高中数学高考全国通用版2019版高考数学一轮复习第一单元集合与常用逻辑用语学案文

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第一单元 集合与常用逻辑用语
第1课集__合

[过双基]
1．集合的含义及表示
(1)集合的含义：研究对象叫做元素，一些元素组成的总体叫做集合．集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性．
(2)元素与集合的关系：①属于，记为；②不属于，记为.
(3)集合的表示方法：列举法、描述法和图示法．
(4)常用数集的记法：自然数集，正整数集N*或N＋，整数集，有理数集，实数集.
2．集合间的基本关系
　　表示
关系　　
文字语言
符号语言
记法
基本关系
子集
集合A的元素都是集合B的元素
x∈A⇒x∈B
A⊆B或B⊇A
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A
A⊆B，且∃x0∈B，x0∉A
AB或BA
相等
集合A，B的元素完全相同
A⊆B，
B⊆A
A＝B
空集
不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集
∀x，x∉∅，
∅⊆A
∅

3．集合的基本运算
　 表示
运算　
文字语言
符号语言
图形语言
记法
交集
属于集合A属于集合B的元素组成的集合
{x|x∈A，x∈B}

A∩B
并集
属于集合A属于集合B的元素组成的集合
{x|x∈A，x∈B}

A∪B
补集
全集U中属于集合A的元素组成的集合
{x|x∈U，且xA}

∁UA
4．集合问题中的几个基本结论
(1)集合A是其本身的子集，即A⊆A；
(2)子集关系的传递性，即A⊆B，B⊆C⇒A⊆C；
(3)A∪A＝A∩A＝，A∪∅＝，A∩∅＝，∁UU＝，∁U∅＝.
　
1．(2018·江西临川一中期中)已知集合A＝{2,0,1,8}，B＝{k|k∈R，k2－2∈A，k－2∉A}，则集合B中所有的元素之和为(　　)
A．2　　　　　　　　　　 B．－2
C．0 D.
解析：选B　若k2－2＝2，则k＝2或k＝－2，当k＝2时，k－2＝0，不满足条件，当k＝－2时，k－2＝－4，满足条件；若k2－2＝0，则k＝±，显然满足条件；若k2－2＝1，则k＝±，显然满足条件；若k2－2＝8，则k＝±，显然满足条件．所以集合B中的元素为－2，±，±，±，所以集合B中的元素之和为－2，故选B.
2．(2018·河北武邑中学期中)集合A＝{x|x2－7x<0，x∈N*}，则B＝中元素的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D　A＝{x|x2－7x<0，x∈N*}＝{x|0 3．(2017·黄冈三模)设集合U＝{1,2,3,4}，集合A＝{x∈N|x2－5x＋4<0}，则∁UA等于(　　)
A．{1,2} B．{1,4}
C．{2,4} D．{1,3,4}
解析：选B　因为集合U＝{1,2,3,4}，集合A＝{x∈N|x2－5x＋4<0}＝{x∈N|1 4．(2017·天津高考)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝(　　)
A．{2} B．{1,2,4}
C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5}
解析：选B　A∪B＝{1,2,4,6}，又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝{1,2,4}．
5．(2017·衡水押题卷)已知集合A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{y|y＝log2(x＋2)，x∈A}，则A∩B为(　　)
A．(0,1) B．[0,1]
C．(1,2) D．[1,2]
解析：选D　因为A＝{x|0≤x≤2}，所以B＝{y|y＝log2(x＋2)，x∈A}＝{y|1≤y≤2}，所以A∩B＝{x|1≤x≤2}．
[清易错]
1．在写集合的子集时，易忽视空集．
2．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．
3．在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，易忽略A＝∅的情况．
1．(2018·西安质检)已知集合M＝{1,2,3,4}，则集合P＝{x|x∈M，且2x∉M}的子集的个数为(　　)
A．8　　　　B．4　　　　　C．3　　　　　D．2
解析：选B　由题意，得P＝{3,4}，所以集合P的子集有22＝4个，故选B.
2．已知全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|a＋1|,2}，∁UA＝{a＋3}，则实数a的值为________．
解析：∵∁UA＝{a＋3}，
∴a＋3≠2且a＋3≠|a＋1|且a＋3∈U，
由题意，得a＋3＝3或a＋3＝a2＋2a－3，
解得a＝0或a＝2或a＝－3，
又∵|a＋1|≠2且AU，∴a≠0且a≠－3，∴a＝2.
答案：2
3．设集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，集合B＝{x|mx－1＝0}，若A∩B＝B，则实数m组成的集合是________．
解析：由题意知A＝{2,3}，又A∩B＝B，所以B⊆A.
当m＝0时，B＝∅，显然成立；
当m≠0时，B＝⊆{2,3}，所以＝2或＝3，即m＝或.
故m组成的集合是.
答案：

[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
集合的基本概念
5年2考
集合的表示、集合元素的性质
集合间的基本关系
未考查

集合的基本运算
5年11考
交、并、补运算，多与不等式相结合


集合的基本概念
[典例]　(1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为(　　)
A．3　　　　　　　　　 B．4
C．5 D．6
(2)(2018·厦门模拟)已知P＝{x|2 [解析]　(1)∵a∈A，b∈B，∴x＝a＋b为1＋4＝5,1＋5＝2＋4＝6,2＋5＝3＋4＝7,3＋5＝8，共4个元素．
(2)因为P中恰有3个元素，所以P＝{3,4,5}，故k的取值范围为5 [答案]　(1)B　(2)(5,6]
[方法技巧]
与集合中的元素有关问题的求解策略
(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．
(2)看这些元素满足什么限制条件．
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．　　
[即时演练]
1．(2018·莱州一中模拟)已知集合A＝{x∈N|x2＋2x－3≤0}，B＝{C|C⊆A}，则集合B中元素的个数为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选C　A＝{x∈N|(x＋3)(x－1)≤0}＝{x∈N|－3≤x≤1}＝{0,1}，共有22＝4个子集，因此集合B中元素的个数为4，选C.
2．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
解析：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－，当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－时，m＋2＝，而2m2＋m＝3，故m＝－.
答案：－

集合间的基本关系
[典例]　(1)已知集合A＝{x|0 A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(－∞，0]∪[3，＋∞)
C．[0,2] D．[0,3]
(2)已知集合A＝{x|1≤x＜5}，B＝{x|－a [解析]　(1)∵C⊆A，∴解得0≤a≤2，故实数a的取值范围为[0,2]．
(2)因为B⊆(A∩B)，所以B⊆A.
①当B＝∅时，满足B⊆A，
此时－a≥a＋3，即a≤－；
②当B≠∅时，要使B⊆A，则
解得－ 由①②可知，实数a的取值范围为(－∞，－1]．
[答案]　(1)C　(2)(－∞，－1]
[方法技巧]
已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析．　　
[即时演练]
1．设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}，若B⊆A，则m＝________.
解析：由已知得A＝{x|x＝－2或x＝－1}，
B＝{x|x＝－1或x＝－m}．
因为B⊆A，
当－m＝－1，即m＝1时，满足题意；
当－m＝－2，即m＝2时，满足题意，故m＝1或2.
答案：1或2
2．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，实数a的取值范围是(c，＋∞)，则c＝________.
解析：

由log2x≤2，得0 即A＝{x|0 而B＝(－∞，a)，
由于A⊆B，如图所示，则a>4，即c＝4.
答案：4

集合的基本运算
集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力.
常见的命题角度有：
(1)求交集或并集；
(2)交、并、补的混合运算；
(3)集合运算中的参数范围；
(4)集合的新定义问题.
角度一：求交集或并集
1．(2017·山东高考)设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝(　　)
A．(1,2) B．(1,2]
C．(－2,1) D．[－2,1)
解析：选D　由题意可知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x<1}，故A∩B＝{x|－2≤x<1}．
2．(2017·浙江高考)已知集合P＝{x|－1 A．(－1,2) B．(0,1)
C．(－1,0) D．(1,2)
解析：选A　根据集合的并集的定义，得P∪Q＝(－1,2)．
角度二：交、并、补的混合运算
3．设全集U＝R，集合A＝{x|x>0}，B＝{x|x2－x－2<0}，则A∩(∁UB)＝(　　)
A．(0,2] B．(－1,2]
C．[－1,2] D．[2，＋∞)
解析：选D　因为A＝{x|x>0}，B＝{x|－1 所以∁UB＝{x|x≤－1或x≥2}，
所以A∩(∁UB)＝{x|x≥2}．
4．若全集U＝R，集合A＝{x|1<2x<4}，B＝{x|x－1≥0}，则A∪(∁UB)＝________.
解析：A＝{x|0 答案：{x|x<2}
角度三：集合运算中的参数范围
5．(2017·上海高考)设集合A＝{x||x－2|≤3}，B＝{x|x 解析：因为集合A＝{x|－1≤x≤5}，B＝{x|x 答案：(－∞，－1]
角度四：集合的新定义问题
6．设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集为：M－P＝{x|x∈M，且x∉P}，则M－(M－P)＝(　　)
A．P B．M∩P
C．M∪P D．M
解析：选B　设全集U，由题意可得M－P＝M∩(∁UP)，所以M－(M－P)＝M∩P.
7．对于集合M，定义函数fM(x)＝对于两个集合A，B，定义集合AΔB＝{x|fA(x)·fB(x)＝－1}．已知A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,2,4,8,12}，则用列举法写出集合AΔB的结果为________．
解析：由题意知当x∈A且x∉B或x∈B且x∉A时，有fA(x)·fB(x)＝－1成立，所以AΔB＝{1,6,10,12}．
答案：{1,6,10,12}
[方法技巧]
解集合运算问题4个注意点
(1)看元素构成
集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键．
(2)对集合化简
有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决．
(3)应用数形
常用的数形结合形式有数轴和Venn图．
(4)创新性问题
以集合为依托，对集合的定义、运算、性质进行创新考查，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决．　　

1．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则(　　)
A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝R
C．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝∅
解析：选A　∵集合A＝{x|x<1}，B＝{x|x<0}，
∴A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}，故选A.
2．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝(　　)
A．{1} B．{1,2}
C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}
解析：选C　因为B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1 3．(2015·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{x|－1 A．(－1,3) B．(－1,0)
C．(0,2) D．(2,3)
解析：

选A　将集合A与集合B在数轴上画出(如图)．
由图可知A∪B＝(－1,3)，故选A.
4．(2014·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{－2,0,2}，B＝{ x|x2 －x－2＝0}，则A∩B＝(　　)
A．∅ B．{2}
C．{0} D．{－2}
解析：选B　因为B＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1,2}，A＝{－2,0,2}，所以A∩B＝{2}，故选B.
5．(2013·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－＜x＜}，则(　　)
A．A∩B＝∅ B．A∪B＝R
C．B⊆A D.A⊆B
解析：选B　因为集合A＝{x|x＞2或x＜0}，所以A∪B＝{x|x＞2或x＜0}∪{x|－＜x＜}＝R，故选B.

一、选择题
1．(2017·北京高考)若集合A＝{x|－23}，则A∩B＝(　　)
A．{x|－2 C．{x|－1 解析：选A　由集合交集的定义可得A∩B＝{x|－2 2．设集合A＝{x|x2－9<0}，B＝{x|2x∈N}，则A∩B中元素的个数为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选D　因为A＝{x|－3 所以由2x∈N可得A∩B＝，其元素的个数是6.
3．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为(　　)
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选B　因为A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.
4．设集合A＝{x|x2－2x－3<0}，B＝{x|x>0}，则A∪B＝(　　)
A．(－1，＋∞) B．(－∞，3)
C．(0,3) D．(－1,3)
解析：选A　因为集合A＝{x|x2－2x－3<0}＝{x|－10}，所以A∪B＝{x|x>－1}．
5．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝(　　)
A．{1，－3} B．{1,0}
C．{1,3} D．{1,5}
解析：选C　因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1,3}．
6．设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数是(　　)
A．7 B．10
C．25 D．52
解析：选B　因为A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，
所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}．
由x∈A∩B，可知x可取0,1；
由y∈A∪B，可知y可取－1,0,1,2,3.
所以元素(x，y)的所有结果如下表所示：
　 y
－1
0
1
2
3
0
(0，－1)
(0,0)
(0,1)
(0,2)
(0,3)
1
(1，－1)
(1,0)
(1,1)
(1,2)
(1,3)

所以A*B中的元素共有10个．
7．(2017·吉林一模)设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x>a}，若A∩B中只有一个元素，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．[0,1)
C．[1，＋∞) D．(－∞，1]
解析：选B　由题意知，集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x>a}，画出数轴(如图所示)．若A∩B中只有一个元素，则0≤a<1，故选B.
8．设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x<1}，Q＝{x||x－2|<1}，那么P－Q＝(　　)
A．{x|0 C．{x|1≤x<2} D．{x|2≤x<3}
解析：选B　由log2x<1，得0 所以P＝{x|0 由|x－2|<1，得1 所以Q＝{x|1 由题意，得P－Q＝{x|0 二、填空题
9．(2018·辽宁师大附中调研)若集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0}有且仅有两个子集，则实数a的值为________．
解析：由题意知，集合A有且仅有两个子集，则集合A中只有一个元素．当a－1＝0，即a＝1时，A＝，满足题意；当a－1≠0，即a≠1时，要使集合A中只有一个元素，需Δ＝9＋8(a－1)＝0，解得a＝－.综上可知，实数a的值为1或－.
答案：1或－
10．已知集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|≥1}．若A∩B是集合{x|x≥a}的子集，则实数a的取值范围为________．
解析：∵由≥1，得x≥2，∴B＝{x|x≥2}．
∵A＝{x|1≤x≤3}，∴A∩B＝{x|2≤x≤3}．
若集合A∩B＝{x|2≤x≤3}是集合{x|x≥a}的子集，
则a≤2.
答案：(－∞，2]
11．(2018·贵阳监测)已知全集U＝{a1，a2，a3，a4}，集合A是全集U的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a1∈A，则a2∈A；②若a3∉A，则a2∉A；③若a3∈A，则a4∉A.则集合A＝________.(用列举法表示)
解析：假设a1∈A，则a2∈A，由若a3∉A，则a2∉A可知，a3∈A，故假设不成立；假设a4∈A，则a3∉A，a2∉A，a1∉A，故假设不成立．故集合A＝{a2，a3}．
答案：{a2，a3}
12．(2016·北京高考)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店
①第一天售出但第二天未售出的商品有________种；
②这三天售出的商品最少有________种．
解析：设三天都售出的商品有x种，第一天售出，第二天未售出，且第三天售出的商品有y种，则三天售出商品的种类关系如图所示．
由图可知：
①第一天售出但第二天未售出的商品有19－(3－x)－x＝16(种)．
②这三天售出的商品有(16－y)＋y＋x＋(3－x)＋(6＋x)＋(4－x)＋(14－y)＝43－y(种)．
由于所以0≤y≤14.
所以(43－y)min＝43－14＝29.
答案：①16　②29
三、解答题
13．已知A＝{x|－1 (1)当m＝1时，求A∪B；
(2)若B⊆∁RA，求实数m的取值范围．
解：(1)因为m＝1时，B＝{x|1≤x<4}，
所以A∪B＝{x|－1 (2)∁RA＝{x|x≤－1或x>3}．
当B＝∅时，则m≥1＋3m，得m≤－，满足B⊆∁RA，
当B≠∅时，要使B⊆∁RA，须满足或解得m>3.
综上所述，m的取值范围是∪(3，＋∞)．
14．记函数f(x)＝ 的定义域为A，g(x)＝lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1)的定义域为B.
(1)求A；
(2)若B⊆A，求实数a的取值范围．
解：(1)由2－≥0，得≥0，
解得x<－1或x≥1，
即A＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)．
(2)由(x－a－1)(2a－x)>0，
得(x－a－1)(x－2a)<0，
∵a<1，∴a＋1>2a，∴B＝(2a，a＋1)，
∵B⊆A，∴2a≥1或a＋1≤－1，即a≥或a≤－2，
∵a<1，∴≤a<1或a≤－2，
∴实数a的取值范围是(－∞，－2]∪.

1．已知定义域均为{x|0≤x≤2}的函数f(x)＝与g(x)＝ax＋3－3a(a>0)，设函数f(x)与g(x)的值域分别为A与B，若A⊆B，则a的取值范围是(　　)
A．[2，＋∞) B．[1,2]
C．[0,2] D．[1，＋∞)
解析：选B　因为f′(x)＝，所以f(x)＝在[0,1)上是增函数，在(1,2]上是减函数，
又因为f(1)＝1，f(0)＝0，f(2)＝，所以A＝{x|0≤x≤1}；
由题意易得B＝[3－3a,3－a]，
因为[0,1]⊆[3－3a,3－a]，
所以3－3a≤0且3－a≥1，解得1≤a≤2.
2．已知集合A＝{x|x2－2 018x＋2 017<0}，B＝{x|log2x 解析：由x2－2 018x＋2 017<0，解得1 由log2x 答案：11
第2课命题及其关系__充分条件与必要条件

[过双基]
1．命题
概念
使用语言、符号或者式子表达的，可以判断真假的陈述句
特点
(1)能判断真假；(2)陈述句
分类
命题、命题
2．四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系：

(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.
3．充要条件
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p成立的对象的集合为A，q成立的对象的集合为B
p是q的充分不必要条件
p⇒q且qp
A是B的真子集
集合与
充要条件
p是q的必要不充分条件
pq且q⇒p
B是A的真子集
p是q的充要条件
p⇔q
A＝B
p是q的既不充分也不必要条件
pq且qp
A，B互不包含

1．命题“若a>b，则ac>bc”的逆否命题是(　　)
A．若a>b，则ac≤bc　　　 B．若ac≤bc，则a≤b
C．若ac>bc，则a>b D．若a≤b，则ac≤bc
解析：选B　由逆否命题的定义可知，答案为B.
2．已知命题p：对于x∈R，恒有2x＋2－x≥2成立；命题q：奇函数f(x)的图象必过原点，则下列结论正确的是(　　)
A．p∧q为真 B．(綈p)∨q为真
C．p∧(綈q)为真 D．(綈p)∧q为真
解析：选C　由指数函数与基本不等式可知，命题p是真命题；当函数f(x)＝时，是奇函数但不过原点，则可知命题q是假命题，所以p∧(綈q)是真命题，故选C.
3．已知p：x>1或x<－3，q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．(－∞，1]
C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3)
解析：选A　法一：设P＝{x|x>1或x<－3}，Q＝{x|x>a}，因为q是p的充分不必要条件，所以QP，因此a≥1.
法二：令a＝－3，则q：x>－3，则由命题q推不出命题p，此时q不是p的充分条件，排除B、C；同理，取a＝－4，排除D，选A.
4．已知命题p：x≠＋2kπ，k∈Z；命题q：sin x≠，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B　令x＝，则sin x＝，即p⇒/ q；当sin x≠时，x≠＋2kπ或＋2kπ，k∈Z，即q⇒p，因此p是q的必要不充分条件．
[清易错]
1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．
2．易忽视A是B的充分不必要条件(A⇒B且BA)与A的充分不必要条件是B(B⇒A且AB)两者的不同．
1．“若x，y∈R且x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题是(　　)
A．若x，y∈R且x2＋y2≠0，则x，y全不为0
B．若x，y∈R且x2＋y2≠0，则x，y不全为0
C．若x，y∈R且x，y全为0，则x2＋y2＝0
D．若x，y∈R且xy≠0，则x2＋y2＝0
解析：选B　原命题的条件：x，y∈R且x2＋y2＝0，
结论：x，y全为0.否命题是否定条件和结论．
即否命题：“若x，y∈R且x2＋y2≠0，则x，y不全为0”．
2．设a，b∈R，函数f(x)＝ax＋b(0≤x≤1)，则f(x)>0恒成立是a＋2b>0成立的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　充分性：因为f(x)>0恒成立，
所以则a＋2b>0，即充分性成立；
必要性：令a＝－3，b＝2，则a＋2b>0成立，但是，f(1)＝a＋b>0不成立，即f(x)>0不恒成立，则必要性不成立．
所以答案为A.

[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
四种命题的相互关系及真假判断
5年1考
命题的真假判断
充分条件、必要条件
5年1考
充要条件的判断


命题的相互关系及真假性
[典例]　(1)(2018·西安八校联考)已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的(　　)
A．逆命题　　　　　　　 B．否命题
C．逆否命题 D．否定
(2)原命题为“若 A．真，真，真 B．假，假，真
C．真，真，假 D．假，假，假
[解析]　(1)命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．
(2)原命题是：“若an＋1 [答案]　(1)B　(2)A
[方法技巧]
命题的关系及真假判断
(1)在判断命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再分析每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性．
(2)判断命题真假的方法：一是联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断；二是利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．　　
[即时演练]
1．已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是(　　)
①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；
②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；
③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．
A．①③　　 B．②　　 　　C．②③　　　　D．①②③
解析：选A　命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定，然后交换条件与结论所得，因此①正确，②错误，③正确．
2．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是(　　)
A．3　　　　B．2　　　　　C．1　　　　　D．0
解析：选C　易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题只有一个．

充分、必要条件的判定
[典例]　(1)(2017·浙江高考)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4＋S6>2S5”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)设α：1≤x≤3，β：m＋1≤x≤2m＋4，m∈R，若α是β的充分条件，则m的取值范围是________．
[解析]　(1)因为{an}为等差数列，所以S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以d>0⇔S4＋S6>2S5.
(2)若α是β的充分条件，则α对应的集合是β对应集合的子集，则解得－≤m≤0.
[答案]　(1)C　(2)
[方法技巧]
充要条件的3种判断方法
定义法
直接判断若p则q，若q则p的真假
等价法
即利用A⇒B与綈B⇒綈A；B⇒A与綈A⇒綈B；A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法
集合法
即设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}：若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件
[即时演练]
1．(2016·四川高考)设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　∵∴x＋y>2，即p⇒q.
而当x＝0，y＝3时，有x＋y＝3>2，但不满足x>1且y>1，即q ⇒/ p．故p是q的充分不必要条件．
2．已知m，n∈R，则“mn <0”是“抛物线mx2＋ny＝0的焦点在y轴正半轴上”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C　若“mn<0”，则x2＝－y中的－>0，所以“抛物线mx2＋ny＝0的焦点在y轴正半轴上”成立，是充分条件；反之，若“抛物线mx2＋ny＝0的焦点在y轴正半轴上”，则x2＝－y中的－>0，即mn <0，则“mn <0”成立，故是充要条件.

根据充分、必要条件求参数的范围
根据充分条件、必要条件求参数的范围是对充分条件、必要条件与集合之间关系的深层次考查．
此类题的解决方法一般有两种：
(1)直接法：先求出p，q为真命题时所对应的条件，然后表示出綈p与綈q，把綈p与綈q所对应的关系转化为綈p与綈q所对应集合之间的关系，列出参数所满足的条件求解；
(2)等价转化法，把綈p，綈q的关系转化为p，q的关系．
[典例]　(2018·安徽黄山调研)已知条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
[解析]　由2x2－3x＋1≤0，得≤x≤1，
∴条件p对应的集合P＝.
由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得a≤x≤a＋1，
∴条件q对应的集合为Q＝{x|a≤x≤a＋1}．
法一：用“直接法”解题
綈p对应的集合A＝，
綈q对应的集合B＝{x|x>a＋1或x ∵綈p是綈q的必要不充分条件，即BA，
∴或∴0≤a≤.
即实数a的取值范围是.
法二：用“等价转化法”解题
∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴根据原命题与逆否命题等价，得p是q的充分不必要条件．
∴p⇒q，即PQ⇔或
解得0≤a≤.即实数a的取值范围是.
[答案]　
[方法技巧]
根据充分、必要条件求参数范围的2个注意点
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．
(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．　　
[即时演练]
1．(2018·安阳调研)已知p：x∈A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，q：x∈B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．若p是綈q的充分条件，则实数m的取值范围是________．
解析：∵A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}，∴∁RB＝{x|xm＋2}．∵p是綈q的充分条件，∴A⊆∁RB，∴m－2>3或m＋2<－1，∴m>5或m<－3.
答案：(－∞，－3)∪(5，＋∞)
2．若“x2>1”是“x 解析：由x2>1，得x<－1，或x>1，
又“x2>1”是“x1”，反之不成立，所以a≤－1，即a的最大值为－1.
答案：－1

1．(2014·全国卷Ⅱ)函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则(　　)
A．p是q的充分必要条件
B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
解析：选C　当f′(x0)＝0时，x＝x0不一定是f(x)的极值点，比如，y＝x3在x＝0时，f′(0)＝0，但在x＝0的左右两侧f′(x)的符号相同，因而x＝0不是y＝x3的极值点．
由极值的定义知，x＝x0是f(x)的极值点必有f′(x0)＝0.综上知，p是q的必要条件，但不是充分条件．
2．(2017·天津高考)设θ∈R，则“<”是“sin θ<”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　法一：由<，得0<θ<，
故sin θ<.由sin θ<，得－＋2kπ<θ<＋2kπ，k∈Z，推不出“<”．
故“<”是“sin θ<”的充分而不必要条件．
法二：<⇒0<θ<⇒sin θ<，而当sin θ<时，取θ＝－，＝>.
故“<”是“sin θ<”的充分而不必要条件．
3．(2016·北京高考)设a，b是向量，则“| a |＝|b|”是“|a＋b |＝|a－b|”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选D　若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为菱形．a＋b，a－b表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，从而不是必要条件．故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．
4．(2015·陕西高考)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　cos 2α＝0等价于cos2α－sin2α＝0，即cos α＝±sin α.由cos α＝sin α可得到cos 2α＝0，反之不成立，故选A.
5．(2015·重庆高考)“x＞1”是“log (x＋2)＜0”的(　　)
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B　∵x＞1⇒log (x＋2)＜0，log (x＋2)＜0⇒x＋2＞1⇒x＞－1，∴“x＞1”是“log (x＋2)＜0”的充分而不必要条件．

一、选择题
1．命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是(　　)
A．若α≠，则tan α≠1　 B．若α＝，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α＝ D．若tan α≠1，则α≠
解析：选D　逆否命题是将原命题中的条件与结论都否定后再交换位置即可．
所以逆否命题为：若tan α≠1，则α≠.
2．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是(　　)
A．都真 B．都假
C．否命题真 D．逆否命题真
解析：选D　对于原命题：“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题；但其逆命题：“若{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax2＋bx＋c<0的解集非空时，可以有a>0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题．故选D.
3．“直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交”是“0 A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C　由直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交可得<1，所以－ 4．命题p：“∀x>e，a－ln x<0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　)
A．a≤1 B．a<1
C．a≥1 D．a>1
解析：选B　由题意知∀x>e，a1，所以a≤1，故答案为B.
5．a2＋b2＝1是asin θ＋bcos θ≤1恒成立的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　因为a2＋b2＝1，所以设a＝cos α，b＝sin α，则asin θ＋bcos θ＝sin(α＋θ)≤1恒成立；当asin θ＋bcos θ≤1恒成立时，只需asin θ＋bcos θ＝sin(θ＋φ)≤≤1即可，所以a2＋b2≤1，故不满足必要性．
6．若向量a＝(x－1，x)，b＝(x＋2，x－4)，则“a⊥b”是“x＝2”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B　若“a⊥b”，则a·b＝(x－1，x)·(x＋2，x－4)＝(x－1)(x＋2)＋x(x－4)＝2x2－3x－2＝0，则x＝2或x＝－；若“x＝2”，则a·b＝0，即“a⊥b”，所以“a⊥b”是“x＝2”的必要不充分条件．
7．在△ABC中，“sin A－sin B＝cos B－cos A”是“A＝B”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B　在△ABC中，当A＝B时，sin A－sin B＝cos B－cos A显然成立，即必要性成立；当sin A－sin B＝cos B－cos A时，则sin A＋cos A＝sin B＋cos B，两边平方可得sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝，即充分性不成立．则在△ABC中，“sin A－sin B＝cos B－cos A”是“A＝B”的必要不充分条件．
8．设m，n是两条直线，α，β是两个平面，则下列命题中不正确的是(　　)
A．当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”的充要条件
B．当m⊂α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件
C．当m⊂α时，“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件
D．当m⊂α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件
解析：选C　由垂直于同一条直线的两个平面平行可知，A正确；显然，当m⊂α时，“m⊥β”⇒“α⊥β”；当m⊂α时，“α⊥β”⇒/ “m⊥β”，故B正确；当m⊂α时，“m∥n”⇒/ “n∥α”， n也可能在平面α内，故C错误；当m⊂α时，“n⊥α”⇒“m⊥n”，反之不成立，故D正确．
二、填空题
9．“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．
解析：其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．
答案：2
10．下列命题正确的序号是________．
①命题“若a>b，则2a>2b”的否命题是真命题；
②命题“a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆否命题是真命题；
③若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件；
④方程ax2＋x＋a＝0有唯一解的充要条件是a＝±.
解析：①否命题“若2a≤2b，则a≤b”，由指数函数的单调性可知，该命题正确；②由互为逆否命题真假相同可知，该命题为真命题；由互为逆否命题可知，③是真命题；④方程ax2＋x＋a＝0有唯一解，则a＝0或求解可得a＝0或a＝±，故④是假命题．
答案：①②③
11．已知集合A＝，B＝{x|－1 解析：A＝＝{x|－1 ∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，
∴AB，∴m＋1>3，即m>2.
答案：(2，＋∞)
12．给出下列四个结论：
①若am2 ②已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，若变量y与z正相关，则x与z负相关；
③“已知直线m，n和平面α，β，若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β”为真命题；
④m＝3是直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直的充分不必要条件．
其中正确的结论是________(填序号)．
解析：由不等式的性质可知，①正确；由变量间相关关系可知，当变量y和z是正相关时，x与z负相关，故②正确；③由已知条件，不能判断α与β的位置关系，故③错误；④当m＝3时，直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直；当直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直时，(m＋3)m－6m＝0，则m＝3或m＝0，即m＝3是直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直的充分不必要条件，则④正确．
答案：①②④
三、解答题
13．写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
解：(1)逆命题：已知a，b∈R，若a2≥4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，为真命题．
(2)否命题：已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2<4b，为真命题．
(3)逆否命题：已知a，b∈R，若a2<4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，为真命题．
14．已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．
解：y＝x2－x＋1＝2＋，
∵x∈，∴≤y≤2，
∴A＝.
由x＋m2≥1，得x≥1－m2，
∴B＝{x|x≥1－m2}．
∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，
∴A⊆B，∴1－m2≤，
解得m≥或m≤－，
故实数m的取值范围是∪.

1．下列四个命题中，
①命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”；
②“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件；
③命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题；
④命题“若m2＋n 2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0且n≠0”；
⑤对空间任意一点O，若满足＝＋＋，则P，A，B，C四点一定共面．
其中真命题的为________．(填序号)
解析：①命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”，故①正确；
②x＝4⇒x2－3x－4＝0；由x2－3x－4＝0，解得x＝－1或x＝4.
∴“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分不必要条件，故②正确；
③命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0”，是假命题，如m＝0时，方程x2＋x－m＝0有实根，故③错误；
④命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”，故④错误；
⑤∵＋＋＝1，∴对空间任意一点O，若满足＝＋＋，则P，A，B，C四点一定共面，故⑤正确．
答案：①②⑤
2．已知p：－x2＋4x＋12≥0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)．
(1)若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________；
(2)若“綈p”是“綈q”的充分条件，则实数m的取值范围为________．
解析：由题知，p为真时，－2≤x≤6，q为真时，1－m≤x≤1＋m，
令P＝{x|－2≤x≤6}，Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}．
(1)∵p是q的充分不必要条件，∴PQ，
∴或解得m≥5，
∴实数m的取值范围是[5，＋∞)．
(2)∵“綈p”是“綈q”的充分条件，∴“p”是“q”的必要条件，
∴Q⊆P，∴解得0 ∴实数m的取值范围是(0,3]．
答案：(1)[5，＋∞)　(2)(0,3]
第3课简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

[过双基]
1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断
p
q
p∧q
p∨q
綈p
真
真

真

真
假


假
假
真
假


假
假

假


2．全称量词与存在量词
量词名称
常见量词
符号表示
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个等

存在量词
存在一个、至少一个、有些、某些等


3．全称命题和特称命题
　　名称
形式　　
全称命题
特称命题
结构
对M中的任意一个x，有p(x)成立
存在M中的一个x0，使p(x0)成立
简记
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，p(x0)
否定
∃x0∈M，綈p(x0)
∀x∈M，綈p(x)

1．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题的是(　　)
A．①③　　　　　　　　　 B．①④
C．②③ D．②④
解析：选C　当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题．
当x>y时，x2>y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题．
故①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧(綈q)为真命题；④(綈p)∨q为假命题．
2．若命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则在下列命题中真命题的是(　　)
A．p∧(綈q) B．(綈p)∧(綈q)
C．(綈p)∧q D．p∧q
解析：选A　由指数函数的性质可知，命题p是真命题，则命题綈p是假命题；
显然，“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，即命题q是假命题，命题綈q是真命题．
所以命题p∧(綈q)是真命题．
3．命题“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”的否定为(　　)
A．∃x0∈R，x＋x0＋1≥0 B．∃x0∈R，x＋x0＋1<0
C．∀x∈R，x2＋x＋1≤0 D．∀x∈R，x2＋x＋1<0
解析：选B　原命题∀x∈R，x2＋x＋1≥0为全称命题，
所以原命题的否定为：∃x0∈R，x＋x0＋1<0.
4．若命题p：∃x0，y0∈Z，x＋y＝2 018，则綈p为(　　)
A．∀x，y∈Z，x2＋y2≠2 018
B．∃x0，y0∈Z，x＋y≠2 018
C．∀x，y∈Z，x2＋y2＝2 018
D．不存在x，y∈Z，x2＋y2＝2 018
解析：选A　原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即綈p：∀x，y∈Z，x2＋y2≠2 018.
[清易错]
1．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．
2．p或q的否定易误写成“綈p或綈q”；p且q的否定易误写成“綈p且綈q”．
1．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是(　　)
A．全等三角形的面积不一定都相等
B．不全等三角形的面积不一定都相等
C．存在两个不全等三角形的面积相等
D．存在两个全等三角形的面积不相等
解析：选D　命题是省略量词的全称命题，易知选D.
2．已知命题p：∀x<1，都有logx<0，命题q：∃x0∈R，使得x≥2x0成立，则下列命题是真命题的是(　　)
A．p∨(綈q) B．(綈p)∧(綈q)
C．p∨q D．p∧q
解析：选C　由题知，命题p为假，q为真，则p∨q为真，选C.

[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
简单的逻
辑联结词
未考查

全称量词、存在量词
5年2考
线性规划与量词命题的判断，特称命题的否定


含逻辑联结词的命题的真假判断　
[典例]　已知命题p：∃x0∈R，使x＋2x0＋5≤4；命题q：当x∈时，f(x)＝sin x＋的最小值为4，下列命题是真命题的是(　　)
A．p∧q　　　　　　　 B．(綈p)∧(綈q)
C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)
[解析]　令x＝－1，可得x2＋2x＋5≤4成立，故命题p是真命题；令sin x＝t，因为x∈，所以05，即f(x)>5，故命题q是假命题，因此綈p是假命题，綈q是真命题，所以p∧(綈q)是真命题．
[答案]　D
[方法技巧]
1．“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题真假的判断步骤
(1)确定命题的构成形式；
(2)判断命题p，q的真假；
(3)确定“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假．
2．复合命题真假判断常用的方法
(1)直接法：即判断出p，q的真假，再判断复合命题的真假．
(2)特殊值法：从题干出发通过选取特殊情况代入，作出判断．特殊情况可能是特殊值、特殊函数、特殊点、特殊位置、特殊向量等．
(3)数形结合法：根据题设条件作出研究问题的有关图形，利用图形作出判断，从而确定正确答案．　
[即时演练]
1．已知命题p：∀x∈(0，＋∞)，sin x＝x＋，命题q：∃x0∈R，πx0<1，则下列命题为真命题的是(　　)
A．p∧(綈q) B．(綈p)∧(綈q)
C．(綈p)∧q D．p∧q
解析：选C　法一：命题p：∀x∈(0，＋∞)，sin x＝x＋，令x＝1，则sin 1<1＋1，故命题p是假命题，因此命题綈p是真命题；命题q：∃x0∈R，πx0<1，令x＝－1，则π－1<1，命题q是真命题，命题綈q是假命题，故命题(綈p)∧q是真命题．
法二：因为x∈(0，＋∞)，所以sin x∈[－1,1]，x＋≥2 ＝2，则sin x 2．命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0，对一切x∈R恒成立；命题q：函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，则实数a的取值范围为________．
解析：p为真：Δ＝4a2－16<0，解得－2 q为真：3－2a>1，解得a<1.
∵p或q为真，p且q为假，∴p，q一真一假．
当p真q假时，⇒1≤a<2；
当p假q真时，⇒a≤－2.
∴实数a的取值范围为(－∞，－2]∪[1,2)．
答案：(－∞，－2]∪[1,2)

全称命题与特称命题

角度一：全称命题、特称命题的否定
1．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则綈p为(　　)
A．∃x0∈R，sin x0≤1 B．∀x∈R，sin x>1
C．∀x∈R，sin x≥1 D．∃x0∈R，sin x0>1
解析：选D　由于全称命题的否定是特称命题，且命题p是全称命题，所以命题綈p为∃x0∈R，sin x0>1.
角度二：全称命题、特称命题的真假判断
2．下列命题为假命题的是(　　)
A．∀x∈R,3x>0
B．∃x0∈R，lg x0＝0
C．∀x∈，x>sin x
D．∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝
解析：选D　由指数函数的性质可知，∀x∈R,3x>0成立，故A是真命题；令x0＝1，则lg x0＝0，故B是真命题；令f(x)＝x－sin x，f′(x)＝1－cos x>0，即函数f(x)＝x－sin x在上是增函数，所以f(x)>f(0)＝0，所以x>sin x，故C是真命题；因为sin x0＋cos x0＝sin≤，故D是假命题．
[方法技巧]
1．全称命题真假的判断方法
(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立．
(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．
2．特称命题真假的判断方法
要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．　　


根据命题的真假求参数的取值范围
[典例]　若∃x0∈，使得2x－λx0＋1<0成立是假命题，则实数λ的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．(2，3]
C. D．{3}
[解析]　因为∃x0∈，使得2x－λx0＋1<0成立是假命题，所以∀x∈，使得2x2－λx＋1≥0恒成立是真命题，即∀x∈，使得λ≤2x＋恒成立是真命题，令f(x)＝2x＋，则f′(x)＝2－，当x∈时，f′(x)<0，当x∈时，f′(x)>0，所以f(x)≥f＝2，则λ≤2.
[答案]　A
[方法技巧]
根据命题真假求参数的3步骤
(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；
(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；
(3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．　
[即时演练]
1．已知a>0，且a≠1，命题p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减，命题q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．若“p∨q”为假，则a的取值范围为(　　)
A. B.∪
C. D.∪
解析：选A　当01时，函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减的．若p为假，则a>1.曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点等价于(2a－3)2－4>0，即a<或a>.若q为假，则a∈.若使“p∨q”为假，则a∈(1，＋∞)∩，即a∈.
2．若命题“对∀x∈R，kx2－kx－1<0”是真命题，则k的取值范围是________．
解析：“对∀x∈R，kx2－kx－1<0”是真命题，当k＝0时，则有－1<0；当k≠0时，则有k<0且Δ＝(－k)2－4×k×(－1)＝k2＋4k<0，解得－4 答案：(－4,0]

1．(2016·浙江高考)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(　　)
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2
B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2
D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
解析：选D　由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．
2．(2015·全国卷Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n 2>2n，则綈p为(　　)
A．∀n∈N，n 2>2n B．∃n∈N，n 2≤2n
C．∀n∈N，n 2≤2n D．∃n∈N，n 2＝2n
解析：选C　因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”，所以命题“∃n∈N，n 2>2n”的否定是“∀n∈N，n 2≤2n”，故选C.
3．(2017·山东高考)已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是(　　)
A．p∧q B．p∧綈q
C．綈p∧q D．綈p∧綈q
解析：选B　当x>0时，x＋1>1，因此ln(x＋1)>0，即p为真命题；取a＝1，b＝－2，这时满足a>b，显然a2>b2不成立，因此q为假命题．由复合命题的真假性，知B为真命题．
4．(2014·重庆高考)已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是(　　)
A．p∧綈q B．綈p∧q
C．綈p∧綈q D．p∧q
解析：选A　命题p为真命题，命题q为假命题，所以命题綈q为真命题，所以p∧綈q为真命题，选A.
5．(2013·全国卷Ⅰ)已知命题p：∀x∈R,2x<3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是(　　)
A．p∧q B．綈p∧q
C．p∧綈q D．綈p∧綈q
解析：选B　容易判断当x≤0时2x≥3x，命题p为假命题，分别作出函数y＝x3，y＝1－x2的图象，易知命题q为真命题．根据真值表易判断綈p∧q为真命题．
6．(2015·山东高考)若“∀x∈，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
解析：∵0≤x≤，∴0≤tan x≤1，
又∵∀x∈，tan x≤m，故m≥1，
即m的最小值为1.
答案：1

一、选择题
1．下列命题为真命题的是(　　)
A．若ac>bc，则a>b　　　 B．若a2>b2，则a>b
C．若>，则a 解析：选D　由ac>bc，当c<0时，有ab2，不一定有a>b，如(－3)2>(－2)2，但－3<－2，选项B错误；若>，不一定有a－，但2>－3，选项C错误；若<，则()2<()2，即a 2．给出以下四个命题：
命题p1：存在x∈R，x－2>lg x成立；
命题p2：不存在x∈(0,1)，使不等式log2x 命题p3：对任意的x∈(0,1)，不等式log2x 命题p4：对任意的x∈(0，＋∞)，不等式log2x<成立．
其中的真命题有(　　)
A．p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 D．p2，p4
解析：选A　p1中取x＝10，则有10－2>lg 10，故命题p1为真命题；由对数函数的性质知，p2为假命题，p3为真命题；p4中取x＝4不等式不成立，故选A.
3．(2018·石家庄一模)命题p：若sin x>sin y，则x>y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是(　　)
A．p或q B．p且q
C．q D．綈p
解析：选B　取x＝，y＝，可知命题p是假命题；由(x－y)2≥0恒成立，可知命题q是真命题，故綈p为真命题，p或q是真命题，p且q是假命题．
4．(2018·唐山模拟)已知命题p：∃x0∈N，x A．p假q真 B．p真q假
C．p假q假 D．p真q真
解析：选A　由x 5．下列命题中，假命题的是(　　)
A．∃x0∈R，ln x0<0
B．∀x∈(－∞，0)，ex>0
C．∀x>0,5x>3x
D．∃x0∈(0，＋∞)，x0 解析：选D　令x0＝，则ln x0＝－1<0，故A正确；由指数函数的性质可知，B、C正确．因此答案为D.
6．(2018·河北六校联考)命题p：∃a0∈，使得函数f(x)＝在上单调递增；命题q：函数g(x)＝x＋log2x在区间上无零点．则下列命题中是真命题的是(　　)
A．綈p B．p∧q
C．(綈p)∨q D．p∧(綈q)
解析：选D　设h(x)＝x＋.当a＝－时，函数h(x)在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上为增函数，且h＝>0，则函数f(x)在上必单调递增，即p是真命题；∵g＝－<0，g(1)＝1>0，∴g(x)在上有零点，即q是假命题，故选D.
7．命题p：“∃x0∈，sin2x0＋cos 2x0 A．(－∞，1] B．(－∞，]
C．[1，＋∞) D．[，＋∞)
解析：选A　因为命题p：“∃x0∈，sin 2x0＋cos 2x0 所以命题綈p：“∀x∈，sin2x＋cos 2x≥a”是真命题，即(sin 2x＋cos 2x)min≥a，
因为sin2x＋cos 2x＝sin，且≤2x＋≤，所以sin 2x＋cos 2x≥1，则a≤1.
8．(2017·贵阳期末)下列说法正确的是(　　)
A．命题“∀x∈R，ex>0”的否定是“∃x0∈R，ex0>0”
B．命题“已知x，y∈R，若x＋y≠3，则x≠2或y≠1”的逆否命题是真命题
C．“x2＋2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立”⇔“(x2＋2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立”
D．命题“若a＝－1，则函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的逆命题为真命题
解析：选B　A：命题的否定是“∃x0∈R，ex0≤0”，∴A错误；B：逆否命题为“已知x，y∈R，若x＝2且y＝1，则x＋y＝3”，易知为真命题，∴B正确；C：分析题意可知，不等式两边的最值不一定在同一个点取到，故C错误；D：若函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点，则：①a＝0，符合题意；②a≠0，Δ＝4＋4a＝0，a＝－1，故逆命题是假命题，∴D错误．
二、填空题
9．命题“∀x∈R，cos x≤1”的否定是____________________．
答案：∃x0∈R，cos x0>1
10．给出下列命题：
①∀x∈R，x2＋1>0；②∀x∈N，x2≥1；
③∃x0∈Z，x<1；④∃x0∈Q，x＝3；
⑤∀x∈R，x2－3x＋2＝0；⑥∃x0∈R，x＋1＝0.
其中所有真命题的序号是________．
解析：①显然是真命题；②中，当x＝0时，x2<1，故②是假命题；③中，当x＝0时，x3<1，故③是真命题；④中，对于任意的x∈Q，x2＝3都不成立，故④是假命题；⑤中，只有当x＝1或x＝2时，x2－3x＋2＝0才成立，故⑤是假命题；⑥显然是假命题．综上可知，所有真命题的序号是①③.
答案：①③
11．已知命题p：x2＋2x－3>0，命题q：>1，若“(綈q)∧p”为真，则x的取值范围是________．
解析：命题p：x>1或x<－3；
由>1，求解可得命题q：2 则命题綈q：x≥3或x≤2，
因为“(綈q)∧p”为真，
所以解得x≥3或x<－3，
所以x的取值范围是(－∞，－3)∪[3，＋∞)．
答案：(－∞，－3)∪[3，＋∞)
12．给定两个命题，p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根；如果p与q中有且仅有一个为真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立⇒a＝0或⇒0≤a<4；
关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根⇒1－4a≥0⇒a≤；
若p真q假，则有0≤a<4，且a>，∴ 若p假q真，则有a<0或a≥4，且a≤，∴a<0，
所以实数a的取值范围为(－∞，0)∪.
答案：(－∞，0)∪
三、解答题
13．已知命题p：“存在a>0，使函数f(x)＝ax2－4x在(－∞，2]上单调递减”，命题q：“存在a∈R，使∀x∈R,16x2－16(a－1)x＋1≠0”．若命题“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围．
解：若p为真，则对称轴x＝－＝在区间(－∞，2]的右侧，即≥2，∴0 若q为真，则方程16x2－16(a－1)x＋1＝0无实数根．
∴Δ＝[－16(a－1)]2－4×16<0，
∴ ∵命题“p∧q”为真命题，
∴命题p，q都为真，
∴∴ 故实数a的取值范围为.
14．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0.
q：实数x满足
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：由x2－4ax＋3a2＜0(a＞0)，得a＜x＜3a，
即p为真命题时，a＜x＜3a，
由得
即2＜x≤3，即q为真命题时，2＜x≤3.
(1)a＝1时，p：1 由p∧q为真，知p，q均为真命题，则
得2＜x＜3，所以实数x的取值范围为(2,3)．
(2)设A＝{x|a＜x＜3a}，B＝{x|2＜x≤3}，
由题意知q是p的充分不必要条件，所以BA，
有所以1＜a≤2，
所以实数a的取值范围为(1,2]．

1．已知命题p：对于一切正实数x，y，不等式－cos2x≥asin x－恒成立．若命题綈p是假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A. B．[3，＋∞)
C．[－2，2] D．[－3,3]
解析：选D　因为命题綈p是假命题，所以命题p是真命题，
由题意，对于一切正实数x，y，不等式＋≥asin x＋cos2x恒成立，
因为＋≥2 ＝3，
所以对于一切正实数x，不等式3≥asin x＋cos2x，
即sin2x－asin x＋2≥0恒成立，
令sin x＝t，－1≤t≤1，
设f(t)＝t2－at＋2，－1≤t≤1，
当>1，即a>2时，函数f(t)＝t2－at＋2在[－1,1]上是减函数，
所以f(1)＝3－a≥0，则2 当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，函数f(t)＝t2－at＋2在上是减函数，在上是增函数，
所以最小值是f＝2－a×＋2≥0，则－2≤a≤2；
当<－1，即a<－2时，函数f(t)＝t2－at＋2在[－1,1]上是增函数，
所以f(－1)＝3＋a≥0，则－3≤a<－2.
综上可得，实数a的取值范围是[－3,3]．
2．已知函数f(x)＝，在下列命题中，
①曲线y＝f(x)必存在一条与x轴平行的切线；
②函数y＝f(x)有且仅有一个极大值，没有极小值；
③若方程f(x)－a＝0有两个不同的实根，则a的取值范围是；
④对任意的x∈R，不等式f(x)<恒成立；
⑤若a∈，则∃x1，x2∈R＋，可以使不等式f(x)≥a的解集恰为[x1，x2]．
其中正确命题的序号有________．
解析：求导得，f′(x)＝.
①令f′(x)＝＝0可得x＝1，即过点的切线与x轴平行，故①正确；
②当x∈(－∞，1)时，函数f(x)是增函数，当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)是减函数，所以函数f(x)有极大值f(1)＝，没有极小值，故②正确；
③由②可知，当x∈(1，＋∞)时，0 ④由②可知，f(x)≤f(1)＝<，故④正确；
⑤由②可知，若a∈，则∃x1，x2∈R＋，可以使不等式f(x)≥a的解集恰为[x1，x2]，故⑤正确．
答案：①②④⑤