高中数学高考专题08 导数与不等式、函数零点相结合（解析版）

三年高考+命题规律
专题08导数与不等式、函数零点结合
命题规律
内 容
典 型
１
已知不等式恒成立求参数范围
2019年高考全国Ⅰ卷文数
２
双变量不等式证明
2020年高考天津卷20
３
利用导数证明单变量不等式
2018年高考全国Ⅲ卷文数
４
求函数零点或判定函数零点位置或个数
2020年高考浙江卷22
５
已知函数零点个数求参数范围
2020年高考全国Ⅰ卷文数20
命题规律一 已知不等式恒成立求参数范围
【解决之道】此类问题有两类解法，①参变分离，转化为（或）恒成立，即（或）恒成立，求出的最值即可求出参数的范围；②分类整合，根据题意构造函数，转化为函数的最大值小于零或最小值大于零问题，利用分类整合思想求出函数的最值，列出关于参数的不等式，即可求出参数的范围.
【三年高考】
1.【2020年高考江苏卷19】已知关于的函数，与（，）在区间上恒有．
（1）若，，，求的表达式；
（2）若，，，，求的取值范围；
（3）若，，，，求证：．
【解析】（1）由得．
又，，∴，∴函数的图像为过原点，斜率为的直线，∴．经检验：符合题意．
（2），设，则，
，∴当时，时．
由，得
当时，在上递增，∴，∴．
当时，，即，，．
综上，．
（3）∵，∴，
∴函数的图像在处的切线为，
可见直线为函数的图像在处的切线，

由函数的图像可知，当在区间上恒成立时，，
又由得，
设方程的两根为，，则，，
∴，
令，则，由图像可知．
设，则，
∴当时，，单调递减，∴，
故，即．
2.【2020年高考山东卷21】
已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若，求的取值范围．
【解析】（1）．
切线方程为，与坐标轴交点坐标分别为，
因此所求三角形面积为．
（2），，设，
在上单调递增，即在上单调递增，
当时，使得，
当时， ，
当时， ，
因此存在唯一，使得，，
当时，当时，
因此，
对恒成立，．
3.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数f（x）=2sinx-xcosx-x，f ′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f ′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
【解析】（1）设，则.
当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.
又，故在存在唯一零点.
所以在存在唯一零点.
（2）由题设知，可得a≤0.
由（1）知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.
又，所以，当时，.
又当时，ax≤0，故.
因此，a的取值范围是.
4.【2019年高考浙江】已知实数，设函数
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）对任意均有 求的取值范围．
注：e=2.71828…为自然对数的底数．
【解析】（1）当时，．
，
所以，函数的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+）．
（2）由，得．
当时，等价于．
令，则．
设，
则．
（i）当 时，，则
．
记，则

.
故



1




0
+


单调递减
极小值
单调递增
所以，．
因此，．
（ii）当时，．
令 ，
则，
故在上单调递增，所以．
由（i）得，．
所以，．
因此．
由（i）（ii）知对任意，，
即对任意，均有．
综上所述，所求a的取值范围是．
命题规律二 证明双变量不等式
【解决之道】破解含双参不等式的证明的关键：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；
二是巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．　　
【三年高考】
1.【2020年高考天津卷20】已知函数，为的导函数．
（Ⅰ）当时，
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．
【解析】(Ⅰ) (i) 当k=6时，，．可得，，
∴曲线在点处的切线方程为，即．
(ii) 依题意，．
从而可得，整理可得：，
令，解得．
当x变化时，的变化情况如下表：









单调递减
极小值
单调递增
∴函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)；
g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值．
(Ⅱ)证明：由，得．
对任意的，且，令，则

． ①
令．
当x>1时，，
由此可得在单调递增，∴当t>1时，，即．
∵，，，
∴ ②
由(I)(ii)可知，当时，，即，故 ③
由①②③可得．
∴当时，任意的，且，有
命题规律三 利用导数证明单变量不等式
【解决之道】单变量不等式的证明有三种方法：①作差构造法，左减右构造函数，转化为求函数最值问题；
②隔离审查法，若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个都便于求导的函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标．
③放缩法，可以先对ex和ln x进行放缩，使问题简化，便于化简或判断导数的正负．常见的放缩公式如下：
(1)ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号；
(2)ex≥ex，当且仅当x＝1时取等号；
(3)当x≥0时，ex≥1＋x＋x2, 当且仅当x＝0时取等号；
(4)当x≥0时，ex≥x2＋1, 当且仅当x＝0时取等号；
(5)≤ln x≤x－1≤x2－x，当且仅当x＝1时取等号；
(6)当x≥1时，≤ln x≤，当且仅当x＝1时取等号．
【三年高考】
1.【2019年高考北京文数】已知函数．
（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）当时，求证：；
（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值．
【解析】（Ⅰ）由得．
令，即，得或．
又，，
所以曲线的斜率为1的切线方程是与，
即与．
（Ⅱ）令．
由得．
令得或．
的情况如下：
























所以的最小值为，最大值为．
故，即．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
当时，；
当时，；
当时，．
综上，当最小时，．
2.【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：当时，．
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】（1），．
因此曲线在点处的切线方程是．
（2）当时，．
令，则．
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以．因此．
命题规律四 求函数零点或判定函数零点位置或个数
【解决之道】函数图象与x轴交点的个数，所以可以借助函数图象的特征迅速求解函数的零点个数问题．对于含参函数的零点个数，一般可从两个方面讨论：(1)利用导数研究函数的单调性和极值，作出函数的大致图象，根据极大值和极小值的符号确定函数零点的个数，即“几个交点几个根，正负极值定乾坤”；
(2)分离参数，将问题转化为：求直线y＝a与函数y＝f(x)的图象交点个数问题，即“求根问题要通变，分离参数放左边”．　
【三年高考】
1.【2020年高考浙江卷22】已知，函数，其中e=2．71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；
（Ⅱ）记x0为函数在上的零点，证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
【解析】（I）在上单调递增，
，
∴由零点存在定理得在上有唯一零点；
（II）（i），
，
令
一方面： ，
在单调递增，，
，
另一方面：，
∴当时，成立，
因此只需证明当时，
∵
当时，，当时，，
∴，
在单调递减，，，
综上，．
（ii），
，，
，
∵，∴，
．
只需证明，即只需证明，
令，
则，
，即成立，因此．
2.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数．证明：
（1）存在唯一的极值点；
（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
【解析】（1）的定义域为（0，+）.
.
因为单调递增，单调递减，所以单调递增，又，
，故存在唯一，使得.
又当时，，单调递减；当时，，单调递增.
因此，存在唯一的极值点.
（2）由（1）知，又，所以在内存在唯一根.
由得.
又，故是在的唯一根.
综上，有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
3.【2018年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）证明：只有一个零点．
【解析】（1）当a=3时，f（x）=，f ′（x）=．
令f ′（x）=0解得x=或x=．
当x∈（–∞，）∪（，+∞）时，f ′（x）>0；
当x∈（，）时，f ′（x）8−8ln2；
（Ⅱ）若a≤3−4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点．
【解析】（Ⅰ）函数f（x）的导函数，
由得，
因为，所以．
由基本不等式得．
因为，所以．
由题意得．
设，
则，
所以
x
（0，16）
16
（16，+∞）

−
0
+


2−4ln2

所以g（x）在[256，+∞）上单调递增，
故，
即．
（Ⅱ）令m=，n=，则
f（m）–km–a>|a|+k–k–a≥0，
f（n）–kn–a0，设．
因为，且h（x）的图象是不间断的，
所以存在∈（0，1），使得．令，则b>0．
函数，
则．
由f（x）=g（x）且f′（x）=g′（x），得
，即，（**）
此时，满足方程组（**），即是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”．
因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．
命题规律五 已知函数零点个数求参数范围
【解决之道】根据函数零点个数确定参数取值范围的核心思想是“数形结合”，即通过函数图象与x轴的交点个数，或者两个相关函数图象的交点个数确定参数满足的条件，进而求得参数的取值范围，解决问题的步骤是“先形后数”．
【三年高考】
1.【2019年高考浙江】已知，函数．若函数恰有3个零点，则
A．a0
【答案】C
【解析】当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x=b1-a，
则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点；
当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣b=13x3-12（a+1）x2+ax﹣ax﹣b=13x3-12（a+1）x2﹣b，
，
当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上单调递增，
则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点，不合题意；
当a+1＞0，即a>﹣1时，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此时函数单调递增，
令y′＜0得x∈[0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.
根据题意，函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，
如图：

∴b1-a＜0且-b＞013(a+1)3-12(a+1)(a+1)2-b＜0，
解得b＜0，1﹣a＞0，b＞-16（a+1）3，
则a>–1，b1时，=0，解得x1=，x2=．
易得，g(x)在(−∞，x1)上单调递增，在[x1，x2]上单调递减，在(x2，+∞)上单调递增．
g(x)的极大值g(x1)=g()=>0．
g(x)的极小值g(x2)=g()=−．
若g(x2)≥0，由g(x)的单调性可知函数y=g(x)至多有两个零点，不合题意．
若即，也就是，此时，且，从而由的单调性，可知函数在区间内各有一个零点，符合题意．
所以，的取值范围是．