高中数学高考课后限时集训47 立体几何中的综合问题 作业

立体几何中的综合问题建议用时：45分钟1．(2019·昆明模拟)如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，M是棱DD1上的一点，AA1⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AA1＝AB＝2AD＝2DC.(1)若M是DD1的中点，证明：平面AMB⊥平面A1MB1；(2)设四棱锥M­ABB1A1与四棱柱ABCD­A1B1C1D1的体积分别为V1与V2，求eq \f(V1,V2)的值．[解]　(1)证明：因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB，又AB⊥AD，AA1∩AD＝A，所以BA⊥平面AA1D1D，又MA1⊂平面AA1D1D，所以BA⊥MA1.因为AD＝DM，所以∠AMD＝45°，同理∠A1MD1＝45°，所以AM⊥MA1，又AM∩BA＝A，所以MA1⊥平面AMB，又MA1⊂平面A1MB1，故平面AMB⊥平面A1MB1.(2)设AD＝1，则四棱锥M­ABB1A1的底面ABB1A1的面积SABB1A1＝4，高为AD＝1，所以四棱锥M­ABB1A1的体积V1＝eq \f(1,3)SABB1A1×AD＝eq \f(4,3).四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD的面积SABCD＝eq \f(3,2)，高为AA1＝2，所以四棱柱ABCD­A1B1C1D1的体积V2＝SABCD×AA1＝3，所以eq \f(V1,V2)＝eq \f(4,9).2．(2019·哈尔滨模拟)如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD的中点，将△ADE沿AE折到△APE的位置．(1)证明：AE⊥PB；(2)当四棱锥P­ABCE的体积最大时，求点C到平面PAB的距离．[解]　(1)证明：在等腰梯形ABCD中，连接BD，交AE于点O，∵AB∥CE，AB＝CE，∴四边形ABCE为平行四边形，∴AE＝BC＝AD＝DE，∴△ADE为等边三角形，∴在等腰梯形ABCD中，∠C＝∠ADE＝eq \f(π,3)，BD⊥BC，∴BD⊥AE.如图，翻折后可得，OP⊥AE，OB⊥AE，又OP⊂平面POB，OB⊂平面POB，OP∩OB＝O，∴AE⊥平面POB，∵PB⊂平面POB，∴AE⊥PB.(2)当四棱锥P­ABCE的体积最大时，平面PAE⊥平面ABCE.又平面PAE∩平面ABCE＝AE，PO⊂平面PAE，PO⊥AE，∴OP⊥平面ABCE.∵OP＝OB＝eq \f(\r(3),2)，∴PB＝eq \f(\r(6),2)，∵AP＝AB＝1，∴S△PAB＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(6),2)×eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(\r(6),2)))eq \s\up20(2))＝eq \f(\r(15),8)，连接AC，则VP­ABC＝eq \f(1,3)OP·S△ABC＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),4)＝eq \f(1,8)，设点C到平面PAB的距离为d，∵VP­ABC＝VC­PAB＝eq \f(1,3)S△PAB·d，∴d＝eq \f(3VP­ABC,S△PAB)＝eq \f(\f(3,8),\f(\r(15),8))＝eq \f(\r(15),5).3．(2019·郑州模拟)如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝eq \f(π,3)，△PAD是等边三角形，F为AD的中点，PD⊥BF.(1)求证：AD⊥PB；(2)若E在线段BC上，且EC＝eq \f(1,4)BC，能否在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD？若存在，求出三棱锥D­CEG的体积；若不存在，请说明理由．[解]　(1)证明：连接PF，∵△PAD是等边三角形，∴PF⊥AD.∵底面ABCD是菱形，∠BAD＝eq \f(π,3)，∴BF⊥AD.又PF∩BF＝F，∴AD⊥平面BFP，又PB⊂平面BFP，∴AD⊥PB.(2)能在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD.由(1)知AD⊥BF，∵PD⊥BF，AD∩PD＝D，∴BF⊥平面PAD.又BF⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAD，又平面ABCD∩平面PAD＝AD，且PF⊥AD，∴PF⊥平面ABCD.连接CF交DE于点H，过H作HG∥PF交PC于G，∴GH⊥平面ABCD.又GH⊂平面DEG，∴平面DEG⊥平面ABCD.∵AD∥BC，∴△DFH∽△ECH，∴eq \f(CH,HF)＝eq \f(CE,DF)＝eq \f(1,2)，∴eq \f(CG,GP)＝eq \f(CH,HF)＝eq \f(1,2)，∴GH＝eq \f(1,3)PF＝eq \f(\r(3),3)，∴VD­CEG＝VG­CDE＝eq \f(1,3)S△CDE·GH＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)DC·CE·sineq \f(π,3)·GH＝eq \f(1,12).