都有，求的取值范围．
【解析】(Ⅰ)．
若，则当时，，；
当时，，．
若，则当时，，；
当时，，．
所以，在单调递减，在单调递增．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，对任意的，在单调递减，在单调递增．
故在处取得最小值．
所以对于任意，，的充要条件是：
，即 ①
设函数，则．
当时，；当时．
故在单调递减，在 单调递增．
又，，故当时，．
当时，，即①式成立；
当时，由得单调性，，即；
当时，，即
综上，的取值范围是．
12．（2013全国卷1理21）已知函数＝，＝，若曲线和曲线都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线
（Ⅰ）求，，，的值
（Ⅱ）若≥－2时，≤，求的取值范围．
【解析】（Ⅰ）由已知得，
而=，=，∴=4，=2，=2，=2；……4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，
设函数==（），
==，
有题设可得≥0，即，
令=0得，=，=－2，
（1）若，则－2＜≤0，∴当时，＜0，当时，＞0，即在单调递减，在单调递增，故在=取最小值，而==≥0，
∴当≥－2时，≥0，即≤恒成立，
(2)若，则=，
∴当≥－2时，≥0，∴在(－2，+∞)单调递增，而=0，
∴当≥－2时，≥0，即≤恒成立，
(3)若，则==＜0，
∴当≥－2时，≤不可能恒成立，
综上所述，的取值范围为[1，]．
13．（2012全国课标文21）设函数f(x)= ex－ax－2
(Ⅰ)求f(x)的单调区间
(Ⅱ)若a=1，k为整数，且当x>0时，(x－k) f´(x)+x+1>0，求k的最大值
【解析】(Ⅰ)的定义域为，．
若，则，所以的增区间为，无减区间；
若，则当时，； 当时，，所以在减区间为，增区间为．
(Ⅱ)由于a=1，所以．
故当时，(x－k) f´(x)+x+1>0等价于
，
令，则．
由(Ⅰ)知，函数在上单调递增，而，所以在上存在唯一的零点，故在上存在唯一零点．设此零点为，则．
当时，；当时，．所以在上的最小值为．又由，可得，所以．
由于等价于，故整数的最大值为2．
14．（2011全国课标理21）已知函数=，曲线=在点（1，）处的切线方程为．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）如果当＞0，且1时，＞，求的取值范围．
【解析】(Ⅰ)=，
∵直线=0的斜率为，且过点（1，1），∴=1且=，
即，解得=1，=1；
（Ⅱ）由(Ⅰ)知=，
∴=
设=（＞0），则=
①当≤0时，由=知，当时，＜0，而=0，故当∈（0，1）时，＞0，可得；
当∈（1，+∞）时，＜0，可得，
从而当＞0，且≠1时，＞0，即＞；
②当0＜＜1时，由于当∈（1，）时，＞0，故＞0，而=0，故∈（1，）时，＞0，可得＜0与题设矛盾；
③当≥1时，此时＞0，而=0，故当∈(1，+∞)时，＞0，可得，与题设矛盾，
综上所述，的取值范围为（—∞，0]．
15．（2019全国Ⅲ理20）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）是否存在 ，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）．
令，得x=0或．
若a>0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减；
若a=0，在单调递增；
若a