高中数学高考课后限时集训58 圆锥曲线中的证明与存在性问题 作业

圆锥曲线中的证明与存在性问题建议用时：45分钟1．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m＞0)．(1)证明：k＜－；(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且＋＋＝0.证明：2||＝||＋||.[证明]　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1.两式相减，并由＝k得＋·k＝0.由题设知＝1，＝m，于是k＝－.由题设得0＜m＜，故k＜－.(2)由题意得F(1,0)．设P(x3，y3)，则(x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝(0,0)．由(1)及题设得x3＝3－(x1＋x2)＝1，y3＝－(y1＋y2)＝－2m＜0.又点P在C上，所以m＝，从而P，||＝.于是||＝＝＝2－.同理||＝2－.所以||＋||＝4－(x1＋x2)＝3.故2||＝||＋||.2．(2019·福州模拟)设抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线x＝p与E交于A，B两点，△ABF的面积为8.(1)求E的方程；(2)若M，N是E上的两个动点，|MF|＋|NF|＝8，试问：是否存在定点S，使得|SM|＝|SN|？若存在，求出S的坐标；若不存在，请说明理由．[解]　(1)依题意得F.由得y＝±p，不妨设A(p，p)，B(p，－p)，则|AB|＝2p .又F到直线AB的距离为，所以S△ABF＝×2p×＝p2.依题意得，p2＝8，解得p＝4，所以E的方程为y2＝8x.(2)法一：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为C(x0，y0)，则x0＝，y0＝.由抛物线的定义，得|MF|＋|NF|＝x1＋2＋x2＋2，因为|MF|＋|NF|＝8，所以x1＋x2＝4，所以x0＝2.当x1≠x2时，y1＋y2≠0，kMN＝＝＝＝，线段MN的垂直平分线为y－y0＝－(x－2)，即y＝－(x－6)，所以线段MN的垂直平分线恒过定点S(6,0)；当x1＝x2时，线段MN的垂直平分线为x轴，它也过点S(6,0)．综上，存在定点S(6,0)，使得|SM＝|SN|.法二：假设存在定点S，使得对E上满足条件的动点M，N恒有|SM|＝|SN|，由对称性可知，点S必在x轴上，故可设S(t,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．由抛物线的定义，得|MF|＋|NF|＝x1＋2＋x2＋2，因为|MF|＋|NF|＝8，所以x1＋x2＝4，由|SM|＝|SN|，得＝，所以(x1－t)2＋8x1＝(x2－t)2＋8x2，即[(x1＋x2)＋(8－2t)](x1－x2)＝0，所以(6－t)(x1－x2)＝0　①，因为①对满足条件的任意M，N恒成立，所以t＝6.故存在定点S(6,0)，使得|SM|＝|SN|.法三：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为C(x0，y0)．由抛物线的定义，得|MF|＋|NF|＝x1＋2＋x2＋2，因为|MF|＋|NF|＝8，所以x1＋x2＝4，故x0＝2.当直线MN的斜率存在时，可设其方程为y＝kx＋b(k≠0)，由得ky2－8y＋8b＝0.Δ＝64－32kb，令Δ>0，得kb<2.由根与系数的关系得y1＋y2＝，所以y0＝＝，所以线段MN的垂直平分线为y－＝－(x－2)，即y＝－(x－6)，所以线段MN的垂直平分线恒过定点S(6,0)．当直线MN的斜率不存在时，M，N关于x轴对称，S(6,0)显然符合题意．综上，存在定点S(6,0)，使得|SM|＝|SN|.3．(2019·衡水模拟)在直角坐标系xOy中，直线y＝x＋4与抛物线C：x2＝2py(p>0)分别相交于A，B两点，且OA⊥OB.(1)求抛物线C的方程；(2)试问：在x轴的正半轴上是否存在一点D，使得△ABD的外心在抛物线C上？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．[解]　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，联立得x2－2px－8p＝0，则x1＋x2＝2p，x1x2＝－8p，从而y1y2＝(x1＋4)(x2＋4)＝x1x2＋4(x1＋x2)＋16.∵OA⊥OB，∴·＝x1x2＋y1y2＝2x1x2＋4(x1＋x2)＋16＝0，即－16p＋8p＋16＝0，解得p＝2，故抛物线C的方程为x2＝4y.(2)设线段AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知，x0＝＝2，y0＝x0＋4＝6，则线段AB的中垂线方程为y－6＝－(x－2)，即y＝－x＋8.联立得x2＋4x－32＝0，解得x＝－8或x＝4，从而△ABD的外心P的坐标为(4,4)或(－8,16)．假设存在点D(m,0)(m>0)，若点P的坐标为(4,4)，∵|AB|＝＝×＝4，∴|PA|＝＝4，则|DP|＝＝4.∵m>0，∴m＝4＋4.若点P的坐标为(－8,16)，则|PA|＝＝4，|DP|＝>4，则点P的坐标不可能为(－8,16)．故在x轴的正半轴上存在一点D(4＋4，0)，使得△ABD的外心在抛物线C上．