【中考专题】专题07 一元二次方程及其应用（全国通用）（解析版）

专题二   方程与不等式

03  一元二次方程及其应用

考点1：一元二次方程解的应用

（1）一元二次方程定义及其一般式：①整式方程②未知数只有1个③未知数最高次二次④一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．

（2）方程解的应用：将解代入方程，将已知代数式跟所求代数式建立联系，整体代入（整体思想）

典例1：根据下列表格的对应值：

由此可判断方程必有一个根满足　　

A． B． C． D．

【解答】解：时，，时，，时，，即方程必有一个解满足，故选：．

【变式1】已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值为（　　）

A．﹣2022 B．0 C．2022 D．4044

解：∵m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，

∴m2+3m﹣2022＝0，

∴m2+3m＝2022，

∴原式＝m3+3m2﹣m2﹣3m﹣2022m+2022

＝m（m2+3m）﹣（m2+3m）﹣2022m+2022

＝2022m﹣2022﹣2022m+2022

＝0．

故选：B．

【变式2】（2022·淮安·一模）已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值是______．

∵m为一元二次方程的一个根．

∴m2+m-6=0，

∴m2+m=6，

即2m2+2m=12，

故答案为：12．

【变式3】若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有根为　　

A．2019 B．2020 C．2021 D．2022

【解答】解：对于一元二次方程即，设，所以，而关于的一元二次方程有一根为，所以有一个根为，则，解得，所以一元二次方程必有一根为．故选：．

考点2：解一元二次方程

（1）解一元二次方程的基本思想是降次．

（2）主要方法有：因式分解法、配方法、直接开平方法、公式法．

①用因式分解法解方程的原理是：若a·b＝0，则a＝0或b＝0．

②配方法：能通过配方把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)变形为(x＋)2＝的形式，再利用直接开平方法求解。

③公式法：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，x＝

典例2-1：（2022•聊城）用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（　　）

A． B． C．2 D．

【解答】解：∵3x2+6x﹣1＝0，

∴3x2+6x＝1，

x2+2x＝，

则x2+2x+1＝，即（x+1）2＝，

∴a＝1，b＝，

∴a+b＝．

故选：B．

【变式1】（1）（配方法）；（2）（公式法）．

【解答】解：（1），，，即，

，，．（2），，，，，

△，，，．

【变式2】（2022•天津）方程x2+4x+3＝0的两个根为（　　）

A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝3 

C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3

【分析】根据解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．

【解答】解：x2+4x+3＝0，

（x+3）（x+1）＝0，

x+3＝0或x+1＝0，

x1＝﹣3，x2＝﹣1，

故选：D．

【变式3】（x+1）2=（2x-3）2（因式分解）

考点3：一元二次方程根的判别式

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式为Δ＝b2－4ac.

1．b2－4ac＞0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根．

2．b2－4ac＝0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根．

3．b2－4ac＜0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根．

4．b2－4ac≥0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根（有解）

典例3-1：（2022•东营）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　        　．

解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4×（k﹣1）＞0，

解得k＜2且k≠1，

所以k的取值范围是k＜2且k≠1．

故答案为：k＜2且k≠1．

【变式1】（2020·随州中考）已知关于的一元二次方程．

（1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程有两个实数根，，且，求的值．

解：（1）证明：依题意可得 

故无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．

（2）由根与系数的关系可得：

由，得，解得．

【变式2】已知：关于的一元二次方程．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）如果为正整数，且方程的两个根为不相等的正整数，求的值．

【解答】（1）证明：由一元二次方程得，△

，方程总有两个实数根；

（2）解：，即，解得：，．方程的两个根为不相等的正整数，或5．（也可以利用公式法解出方程）

【变式3】（2022·内蒙古·中考真题）对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如，则关于x的方程 的根的情况，下列说法正确的是（    ）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．无实数根 D．无法确定

【答案】A

【分析】先根据新定义得到关于x的方程为，再利用一元二次方程根的判别式求解即可．

【详解】解：∵，

∴，

∴，

∴，

∴方程有两个不相等的实数根，

故选A．

【变式4】已知关于的方程

(1)求证：无论取什么实数，这个方程总有实数根；

(2)若等腰三角形的一边长，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求三角形的周长；

【详解】（1）证明：∵

∴无论取什么实数，这个方程总有实数根

（2）解：原方程可化为：

∴或

∴，

当时，三角形的三边长为：、、，不存在此三角形；

当时，，三角形的三边长为：、、；

此时，三角形的周长为：

故三角形的周长为

考点4：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）

1．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝.（结合完全平方公式的变形）

2．使用一元二次方程的根与系数的关系时，一是要先将一元二次方程化为一般形式；二是方程的解存在，即满足b2－4ac≥0.

典例4-1：已知、是方程的两个根，则　   　．

【解答】解：是方程的根，，，

，、是方程的两个根，

，．故答案为3．

【变式1】已知实数m，n满足3m2+6m﹣5=0，3n2+6n﹣5=0，且m≠n，则______.
解：∵两个不相等的实数m，n满足3m2-6m=4，3n2-6n=4，
∴可以把m，n看作是方程3x2-6x-4=0的两个根，
∴mn=-．m+n=-2

∴===-

【变式2】（2022•内江）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 　      　．

解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，

∴x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，

∴x12＝2x1﹣k+1，

∵+＝x12+2x2﹣1，

∴＝2（x1+x2）﹣k，

∴＝4﹣k，

解得k＝2或k＝5，

当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；

当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；

∴k＝2，

故答案为：2．

【变式3】（2022·四川宜宾·中考真题）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（    ）

A．0 B．－10 C．3 D．10

解：∵m、n是一元二次方程的两个根，

∴mn=－5，m2+2m-5=0，

∴m2+2m=5，

∴=5－5=0，

故选：A．

【变式4】（2020·孝感中考）已知关于的一元二次方程．

（1）求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程的两个实数根，满足，求的值．

解：(1)证明：∵，

∵无论为何实数，，

∴，

∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；

(2)由一元二次方程根与系数的关系得：

，，

∵，

∴，

∴，

∴，化简得：，

解得，．

考点5：一元二次方程的实际应用

（1）解题步骤：①审题；②找等量关系；③设未知数；④列方程；⑤解方程；⑥检验；⑦写出答案．

（2）常考类型：①增长率问题：a（1±x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量；②利润问题：总利润=单件商品利润×销量；③几何面积（通过平移的方式整合面积）；④赛制问题：单循环（两两之间只相遇一次）与双循环（两两之间相遇两次）

典例5-1：（2020·厦门中考）某口罩厂10月份的口罩产量为25万只，由于市场需求量增大，到12月份第四季度的总产量达到91万只，设该厂11，12月份的口罩产量的月平均增长率为，根据题意可列方程为　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：设该厂11，12月份的口罩产量的月平均增长率为，则11月份的口罩产量为，12月份的口罩产量为，依题意，得：．故选：．

【变式1】某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？

解：设销售单价为x元，

由题意，得：（x﹣360）[160+2（480﹣x）]=20000，

整理，得：x2﹣920x+211600=0，

解得：x1=x2=460，

答：这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润20000元．

【变式2】（2022·河南·模拟预测）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个各队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排共计28场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛?若设应邀请x个队参赛，可列出的方程为（   ）

A．  B．

C． D．

【详解】每支球队都需要与其他球队赛场，但两个队之间只有1场比赛，

∴可列方程：，

故选：D．

【变式3】某校初三年级举行班级篮球友谊赛，每两个班都要进行一场比赛，张老师告诉小丽总共要进行120场比赛，小丽想通过列方程求出参与比赛的班级数．设参与比赛的班级有个，则所列方程正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：设邀请个队，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛，

由题意得，，故选：．

【变式4】（2020·西藏中考）列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．

解：设茶园垂直于墙的一边长为xm，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，

根据题意，得x（69+1﹣2x）＝600，

整理，得x2﹣35x+300＝0，

解得x1＝15，x2＝20，

当x＝15时，70﹣2x＝40＞35，不符合题意舍去；

当x＝20时，70﹣2x＝30，符合题意．

答：这个茶园的长和宽分别为30m、20m．

【变式5】（2020·滨州中考）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．

（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？

（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元?

（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？

解：当售价为元/千克时，每月销售量为千克.

设每千克水果售价为元，由题意，得

即

整理，得

配方，得

解得

当月销售利润为元时，每千克水果售价为元或元

设月销售利润为元，每千克水果售价为元，

由题意，得

即

配方，得

，

当时，有最大值

当该优质水果每千克售价为元时，获得的月利润最大．

巩固训练

一、选择题

1．(2022·莆田质检)若x＝1是关于x的方程x2－2x＋c＝0的一个根，则c的值为(　　)

A．－1     B．0    C．1    D．2

2．(2022·临沂)一元二次方程y2－y－＝0配方后可化为(　　)

A.＝1       B. 2＝1    

C.＝          D. ＝

3．(2022·山西)下列一元二次方程中，没有实数根的是(　　)

A．x2－2x＝0       B．x2＋4x－1＝0

C．2x2－4x＋3＝0      D．3x2＝5x－2

4．(2022·安徽)若关于x的一元二次方程x(x＋1)＋ax＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为(　　)

A．－1     B．1    C．－2或2    D．－3或1

5．(2022·甘肃省卷)关于x的一元二次方程x3＋4x＋k＝0有两个实根，则k的取值范围是(　　)

 A．k≤－4   B．k＜－4   C．k≤4    D．k＜3

6．(2022·眉山)若α，β是一元二次方程3x2＋2x－9＝0的两根，则＋的值是(　　)

A.     B．－   C．－    D.

7．(2022·安徽)据省统计局发布，2021年我省有效发明专利数比2020年增长22.1%，假定2022年的年增长率保持不变，2022年和2020年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，则(　　)

A．b＝(1＋22.1%×2)a    B．b＝(1＋22.1%)2a

C．b＝(1＋22.1%)×2a    D．b＝22.1%×2a

8．(2022·宜宾)某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元，预计2019年“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2022年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为(　　)

A．2%    B．4.4%    C．20%    D．44%

9．(2017·甘肃省卷)如图，某小区计划在一块长为32 m，宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m2.若设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是(　　)

A. (32－2x)(20－x)＝570

B. 32x＋2×20x＝32×20－570

C. (32－x)(20－x)＝32×20－570

D. 32x＋2×20x－2x2＝570

二、填空题

10．(2022·扬州)若m是方程2x2－3x－1＝0的一个根，则6m2－9m＋2015的值为____________．

11．(2022·聊城)已知关于x的方程(k－1)x2－2kx＋k－3＝0有两个相等的实根，则k的值是________．

12．(2022·三明质检)定义运算：a·b＝2ab，若a，b是方程x2＋x－m＝0(m＞0)的两个根，则(a＋1)·a－(b＋1)·b的值为________．

13．(2022·温州)我们知道方程x2＋2x－3＝0的解是x1＝1，x2＝－3.现给出另一个方程(2x＋3)2＋2(2x＋3)－3＝0.它的解是(　　)

三、解答题

14．(2022·绍兴)解方程：x2－2x－1＝0.

15．(2022·齐齐哈尔)解方程：2(x－3)＝3x(x－3)．

16. (2022·玉林)已知关于x的一元二次方程：x2－2x－k－2＝0有两个不相等的实数根．

(1)求k的取值范围；

(2)给k取一个负整数值，解这个方程．

17．(2022·北京)关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0.

(1)当b＝a＋2时，利用根的判别式判断方程根的情况；

(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．

18．(2022·沈阳)某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．

假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．

(1)求每个月生产成本的下降率；

(2)请你预测4月份该公司的生产成本．

19．(2022·盐城)一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．

(1)若降价3元，则平均每天销售数量为________件；

(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1 200元？

参考答案

【基础训练】

1．C　2.B　3.C　4.A　5.C　6.C　7.B　8.C　9.A

10．2 018　11．A　12.D

13.

14．x1＝1＋，x2＝1－.

15．x1＝3，x2＝.

16．(1)k＞－3；

(2)取k＝－2，则方程变形为x2－2x＝0，

解得x1＝0，x2＝2.

17．解：(1)当b＝a＋2时，∵Δ＝(a＋2)2－4a＝a2＋4＞0，

∴原方程有两个不相等的实数根．

(2)∵方程有两个相等的实数根，

∴b2－4a＝0，

取a＝1，b＝2，则原方程变为x2＋2x＋1＝0，

解得x1＝x2＝－1.

18．(1)答：每个月生产成本的下降率为5%.

(2)答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．

19．(1)26；

(2)答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1 200元．