高中数学高考专题04 立体几何——2020年高考真题和模拟题理科数学分项汇编（学生版）

专题04  立体几何

1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为

A．  B． C． D．

2．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则该端点在侧视图中对应的点为

A． B． C． D．

3．【2020年高考全国II卷理数】已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16，则O到平面ABC的距离为

A． B． C．1 D．

4．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是

A．6+4     B．4+4   

C．6+2     D．4+2

5．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为

A．   B．   

C．    D．

6．【2020年高考天津】若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为

A．      B．     

C．      D．

7．【2020年高考北京】某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为

A． B．

C． D．

8．【2020年高考浙江】某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm3)是

A． B． 

C．3 D．6

9．【2020年高考浙江】已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n．“l ，m，n共面”是“l ，m，n两两相交”的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

10．【2020年新高考全国Ⅰ卷】日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为

A．20°  B．40°

C．50°  D．90°

11．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设有下列四个命题：

p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．

p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．

p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．

p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l．

则下述命题中所有真命题的序号是__________．

① ② ③ ④

12．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．

13．【2020年高考浙江】已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是_______．

14．【2020年高考江苏】如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半轻为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是   ▲    cm.

15．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．

16．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．

(1)证明：平面；

(2)求二面角的余弦值．

17．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．

(1)证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；

(2)设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值．

18．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】如图，在长方体中，点分别在棱上，且，．

(1)证明：点在平面内；

(2)若，，，求二面角的正弦值．

19．【2020年高考江苏】在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．

(1)求证：EF∥平面AB1C1；

(2)求证：平面AB1C⊥平面ABB1．

20．【2020年高考浙江】如图，在三棱台ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC．

(Ⅰ)证明：EF⊥DB；

(Ⅱ)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值．

21．【2020年高考天津】如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．

(Ⅰ)求证：；

(Ⅱ)求二面角的正弦值；

(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值．

1．【2020·广东省高三一模(理)】已知直三棱柱的体积为，若分别在上，且，则四棱锥的体积是

A．  B．  

C．  D．

2．【2020·全国高三(理)】在正方体中，点E是棱的中点，点F是线段上的一个动点．有以下三个命题：

①异面直线与所成的角是定值；

②三棱锥的体积是定值；

③直线与平面所成的角是定值．

其中真命题的个数是

A．3  B．2 

C．1  D．0

3．【2020·六盘山高级中学高三其他(理)】已知点 在同一个球面上， ，若四面体体积的最大值为 10，则这个球的表面积是

A．  B． 

C．  D．

4．【2020·六盘山高级中学高三其他(理)】对于直线，和平面，，的一个充分条件是

A．，， B．，，

C．，， D．，，

5．【2020·河南省南阳中学高三月考(理)】某简单几何体的三视图(俯视图为等边三角形)如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)为

A．18  B． 

C．  D．

6．【2020·福建省福州第一中学高三其他(理)】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A．  B． 

C．  D．

7．【2020·广西壮族自治区高三其他(理)】三个几何体组合的正视图和侧视图均为如下图所示，则下列图中能作为俯视图的个数为

A．1  B．2 

C．3  D．4

8．【2020·辽宁省高三二模(理)】已知一个圆柱的侧面积等于表面积的一半，且其轴截面的周长是18，则该圆柱的体积是______．

9．【2020·重庆南开中学高三期中(理)】正三棱柱中，，，为棱的中点，则异面直线与成角的大小为_______．

10．【2020·四川省高三三模(理)】如图，平行六面体中，，，，，，则的长为_____．

11．【2020·六盘山高级中学高三其他(理)】如图，在四棱锥中，平面，，，且，，

(1)求证：；

(2)在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为，如果存在，求与平面所成的角的正弦值，如果不存在，请说明理由．

12．【2020·辽河油田第二高级中学高三月考(理)】如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4.

(1)证明：平面ADE⊥平面ACD；

(2)当C点为半圆的中点时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值.

13．【2020·湖北省高三其他(理)】如图所示，多面体是由底面为的直四棱柱被截面所截而得到的，该直四棱柱的底面为菱形，其中，，，．

(1)求的长；

(2)求平面与底面所成锐二面角的余弦值．

14．【2020·广东省高三其他(理)】已知几何体中，，，，面，，.

(1)求证：平面平面；

(2)求二面角E－BD－F的余弦值.

15．【2020·福建省福州第一中学高三其他(理)】如图，组合体由半个圆锥和一个三棱锥构成，其中是圆锥底面圆心，是圆弧上一点，满足是锐角，.

(1)在平面内过点作平面交于点，并写出作图步骤，但不要求证明；

(2)在(1)中，若是中点，且，求直线与平面所成角的正弦值.

16．【2020·广西壮族自治区高三其他(理)】如图，直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，是侧棱上的点．

(1)若，证明：是的中点；

(2)若，求二面角的余弦值．

17．【2020·四川省阆中中学高三二模(理)】如图所示，直三棱柱的各棱长均相等，点为的中点.

(1)证明：；

(2)求二面角的余弦值.

18．【2020·宜宾市叙州区第二中学校高三一模(理)】如图，已知三棱柱中，侧棱与底面垂直，且，，、分别是、的中点，点在线段上，且.

(1)求证：不论取何值，总有；

(2)当时，求平面与平面所成二面角的余弦值.

19．【2020·辽宁省高三三模(理)】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，AD⊥PD，点F为棱PD的中点．

(1)在棱BC上是否存在一点E，使得CF∥平面PAE，并说明理由；

(2)若AC⊥PB，二面角D﹣FC﹣B的余弦值为时，求直线AF与平面BCF所成的角的正弦值．

20．【2020·山东省高三三模】已知直三棱柱，，，，分别为，，的中点，且．

(1)求证：平面；

(2)求；

(3)求二面角的余弦值．