【中考专题】专题10 一次函数及其应用（全国通用）（原卷版）

专题三   函数

02  一次函数及其应用

考点1：一次函数图像与性质

（1）形如y=kx＋b（k、b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。当b=0时，函数y=kx（k≠0）

叫做正比例函数。

（2）一次函数的图象与性质

（3）一次函数与坐标轴的交点坐标：

①求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；故一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点是，

②求与y轴的交点，只需令x=0,求出y即可.故与y轴的交点是(0，b)；

③正比例函数y＝kx(k≠0)的图象恒过点(0，0)．

典例1：（2022•安徽）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+a2与y＝a2x+a的图象可能是（　　）

A．    B． C．   D．

【变式1】若点，点，都在一次函数的图象上，则　　

A． B． C． D．

【变式2】（2022·绍兴·中考真题）已知为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（　　　   ）．

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【变式3】（2022•宿迁）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值y随自变量x增大而减小”；乙：“函数图象经过点（0，2）”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式是 　          　．

【变式4】已知一次函数y＝x+1的图象经过点（m，2），则m＝　   　．

考点2：一次函数图像的平移

（1）一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.

（2）左右平移变x，上下平移变等号右边的整体（口诀：左加右减；上加下减）

典例2：（2022·延安·二模）将一次函数y=kx+2的图象向下平移3个单位长度后经过点（-4，3），则k的值为（    ）

A．-1 B．2 C．1 D．-2

【变式1】已知点P（1，2）关于x轴的对称点为P′，且P′在直线y=kx+3上，把直线y=kx+3的图象向上平移2个单位，所得的直线解析式为　   　．

【变式2】（2022·铜川·一模）把函数的图象向上平移5个单位，则下列各坐标所表示的点中，在平移后的直线上的是（    ）

A． B． C． D．

【变式3】（2022•娄底）将直线y＝2x+1向上平移2个单位，相当于（　　）

A．向左平移2个单位 B．向左平移1个单位 

C．向右平移2个单位 D．向右平移1个单位

考点3：待定系数法求解解析式

（1）关键：确定一次函数中的字母与的值。

（2）步骤：

①设一次函数表达式；

②根据已知条件将x，y的对应值代人表达式；

③解关于k，b的方程或方程组；

④确定表达式。

（3）若两条直线平行，那么它们的k相等

典例3：一次函数的图象经过，，则与的值为　　

A． B． C． D．

【变式1】（2022·南平模拟预测）如果P（2，），A（1，1），B（4，0）三点在同一直线上，则的值为（   ）

A．3 B．4 C．5 D．

【变式2】（2022·四川·模拟预测）如图，已知一次函数的图象经过，两点，并且交轴于点，交轴于点，

(1)求该一次函数的解析式；

(2)求的值．

【变式3】如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则直线的解析式为　       　．

考点4：一次函数与方程、不等式的关系

（1）一次函数与方程：一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交点的横坐标.

（2）一次函数与方程组：二元一次方程组的解两个一次函数和图象的交点坐标.

（3）一次函数与不等式

①函数y=kx+b的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＞0的解集

②函数y=kx+b的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＜0的解集

典例4-1：（2022·大同·二模）数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题可迎刃而解，且解法简洁．如图，直线y＝3x和直线y＝ax+b交于点（1，3），根据图象分析，方程3x＝ax+b的解为（　　）

A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝﹣3

【变式1】（2022•贵阳）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与y＝m x+n（a＜m＜0）的图象如图所示．小星根据图象得到如下结论：

①在一次函数y＝mx+n的图象中，y的值随着x值的增大而增大；

②方程组的解为；

③方程mx+n＝0的解为x＝2；

④当x＝0时，ax+b＝﹣1．

其中结论正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【变式2】一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②；③当时，中，正确的个数是　　

A．3 B．2 C．1 D．0

【变式3】一次函数与的部分自变量和对应函数值如表：

则关于的不等式的解集是　　

A． B． C． D．

【变式4】（2022·吉林·模拟）如图，已知函数y=–2x+3与y=–x+m的图像交于点P(n，–2)且分别与y轴交于点A，点B．

(1)求出m、n的值；(2)直接写出不等式–x+m ＞–2x+3；

(3)求出ABP的面积．

考点5：一次函数的应用

（1）解题步骤：

①设出实际问题中的变量；

②建立一次函数关系式；

③利用待定系数法求出一次函数关系式；

④确定自变量的取值范围；

⑤利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；

⑥做答.

（2）方案问题：是指一个问题有多种不同方案的情形下，如何选择其中最科学、最合理、最能合乎要求的方案，通常涉及两个变量，其中一个变量最大或最小，一般利用这个最值解决问题。

（3）最值问题：通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值；确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值.

典例5-1：为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有两种型号的挖掘机,已知3台型和5台型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台型和7台型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台型挖掘机一小时的施工费用为300元,每台型挖掘机一小时的施工费用为180元．

(1)分别求每台型, 型挖掘机一小时挖土多少立方米?

(2)若不同数量的型和型挖掘机共12台同时施工4小时,至少完成1080立方米的挖土量,且总费用不超过12960元．问施工时有哪几种调配方案,并指出哪种调配方案的施工费用最低,最低费用是多少元?

【变式1】某商店购进甲，乙两种商品，甲的进货单价比乙的进货单价高10元，已知20个甲商品的进货总价与30个乙商品的进货总价相同．

（1）求甲、乙商品的进货单价；

（2）若甲、乙两种商品共进货100件，甲商品按进价提高后的价格销售，乙商品按进价提高后的价格销售，若甲、乙两种商品全部售完，设甲商品进货件，利润为，求关于的函数关系式；

（3）在条件（2）下，要求两种商品全部售完后的销售总额不低于2950元，并且不再考虑其他因素，哪种方案利润最大？最大利润是多少？

【变式2】（2022·长春·模拟预测）某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过万元购进台电脑，其中型电脑每台进价元，型电脑每台进价元，型每台售价元，型每台售价元，预计销售额不低于万元．设型电脑购进台、商场的总利润为（元）．

(1)请你设计出进货方案；

(2)求出总利润（元）与购进型电脑（台）的函数关系式，并利用关系式说明哪种方案的利润最大，最大利润是多少元？

【变式3】（2020·济南中考）5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如表所示：型号价格

某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元．

（1）营业厅购进A、B两种型号手机各多少部？

（2）若营业厅再次购进A、B两种型号手机共30部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？

巩固训练

一、选择题

1．(2022·深圳)把直线y＝x向上平移3个单位，下列在该平移后的直线上的点是(　　)

A．(2，2)    B．(2，3)    C．(2，4)   D．(2，5)

2．(人教八下P99练习第12题改编)若一次函数y＝(k＋3)x－k的图象经过第一、二、三象限，则k的取值范围是(　　)

A. k>－3     B. 0<k≤3    C. －3<k<0    D. 0<k<3

3．(2022·莆田质检)已知一次函数y＝kx＋1的图象经过点A，且函数值y随x的增大而减小，则点A的坐标可能是(　　)

A．(2，4)         B．(－1，2)

C．(－1，－4)       D．(5，1)

4．(2022·遵义)如图，直线y＝kx＋3经过点(2，0)．则关于x的不等式kx＋3＞0的解集是(　　)

A．x＞2    B．x＜2    C．x≥2    D．x≤2

5.(2022·枣庄)如图，直线l是一次函数y＝kx＋b的图象，若点A(3，m)在直线l上，则m的值是(     )

A．－5     B.     C.     D．7

6．(2022·陕西)如图，在矩形AOBC中，A(－2，0)，B(0，1)．若正比例函数y＝kx的图象经过点C，则k的值为(　　)

A．－2     B．－  C．2    D.

7．(2022·宿迁)在平面直角坐标系中，过点(1，2)作直线l，若直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l的条数是(　　)

A．5     B．4    C．3    D．2

8．(2022·陕西)若直线l1经过点(0，4)，l2经过点(3，2)，且l1与l2关于x轴对称，则l1与l2的交点坐标为(　　)

A．(2，0)  B．(－2，0)  C．(6，0)  D．(－6，0)

二、填空题

9．(2022·南平质检) 请写出一个在正比例函数y＝x图象上点的坐标______．

10．(2022·邵阳)如图所示，一次函数y＝ax＋b的图象与x轴相交于点(2，0)，与y轴相交于点(0，4)，结合图象可知，关于x的方程ax＋b＝0的解是_____．

11．(2022·宜宾)已知点A是直线y＝x＋1上一点，其横坐标为－，若点B与点A关于y轴对称，则点B的坐标为________.

12．(2022·济宁)在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝－2x＋1的图象经过P1(x1，y1)、P2(x2，y2)两点，若x1＜x2，则y1________y2 .(填“＞”“＜”或“＝”)

13．(2022·宁德质检)已知一次函数y＝kx＋2k＋3(k≠0)，不论k为何值，该函数的图象都经过点A，则点A的坐标为________．

14．(2022·长春)如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(1，3)、(n，3)．若直线y＝2x与线段AB有公共点，则n的值可以为______．(写出一个即可)

15．(2022·连云港)如图，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，⊙O经过A，B两点，已知AB＝2，则的值为________．

三、解答题

16. (2022·常德)某水果店5月份购进甲、乙两种水果共花费1 700元，其中甲种水果8元/千克，乙种水果18元/千克.6月份，这两种水果的进价上调为：甲种水果10元/千克，乙种水果20元/千克．

(1)若该店6月份购进这两种水果的数量与5月份都相同，将多支付货款300元，求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？

(2)若6月份将这两种水果进货总量减少到120千克，且甲种水果不超过乙种水果的3倍，则6月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元？

17．(2022·天津)某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式，方式一：先购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费5元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费9元．设小明计划今年夏季游泳次数为x(x为正整数)．

(Ⅰ)根据题意，填写下表：

(Ⅱ)若小明计划今年夏季游泳的总费用为270元，选择哪种付费方式，他游泳的次数比较多？

(Ⅲ)当x＞20时，小明选择哪种付费方式更合算？并说明理由．

18．(2022·重庆A卷)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋3过点A(5，m)且与y轴交于点B，把点A向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点C.过点C且与y＝2x平行的直线交y轴于点D.

(1)求直线CD对应的函数解析式；

(2)直线AB与CD交于点E，将直线CD沿EB方向平移，平移到经过点B的位置结束，求直线CD在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围．

19．(2022·河北)如图，直角坐标系xOy中，一次函数y＝－x＋5的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C(m，4)．

(1)求m的值及l2的解析式；

(2)求S△AOC－S△BOC的值；

(3)一次函数y＝kx＋1的图象为l3，且l1，l2，l3不能围成三角形，直接写出k的值．