高中数学高考课后限时集训66 概率与统计、统计案例的综合问题 作业

概率与统计、统计案例的综合问题

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1．(2019·泉州模拟)为了普及环保知识，共建美丽宜居城市，某市组织了环保知识竞赛，随机抽取了甲、乙两个单位中各5名职工的成绩(单位：分)如下表：

(1)根据表中的数据，分别求出甲、乙两个单位这5名职工成绩的平均数和方差，并判断哪个单位的职工对环保知识的掌握更好；

(2)用简单随机抽样法从乙单位5名职工中抽取2名，求抽取的2名职工的成绩差的绝对值至少是4的概率．

[解]　(1)甲＝×(87＋88＋91＋91＋93)＝90，

乙＝×(85＋89＋91＋92＋93)＝90，

s＝×[(87－90)2＋(88－90)2＋(91－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2]＝，

s＝×[(85－90)2＋(89－90)2＋(91－90)2＋(92－90)2＋(93－90)2]＝8，

∵＜8，

∴甲单位的成绩比乙单位稳定，即甲单位的职工对环保知识的掌握更好．

(2)从乙单位5名职工中抽取2名，他们的成绩组成的所有基本事件(用数对表示)为：(85,89)，(85,91)，(85,92)，(85,93)，(89,91)，(89,92)，(89,93)，(91,92)，(91,93)，(92,93)，共10个．

记“抽取的2名职工的成绩差的绝对值至少是4”为事件A，则其包含的基本事件为(85,89)，(85,91)，(85,92)，(85,93)，(89,93)，共5个．

由古典概型的概率计算公式可知，抽取的2名职工的成绩差的绝对值至少是4的概率P(A)＝＝.

2．(2019·西安模拟)某大型商场的空调在1月到5月的销售量与月份相关，得到的统计数据如表：

(1)经分析发现1月到5月的销售量可用线性回归模型拟合该商场空调的月销量y(百件)与月份x之间的相关关系．请用最小二乘法求y关于x的线性回归方程＝x＋，并预测6月份该商场空调的销售量；

(2)若该商场的营销部对空调进行新一轮促销，对7月到12月有购买空调意愿的顾客进行问卷调查．假设该地拟购买空调的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的500名顾客进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：

现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3人进行跟踪调查，求抽出的3人中恰好有2人是购买意愿的月份是12月的概率．

参考公式与数据：线性回归方程＝x＋，其中＝

[解]　(1)∵＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3，＝(0.6＋0.8＋1.2＋1.6＋1.8)＝1.2，

∴＝＝0.32，

则＝1.2－0.32×3＝0.24，

于是y关于x的回归直线方程为＝0.32x＋0.24.

当x＝6时，＝0.32×6＋0.24＝2.16(百台)．

(2)现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名，则购买意愿为7月份的抽4人记为a，b，c，d，购买意愿为12月份的抽2人记为A，B.

从这6人中随机抽取3人的所有情况为(a，b，c)、(a，b，d)、(a，b，A)、(a，b，B)、(a，c，d)、(a，c，A)、(a，c，B)、(a，d，A)、(a，d，B)、(a，A，B)、(b，c，d)、(b，c，A)、(b，c，B)、(b，d，A)、(b，d，B)、(b，A，B)、(c，d，A)、(c，d，B)、(c，A，B)、(d，A，B)，共20种，

恰好有2人是购买意愿的月份是12月的有(a，A，B)、(b，A，B)、(c，A，B)、(d，A，B)，共4种，故所求概率为P＝＝.

3．(2019·汕头模拟)某工厂A，B两条生产线生产同款产品，若产品按照一、二、三等级分类，则每件可分别获利10元、8元、6元，现从A，B生产线的产品中各随机抽取100件进行检测，结果统计如下图：

(1)根据已知数据，判断是否有99%的把握认为一等级产品与生产线有关？

(2)分别计算两条生产线抽样产品获利的方差，以此作为判断依据，说明哪条生产线的获利更稳定？

(3)估计该厂产量为2 000件产品时的利润以及一等级产品的利润．

附：K2＝

[解]　(1)根据已知数据可建立列联表如下：

K2＝

＝

＝≈5.643＜6.635，

所以没有99%的把握认为一等级的产品与生产线有关．

(2)A生产线随机抽取的100件产品获利的平均数为：

＝×(10×20＋8×60＋6×20)＝8(元)，

获利方差为s＝×[(10－8)2×20＋(8－8)2×60＋(6－8)2×20]＝1.6.

B生产线随机抽取的100件产品获利的平均数为：

＝(10×35＋8×40＋6×25)＝8.2(元)

获利方差为s＝×[(10－8.2)2×35＋(8－8.2)2×40＋(6－8.2)2×25]＝2.36，

所以s＜s，则A生产线的获利更稳定．

(3)法一：A，B生产线共随机抽取的200件产品获利的平均数为：

×[10×(20＋35)＋8×(60＋40)＋6×(20＋25)]＝8.1(元)，

由样本估计总体，当产量为2 000件产品时，

估计该工厂获利2 000×8.1＝16 200(元)．

又因为A，B生产线共随机抽取的200件产品中，一等级的A线产品有20件，B线产品有35件，由样本频率估计总体概率，有

该工厂生产产品为一等级的概率估计值为＝.

当产量为2 000件产品时，估计该工厂一等级产品获利2 000××10＝5 500(元)．

法二：由(2)可知，由于A，B生产线各随机抽取100件产品，

则产品获利的平均数为：＝＝8.1(元)．

由样本估计总体，当产量为2 000件产品时，

估计该工厂获利2 000×8.1＝16 200(元)．

其余解同法一．